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北京市延庆区2021-2022学年高二上期末考试数学试卷(含答案解析)

1、北京市延庆区2021-2022学年高二上期末考试数学试题一、选择题共10个小题,每小题4分,共40分.1. 方程表示的曲线经过的一点是( )A B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为( )A. B. C. D. 3. 函数在区间上的平均变化率等于( )A. B. C. D. 4. ,则( )A. B. C. D. 5. 双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D. 6. 下列椭圆中,焦点坐标是的是( )A. B. C. D. 7. 函数的图象如图所示,则下列大小关系正确的是( )A. B. C. D. 8. 函数,则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 9. 椭圆的左右焦点

2、分别为,是上一点, 轴,则椭圆的离心率等于( )A. B. C. D. 10. 若双曲线的两个焦点为,点是上的一点,且,则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是( )A. B. C. D. 第二部分(非选择题,共110分)二、填空题共5个小题,每小题5分,共25分.11. 抛物线的焦点到准线的距离是_.12. 椭圆上一点到两个焦点距离之和等于,则的标准方程为_.13. 已知函数,则的导函数_.14. 方程的曲线的一条对称轴是_,的取值范围是_.15. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,与抛物线分别交于两点(点在轴上方),_三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.

3、 圆锥曲线的方程是.(1)若表示焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;(2)若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线,求的值.17. 已知函数.(1)求的单调区间;(2)求在区间上的最值.18. 已知直线,抛物线.(1)与有公共点,求的取值范围;(2)是坐标原点,过的焦点且与交于两点,求的面积.19. 在四棱锥中,平面,分别是中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知椭圆的一个焦点是,且离心率.(1)求椭圆方程;(2)设过点直线交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求的取值范围.21. 已知定点,动点与连线的斜率之积.(1)设动点的轨迹为,求的方程;(2)若是上关

4、于轴对称的两个不同点,直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由.北京市延庆区2021-2022学年高二上期末考试数学试题一、选择题共10个小题,每小题4分,共40分.1. 方程表示的曲线经过的一点是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当时可得,可得答案.【详解】当时可得所以方程表示的曲线经过的一点是,且其它点都不满足方程,故选:C2. 抛物线的焦点坐标为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件直接求出抛物线焦点坐标即可作答.【详解】抛物线的焦点坐标为.故选:A3. 函数在区间上平均变化率等于(

5、 )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平均变化率的定义算出答案即可.【详解】函数在区间上的平均变化率等于故选:C4 ,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出,然后可得答案.【详解】,所以故选:B5. 双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0,可得其渐近线的方程【详解】双曲线的渐近线方程是 ,即 ,故选B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单的几何性质等知识,属于基础题6. 下列椭圆中,焦点坐标是的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件逐一分析各选项中的椭

6、圆焦点即可判断作答.【详解】对于A,椭圆的焦点在x轴上,A不是;对于B,椭圆,即,焦点在y轴上,半焦距,其焦点为,B是;对于C,椭圆,即,焦点在y轴上,半焦距,其焦点为,C不是;对于D,椭圆,即,焦点在y轴上,半焦距,其焦点为,D不是.故选:B7. 函数的图象如图所示,则下列大小关系正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义可得答案.【详解】因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率,所以由图可得,故选:C8. 函数,则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数求导,利用导数的几何意义求出切线斜率即可计算作

7、答.【详解】依题意,即有,而,则过点,斜率为1的直线方程为:,所以曲线在点处切线方程为.故选:D9. 椭圆的左右焦点分别为,是上一点, 轴,则椭圆的离心率等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中结合已知条件,用焦距2c表示、,再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆的半焦距为c,因是上一点, 轴,在中,由椭圆定义知,则,所以椭圆的离心率等于.故选:A10. 若双曲线的两个焦点为,点是上的一点,且,则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件结合双曲线的定义可得,然后可得,然后可求出的范围即可.【详解】由双曲线的定义可

8、得,结合可得当点不为双曲线的顶点时,可得,即当点为双曲线的顶点时,可得,即所以,所以,所以所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是故选:B第二部分(非选择题,共110分)二、填空题共5个小题,每小题5分,共25分.11. 抛物线的焦点到准线的距离是_.【答案】4【解析】【详解】由y22px8x知p4,又焦点到准线的距离就是p,所以焦点到准线的距离为4.12. 椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于,则的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆定义求出其长半轴长,再结合焦点坐标即可计算作答.【详解】因椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于,则该椭圆长半轴长,而半焦距,于是得短半轴长b,有,所以的标

