1、北京市延庆区2021-2022学年高二上期末考试数学试题一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分.1. 方程表示的曲线经过的一点是（ ）A B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 3. 函数在区间上的平均变化率等于（ ）A. B. C. D. 4. ，则（ ）A. B. C. D. 5. 双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D. 6. 下列椭圆中，焦点坐标是的是（ ）A. B. C. D. 7. 函数的图象如图所示，则下列大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 9. 椭圆的左右焦点
2、分别为，是上一点， 轴，则椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. D. 10. 若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线的焦点到准线的距离是_.12. 椭圆上一点到两个焦点距离之和等于，则的标准方程为_.13. 已知函数，则的导函数_.14. 方程的曲线的一条对称轴是_，的取值范围是_.15. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），_三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.
3、 圆锥曲线的方程是.（1）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值.17. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.18. 已知直线，抛物线.（1）与有公共点，求的取值范围；（2）是坐标原点，过的焦点且与交于两点，求的面积.19. 在四棱锥中，平面，分别是中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知椭圆的一个焦点是，且离心率.（1）求椭圆方程；（2）设过点直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.21. 已知定点，动点与连线的斜率之积.（1）设动点的轨迹为，求的方程；（2）若是上关
4、于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.北京市延庆区2021-2022学年高二上期末考试数学试题一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分.1. 方程表示的曲线经过的一点是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时可得，可得答案.【详解】当时可得所以方程表示的曲线经过的一点是，且其它点都不满足方程，故选：C2. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件直接求出抛物线焦点坐标即可作答.【详解】抛物线的焦点坐标为.故选：A3. 函数在区间上平均变化率等于（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平均变化率的定义算出答案即可.【详解】函数在区间上的平均变化率等于故选：C4 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出，然后可得答案.【详解】，所以故选：B5. 双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0，可得其渐近线的方程【详解】双曲线的渐近线方程是 ，即 ，故选B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单的几何性质等知识，属于基础题6. 下列椭圆中，焦点坐标是的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件逐一分析各选项中的椭
6、圆焦点即可判断作答.【详解】对于A，椭圆的焦点在x轴上，A不是；对于B，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，B是；对于C，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，C不是；对于D，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，D不是.故选：B7. 函数的图象如图所示，则下列大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义可得答案.【详解】因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，所以由图可得，故选：C8. 函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率即可计算作
7、答.【详解】依题意，即有，而，则过点，斜率为1的直线方程为：，所以曲线在点处切线方程为.故选：D9. 椭圆的左右焦点分别为，是上一点， 轴，则椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中结合已知条件，用焦距2c表示、，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆的半焦距为c，因是上一点， 轴，在中，由椭圆定义知，则，所以椭圆的离心率等于.故选：A10. 若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.【详解】由双曲线的定义可
8、得，结合可得当点不为双曲线的顶点时，可得，即当点为双曲线的顶点时，可得，即所以，所以，所以所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是故选：B第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线的焦点到准线的距离是_.【答案】4【解析】【详解】由y22px8x知p4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.12. 椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆定义求出其长半轴长，再结合焦点坐标即可计算作答.【详解】因椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则该椭圆长半轴长，而半焦距，于是得短半轴长b，有，所以的标
9、准方程为.故答案为：13. 已知函数，则的导函数_.【答案】【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式及积的求导法则计算作答.【详解】函数定义域为，则，所以.故答案为：14. 方程的曲线的一条对称轴是_，的取值范围是_.【答案】 . x轴或直线 . 【解析】【分析】根据给定条件分析方程的性质即可求得对称轴及x的取值范围作答.【详解】方程中，因，则曲线关于x轴对称，又，解得，此时曲线与都关于直线对称，曲线的对称轴是x轴或直线，的取值范围是.故答案为：x轴或直线；15. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），_【答案】3【解析】【详解】根据抛物线焦半径公式，所以.故答
10、案为：3.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 圆锥曲线的方程是.（1）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值.【答案】（1）且 （2）【解析】【分析】（1）由条件可得，解出即可；（2）由条件可得，解出即可.【小问1详解】若表示焦点在轴上椭圆，则，解得且【小问2详解】若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，则，解得17. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.【答案】（1）在、 上是增函数，在上是减函数； （2）在区间，上的最大值为2，最小值为【解析】【分析】（1）求导，根据导数和函数的单调性的关系
11、即可求出单调区间；（2）根据（1）可知，函数在，、上为增函数，在上为减函数，求出端点值和极值，比较即可求出最值【小问1详解】根据题意，由于，得到，在、 上是增函数，当时，在上是减函数；【小问2详解】由（1）可知，函数在，上为增函数，在上为减函数，（1），在区间，上的最大值为2，最小值为18. 已知直线，抛物线.（1）与有公共点，求的取值范围；（2）是坐标原点，过的焦点且与交于两点，求的面积.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)联立直线l与抛物线C的方程消去x，借助判别式建立不等式求解作答.(2)利用(1)中信息求出点纵坐标差的绝对值即可计算作答.【小问1详解】依题意，由消去x并整理
12、得：，因与有公共点，则，解得：，所以的取值范围是.【小问2详解】抛物线的焦点，则，设，由(1)知，则，因此，所以的面积.19. 在四棱锥中，平面，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）.【解析】【分析】(1)根据给定条件证得即可推理作答.(2)由已知条件，以点A作原点建立空间直角坐标系，借助空间位置关系的向量证明即可作答.(3)利用(2)中信息，借助空间向量求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在四棱锥中，因分别是的中点，则，因平面，平面，所以平面.【小问2详解】在四棱锥中，平面，以点A为原
13、点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，而且，则，设平面的法向量，由，令，得，又，因此有，所以平面.【小问3详解】由(2)知，令直线与平面所成角为，则有，所以直线与平面所成角的正弦值.20. 已知椭圆的一个焦点是，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由条件可得，然后可得答案；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方程，然后可得，然后可求出答案.【小问1详解】因为椭圆的一个焦点是，且离心率所以，所以
14、所以椭圆的方程为【小问2详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立可得，所以所以中点的纵坐标为，横坐标为所以线段的垂直平分线方程为令，可得当时，当时，因为，所以综上：21. 已知定点，动点与连线的斜率之积.（1）设动点的轨迹为，求的方程；（2）若是上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.【答案】（1）； （2）以为直径的圆过定点，定点坐标为和.【解析】【分析】(1)设动点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知列式即可作答.(2)设上任意一点，求出点M，N的坐标，再求出以为直径的圆的方程即可分析作答.【小问1详解】设点，则直线PA，PB的斜率分别为：，依题意，化简整理得：，所以的方程是：.【小问2详解】由(1)知，令是上任意一点，则点，直线：，则点，直线：，则点，以MN为直径的圆上任意一点，当点Q与M，N都不重合时，有，当点Q与M，N之一重合时，也成立，因此，以MN为直径的圆的方程为：，化简整理得：，而，即，则以MN为直径的圆的方程化为：，显然当时，恒有，即圆恒过两个定点和，所以以为直径的圆过定点，定点坐标为和.【点睛】知识点睛：以点为直径的两个端点的圆的方程是：.
