1、重庆市2022-2023学年高二上期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（）A.或B.或C.或D.或2.已知点在坐标平面内的射影为点，则（）A.B.C.D.3.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.4.大衍数列0，2，4，8，12，18，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其通项公式为，则（）A.B.C.100D.1015.如图，在棱长为的1正方体中，点是
2、线段的中点，则（）A.1B.0C.D.6.已知圆，直线与圆相交于，两点，则的最小值为（）A.2B.C.4D.7.已知，则方程表示的曲线可能是（）A.B.C.D.8.双曲线的左右焦点分别为，若双曲线的右支上存在一点，使得为针角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，公众号山城学术圈部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知数列的通项公式为，则（）A.数列为递增数列B.C.为最小项D.为最大项10.椭圆上一点和圆上一点，则的值可能是（）A.B.1C.3D.411.若构成空
3、间的一个基底，则下列说法中正确的是（）A.存在，使得B.也构成空间的一个基底C.若，则直线与异面D.若，则，四点共面12.设圆与圆的公共点为，点在圆上运动，则（）A.直线的方程为B.C.的面积的最大值为D.圆，在公共点的切线互相垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若两直线与互相垂直，则实数的值为_.14.与椭圆有公共的焦点且离心率为2的双曲线的标准方程为_.15.已知等差数列的前项和为，则_.16.与平面解析几何类似，在空间直角坐标系中，平面与直线可以用关于，的三元方程来表示，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为.已知平面的方程为，直线的方
4、程为，若直线在平面内，则经过原点且与直线垂直的平面的方程为_.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知等差数列和等比数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）在数列中，去掉与数列相同的项后，将剩下的所有项按原来顺序排列构成一个新数列，求数列的前20项和.18.（12分）设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上.（1）若，点，求双曲线的方程；（2）当异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的渐近线方程.19.（12分）已知四棱雉中，平面，点在棱上，平面.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20.（12分）已知直线与
5、圆交于，两点，.（1）求实数的值；（2）若点在圆上运动，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹方程.21.（12分）如图，是以为直径的圆上异于，的一点，平面平面，是边长为2的等边三角形，是的中点.（1）求证：；（2）过直线与直线平行的平面交棱于点，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求的值；否则，说明理由.22.（12分）粗圆的焦距为2，左、右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的点，直线与直线的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交椭圆于，两点，坐标原点位于直线，之间，记，的面积分别为，求的取值范围.参考答案一、选择题CCDBDCCB第
6、6题解析：由题意知圆为：，直线经过定点，记，分别为圆的半径，圆心到直线的距离，则有，且，所以第7题解析：由题意知曲线表示：曲线与直线，且直线过定点，故D错误.当时，A，B错误，C符合.第8题解析：因为为针角等腰三角形，所以.当为直角三角形时，所以，所以解得，所以，所以.二、选择题9.CD10.BC11.BCD12.ACD第10题解析：设圆心为，则，其中，则，所以，则有，.第11题解析：由题意知，三条向量不共面，所以错误.若三条向量共面，则有，化简有：，这与题意矛盾，故三条向量不共面，能够构成一组基底，故B正确.若与共面，则有，则有，故C正确.若，化简有，则有，所以四点共面，故D正确.第12题解
7、析：选项，两圆相减得到，故正确.记圆与圆到直线的距离分别为，半径分别为，则有，.则有，B错误.结合图形可知，的面积为，其中为点到直线的距离，则有，所以，C正确.连接，则有，所以，所以，所以两圆在处的切线互相垂直，D正确.三、填空题13.0或314.15.15316.第15题解析：由有，则有，解得，所以，所以.第16题解析：由题意有，解得，所以，所以.四、解答题17.（10分）解：（1）由题意知，解得，所以，所以解得，代入则有，所以，.所以，.（2）因为，令，解得，则有，的前20项中只有两项与相同，即3和27，又均不在数列，故的前20项和为.18.（12分）解：（1）由题意有：，解得，所以双曲线
8、为.（2）设点，则有，所以，所以渐近线方程为.19.（12分）解：（1）过作的平行线交于点，连接，则四点共面，面，面面，又，故为平行四边形，从而，分别为，的中点，又，.（2）因为，所以，又因为，且，所以面.所以.所以，以为原点，为轴建系，设则有.所以，设面的法向量为，则有，所以.又有，记为所求线面角，则有.所以与平面所成角的正弦值为.20.（12分）解：（1）记为圆心到直线的距离，为圆的半径.因为，所以.又因为，所以，将圆化为标准方程为，则有，所以.（2）设，因为，解得，代入圆方程则有：，所以动点的轨迹方程为.21.（12分）解：（1）取中点，连接，则有，又因为面面，所以面以为原点，竖直向上为，轴建系，则有：，所以，所以，所以.（2）因为面，且面面，所以.又因为点是线段的中点，所以点为线段的中点.，设，则有，且，.设为面的法向量，则有，解得.同理，设为面的法向量，则有，解得.则有，解得，所以.所以.22.（12分）解：（1）由题意知：，设为椭圆上一点，则有，所以，所以解得.（2）当斜率存在时，设直线，则有，解得，且有，所以.且有，.设（与异号），则有圆心到直线的距离为，解得.设两条直线的距离为，则有，且，所以.所以，记，其中，所以，所以.当斜率不存在时，不妨设，此时，所以，所以.综上，的范围为.
