1、北京市通州区2021-2022学年高二上期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是（ ）A. B. C. D. 2. 已知双曲线，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ）A B. C. D. 4. 设，则与的等比中项为（ ）A. B. C. D. 5. 等差数列公差，且，则的通项公式是（ ）A. B. C. D. 6. 设数列的前项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 7. 设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点坐标为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列的通
2、项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（ ）（结果精确到）（参考数值：）A. B. C. D. 10. 已知数列满足：，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共30分11 已知等比数列，则公比_12. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的一个取值为_13. 设数列为等差数列，若，则_14. 设数列满足，则_，_15. 设为坐标原点，点是上一个动点，为与线段的交点，经点作轴的垂线，经点作直线垂线，为
3、垂足则点的轨迹方程为_16. 已知曲线关于曲线有四个结论：直线是曲线的一条对称轴曲线是中心对称图形设曲线所围成区域面积，则曲线上的点到原点距离的最小值是则其中所有正确的结论序号是_三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前项和18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合（1）求椭圆的离心率；（2）求抛物线的方程；（3）设是抛物线上一点，且，求点的坐标19. 设等差数列的前项和为，为各项均为正数的等比数列，且，再从条件：；：；：这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：（1）
4、求和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：20. 已知直线与双曲线交于，两点，为坐标原点（1）当时，求线段的长；（2）若以为直径的圆经过坐标原点，求的值21. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点（1）求椭圆的方程及焦点坐标；（2）若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围22. 设数列的前项和为，且，（1）若（ i ）求；（ ii）求证数列成等差数列（2）若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值北京市通州区2021-2022学年高二上期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是（ ）A. B. C.
5、 D. 【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义可得结果.【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可知，到另一个焦点的距离是.故选：B.2. 已知双曲线，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线的方程及双曲线的离心率即可求解.【详解】解：因为双曲线，所以，所以双曲线的离心率，故选：D.3. 双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出、的值，可求得双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线中，因此，该双曲线的渐近线方程为.故选：B.4. 设，则与的等比中项为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用等比中项的定义可
6、求得结果.【详解】由题意可知，与的等比中项为.故选：C.5. 等差数列的公差，且，则的通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于数列为等差数列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的两个根，由可知，所以，从而可求出，可得到通项公式.【详解】解：因为数列为等差数列，所以，因为，所以可以看成一元二次方程的两个根，因为，所以，所以，解得，所以故选：C【点睛】此题考查的是等差数列的通项公式和性质，属于基础题.6. 设数列的前项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用，把代入中，即可求出答案.【详解】当时，.当时，.故选：C.7. 设抛物线的焦点
7、为，点为抛物线上一点，点坐标为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，进而把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【详解】解：由题意，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，当D，P，M三点共线时，|PM|+|PD|取得最小值为故选：B8. 已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解
8、析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，若数列为单调递增数列，则有（），所以，因为，所以，所以当时，数列为单调递增数列，而当数列为单调递增数列时，不一定成立，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，故选：A9. 如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（ ）（结果精确到）（参考数值：）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为x2my，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再令y代入抛物线方程求出x，即可得到答案【详解】解：如图建立直角坐
9、标系，设抛物线方程为x2my，由题意，将代入x2my，得m，所以抛物线的方程为x2，令y，解得，所以水面宽度为2.24817.9m故选：C10. 已知数列满足：，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由a13，利用递推思想，求出数列的前11项，推导出数列an从第6项起是周期为3的周期数列，由此能求出a2022【详解】解：数列an满足：a13，a23a1+110，5，a43a3+116，a58，4，a72，a81，a93a8+14，a102，a111，数列an从第6项起是周期为3的周期数列，20225+6723+1，a2022a64故选：A二、填空题共5小题，每小题5分，共3