9、准方程为.故答案为:13. 已知函数,则的导函数_.【答案】【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式及积的求导法则计算作答.【详解】函数定义域为,则,所以.故答案为:14. 方程的曲线的一条对称轴是_,的取值范围是_.【答案】 . x轴或直线 . 【解析】【分析】根据给定条件分析方程的性质即可求得对称轴及x的取值范围作答.【详解】方程中,因,则曲线关于x轴对称,又,解得,此时曲线与都关于直线对称,曲线的对称轴是x轴或直线,的取值范围是.故答案为:x轴或直线;15. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,与抛物线分别交于两点(点在轴上方),_【答案】3【解析】【详解】根据抛物线焦半径公式,所以.故答

10、案为:3.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 圆锥曲线的方程是.(1)若表示焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;(2)若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线,求的值.【答案】(1)且 (2)【解析】【分析】(1)由条件可得,解出即可;(2)由条件可得,解出即可.【小问1详解】若表示焦点在轴上椭圆,则,解得且【小问2详解】若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线,则,解得17. 已知函数.(1)求的单调区间;(2)求在区间上的最值.【答案】(1)在、 上是增函数,在上是减函数; (2)在区间,上的最大值为2,最小值为【解析】【分析】(1)求导,根据导数和函数的单调性的关系

11、即可求出单调区间;(2)根据(1)可知,函数在,、上为增函数,在上为减函数,求出端点值和极值,比较即可求出最值【小问1详解】根据题意,由于,得到,在、 上是增函数,当时,在上是减函数;【小问2详解】由(1)可知,函数在,上为增函数,在上为减函数,(1),在区间,上的最大值为2,最小值为18. 已知直线,抛物线.(1)与有公共点,求的取值范围;(2)是坐标原点,过的焦点且与交于两点,求的面积.【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)联立直线l与抛物线C的方程消去x,借助判别式建立不等式求解作答.(2)利用(1)中信息求出点纵坐标差的绝对值即可计算作答.【小问1详解】依题意,由消去x并整理

12、得:,因与有公共点,则,解得:,所以的取值范围是.【小问2详解】抛物线的焦点,则,设,由(1)知,则,因此,所以的面积.19. 在四棱锥中,平面,分别是的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析; (3).【解析】【分析】(1)根据给定条件证得即可推理作答.(2)由已知条件,以点A作原点建立空间直角坐标系,借助空间位置关系的向量证明即可作答.(3)利用(2)中信息,借助空间向量求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在四棱锥中,因分别是的中点,则,因平面,平面,所以平面.【小问2详解】在四棱锥中,平面,以点A为原

13、点,射线AB,AD,AP分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图,则,而且,则,设平面的法向量,由,令,得,又,因此有,所以平面.【小问3详解】由(2)知,令直线与平面所成角为,则有,所以直线与平面所成角的正弦值.20. 已知椭圆的一个焦点是,且离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由条件可得,然后可得答案;(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程消元,然后算出中点的坐标,然后可得线段的垂直平分线方程,然后可得,然后可求出答案.【小问1详解】因为椭圆的一个焦点是,且离心率所以,所以

14、所以椭圆的方程为【小问2详解】显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,联立可得,所以所以中点的纵坐标为,横坐标为所以线段的垂直平分线方程为令,可得当时,当时,因为,所以综上:21. 已知定点,动点与连线的斜率之积.(1)设动点的轨迹为,求的方程;(2)若是上关于轴对称的两个不同点,直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由.【答案】(1); (2)以为直径的圆过定点,定点坐标为和.【解析】【分析】(1)设动点的坐标,利用斜率坐标公式结合已知列式即可作答.(2)设上任意一点,求出点M,N的坐标,再求出以为直径的圆的方程即可分析作答.【小问1详解】设点,则直线PA,PB的斜率分别为:,依题意,化简整理得:,所以的方程是:.【小问2详解】由(1)知,令是上任意一点,则点,直线:,则点,直线:,则点,以MN为直径的圆上任意一点,当点Q与M,N都不重合时,有,当点Q与M,N之一重合时,也成立,因此,以MN为直径的圆的方程为:,化简整理得:,而,即,则以MN为直径的圆的方程化为:,显然当时,恒有,即圆恒过两个定点和,所以以为直径的圆过定点,定点坐标为和.【点睛】知识点睛:以点为直径的两个端点的圆的方程是:.