10、0分11. 已知等比数列，则公比_【答案】【解析】【分析】计算出的值，即可得解.【详解】由已知可得，故.故答案为：.12. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的一个取值为_【答案】此题答案不唯一：如：.【解析】【分析】把曲线化成双曲线的标准形式，即可求出的取值范围，即可求出答案.【详解】曲线是焦点在轴上的双曲线，可得，既有且有.解得.故可取.此题答案不唯一：如：.故答案为：.13. 设数列为等差数列，若，则_【答案】5【解析】【分析】利用等差中项的定义即可求解【详解】解：数列为等差数列，a2 +a82a5，又a2+a5+a815，3a515，解得a55故答案为：514. 设数列满足，则_，_【答案
11、】 . 1 . 【解析】【分析】令，可求出，然后当时，由，得，两式相减可求出【详解】当时，当当时，由，得，两式相减得，化简得，因为满足此式，所以，故答案为：1，15. 设为坐标原点，点是上一个动点，为与线段的交点，经点作轴的垂线，经点作直线垂线，为垂足则点的轨迹方程为_【答案】【解析】【分析】设，根据条件求得，进而利用在上，即可求得Q的轨迹方程【详解】解：设，过点P作x轴的垂线l，设l交x轴于M，则，因为点P是上一个动点，D为与线段OP的交点，显然D为OP的中点，所以，因为DQx轴，所以Q为PM中点，所以，即，因为在上，所以，即，整理得，所以点Q的轨迹方程为，故答案为：16. 已知曲线关于曲线
12、有四个结论：直线是曲线的一条对称轴曲线是中心对称图形设曲线所围成的区域面积，则曲线上的点到原点距离的最小值是则其中所有正确的结论序号是_【答案】【解析】【分析】取点，根据点不在曲线上可判断；利用曲线的对称性可判断；作出曲线的图形，结合矩形与菱形的面积可判断；取点可判断.【详解】对于，点在曲线上，点关于直线的对称点的坐标为，因为，则点不在曲线上，故曲线不关于直线对称，错；对于，在曲线上任取一点，则该点关于原点的对称点为，则，即点在曲线上，故曲线关于原点对称，对；对于，当时，则有，可得，即，当时，则有，可的，即，作出曲线的图象如下图所示：矩形面积为，菱形的面积为，由图可知，对；对于，取点，则，即点
13、在曲线上，但，故错.故答案为：.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解【小问1详解】解：设等差数列公差为d，首项为a1，由题意，有，解得，所以；【小问2详解】解：，所以18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合（1）求椭圆的离心率；（2）求抛物线的方程；（3）设是抛物线
14、上一点，且，求点的坐标【答案】（1）； （2）； （3）【解析】【分析】（1）由椭圆方程即可求出离心率.（2）求出椭圆的焦点即为抛物线的焦点，即可求出答案.（3）由抛物线定义可求出点的坐标【小问1详解】由题意可知，.【小问2详解】椭圆的右焦点为，故抛物线的焦点为. 抛物线的方程为.【小问3详解】设的坐标为，解得，.故的坐标为.19. 设等差数列的前项和为，为各项均为正数的等比数列，且，再从条件：；：；：这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：（1）求和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：【答案】（1）ann，bn （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列
15、的公比为q，q0，由等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式，列出方程组求解即可得答案；（2）求出，利用裂项相消求和法求出前项和为，即可证明【小问1详解】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，q0，选：，又，可得1+5d3q，1+4d5d，解得d1，q2，则an1+n1n，bn；选：，又a1b11，a63b2，可得1+5d3q，q44（q3q2），解得d1，q2，则an1+n1n，bn；选：，又a1b11，a63b2，可得1+5d3q，8+28d6（3+3d），解得d1，q2，则an1+n1n，bn；小问2详解】证明：由（1）知，所以20. 已知直线与双曲线交于，两点，为坐标原点（1
16、）当时，求线段的长；（2）若以为直径的圆经过坐标原点，求的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，利用弦长公式可求弦长.（2）根据圆过原点可得，设，从而，联立直线方程和双曲线方程后利用韦达定理化简前者可得所求的参数的值.【小问1详解】当时，直线，设，由可得，此时，故.【小问2详解】设，因为以为直径的圆经过坐标原点，故，故，由可得，故且，故.而可化为即，因为，所以，解得，结合其范围可得.21. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点（1）求椭圆的方程及焦点坐标；（2）若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）由题
17、意，列出关于a，b，c的方程组求解即可得答案；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），则，作差可得，又线段MN的垂直平分线过点A（0，1），则，联立直线MN与椭圆的方程，可得t2+1+4k20（*），由及（*）式联立即可求解【小问1详解】解：由题意可得，解得，所以椭圆C的方程为，焦点坐标为【小问2详解】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），因为，所以，即，所以， 因为线段MN的垂直平分线过点A（0，1），所以，即，联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t240，所以（8kt）24（1+4k2）（4t24）16t2+16+64
18、k20，即t2+1+4k20（*），把代入，得， 把代入得，所以，即，代入（*）得，解得，又k0，所以k的取值范围为22. 设数列的前项和为，且，（1）若（ i ）求；（ ii）求证数列成等差数列（2）若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值【答案】（1）；详见解析； （2）5.【解析】【分析】（1）由题可得，由条件可依次求各项，即得；猜想，用数学归纳法证明即得；（2）设，由题可得，进而可得，结合条件即求.【小问1详解】（ i ），且，又，解得，解得，解得，解得，；（ ii）由，猜想数列是首项，公差为的等差数列，用数学归纳法证明：当时，成立；假设时，等式成立，即，则时，当时，等式也成立，数列是首项，公差为的等差数列.【小问2详解】设，由，即，又，又数列为递增数列，解得，由，解得.【点睛】关键点点睛：第一问的关键是由条件猜想，然后数学归纳法证明，第二问求出，即得.
