1、第9章 整式乘法与因式分解一选择题（每小题3分，共30分）1下列计算正确的是（）A2x+3y5xyB（x+1）（x2）x2x2Ca2a2a4D（a2）2a242下列各式分解因式正确的是（）Ax2+6xy+9y2（x+3y）2 B2x24xy+9y2（2x3y）2C2x28y2（x+4y）（x4y） Dx（xy）+y（yx）（xy）（x+y）3若3xy27x3y4，则内应填的单项式是（）A3x3y4B9x2y2C3x2y3D9x2y34下列各运算中，正确的是（）A（m2）2m24 B（a+1）（a1）a21C（1+2a）21+2a+4a2 D（a+1）（1+a）a215下列因式分解正确的是（）A
2、a（ab）b（b）（ab）（a+b）Ba29b2（a3b）2Ca2+4ab+4b2（a+2b）2 Da2ab+aa（ab）6已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数若甲与乙相乘的积为x24，乙与丙相乘的积为x22x，则甲与丙相乘的积为（）A2x+2Bx2+2xC2x2Dx22x7如果 x2kxab（xa）（x+b），则k应为（）AabBa+bCbaDab8定义aba（b+1），例如232（3+1）248，则（x1）x的结果为（）Ax2+xBx2+1Cx21D2x29现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（12aba）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形
3、卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab6，则小正方形卡片的面积是（）A2B3C4D510如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（）Aa2+3aB2a2+6aC2a2+3aDa2+6a二填空题（每小题3分，共24分）11（2022秋克什克腾旗期末）因式分解：a34ab2 12若三角形的一边长为2a+1，这边上的高为2a1，则此三角形的面积为13已知Pm2m，Qm1（m为任意实数），
4、则P、Q的大小关系为14已知a+b5，ab4，则a2ab+b2 A29B37C21D3315已知x3y+5，且x27xy+9y224，则x2y3xy2的值为 16若16x2+1+k（k为含x的单项式）是一个完全平方式，则满足条件的k为 17已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4依此方法，代数式y26y+10的最小值是 18小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1a2的值为（）A1B4039C4039D1三解答题（共4
5、6分）1（12分）计算：（1）(-12)-2+(-3)0+(-0.2)2019(-5)2020；（2）（a）3a2+（2a4）2a3；（3）（m1）2（m+3）（m3） （4）（3x+y+2）（3xy2）20（6分）因式分解：（1）2a28a； （2）a36a2b+9ab221（6分）你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？（x+2y）22（x+2y）+1 （a+b）24（a+b1）22（8分）如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一
6、点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（ab）（1）分别写出图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a、b的代数式表示）；（2）如果a+b6，ab4，求S1的值；（3）当S1S2时，求ba的取值范围23（6分）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）（c，d）adbc，例如：（1，3）（2，4）14232（1）求（2，3）（4，5）的值为 ；（2）求（3a+1，a2）（a+2，a3）的值，其中a24a+1024（8分）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若
7、干块，A型板材规格是ab，B型板材规格是bb现只能购得规格是150b的标准板材（单位：cm）（1）若设a60cm，b30cm一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数3mn则表中，m ，n ；（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是aa，并做成如图2的背景墙请写出图中所表示的等式： ；（3）若给定一个二次三项式2a2+5ab+3b2，试用拼图的方式将其因式分解（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量）第9章 整式乘法与因式分解一选择题（每小题3分，共30分）1下列计算正确的是（）A2x+
8、3y5xyB（x+1）（x2）x2x2Ca2a2a4D（a2）2a24思路引领：根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、多项式乘多项式法则及完全平方公式逐项判断解：2x+3y不能合并了，故A不符合题意；（x+1）（x2）x2x2，故B符合题意；a2a2a01，故C不符合题意；（a2）2a24a+4，故D不符合题意；故选：B总结提升：本题考查了合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的乘法、多项式与多项式相乘，熟练掌握这三个法则的应用是解题关键2下列各式分解因式正确的是（）Ax2+6xy+9y2（x+3y）2B2x24xy+9y2（2x3y）2C2x28y2（x+4y）（x4y）Dx（xy）+y（yx
9、）（xy）（x+y）思路引领：利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解即可解：Ax2+6xy+9y2（x+3y）2，符合完全平方公式，因此选项A符合题意B.4x212xy+9y2（2x3y）2，因此选项B不符合题意；C.2x28y22（x+2y）（x2y），因此选项C不符合题意；Dx（xy）+y（yx）x（xy）y（xy）（xy）2，因此选项D不符合题意；故选：A总结提升：本题考查因式分解，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提3若3xy27x3y4，则内应填的单项式是（）A3x3y4B9x2y2C3x2y3D9x2y3思路引领：根据单项式乘以单项式和已知得出内应填的单项式是27
10、x3y43xy，再求出即可解：3xy27x3y4，内应填的单项式是27x3y43xy9x2y3，故选：D总结提升：本题考查了单项式乘以单项式，能熟记单项式乘以单项式法则的内容是解此题的关键4下列各运算中，正确的是（）A（m2）2m24B（a+1）（a1）a21C（1+2a）21+2a+4a2 D（a+1）（1+a）a21思路引领：根据平方差公式和完全平方公式计算即可求出答案解：A、原式m24m+4，原计算错误，故此选项不符合题意；B、原式（a+1）2（a2+2a+1）a22a1，原计算错误，故此选项不符合题意；C、原式1+4a+4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a+1）（1+a）a
11、21，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D总结提升：本题考查整式的运算解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式进行计算5下列因式分解正确的是（）Aa（ab）b（b）（ab）（a+b）Ba29b2（a3b）2Ca2+4ab+4b2（a+2b）2Da2ab+aa（ab）思路引领：直接利用公式法以及提取公因式法分别分解因式得出答案解：A、a（ab）b（ab） （ab）2，故此选项错误；B、a29b2（a3b）（a+3b），故此选项错误；C、a2+4ab+4b2（a+2b）2，故此选项正确；D、a2ab+aa（ab+1），故此选项错误；故选：C总结提升：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因
12、式，正确运用乘法公式是解题关键6已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数若甲与乙相乘的积为x24，乙与丙相乘的积为x22x，则甲与丙相乘的积为（）A2x+2Bx2+2xC2x2Dx22x思路引领：把图中的积分解因式后，确定出各自的整式，相乘即可解：甲与乙相乘的积为x24（x+2）（x2），乙与丙相乘的积为x22xx（x2），甲为x+2，乙为x2，丙为x，则甲与丙相乘的积为x（x+2）x2+2x，故选：B总结提升：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键7如果 x2kxab（xa）（x+b），则k应为（）AabBa+bCbaDab思路引领：根据
13、多项式与多项式相乘知（xa）（x+b）x2+（ba）xab，据此可以求得k的值解：（xa）（x+b）x2+（ba）xab，又x2kxab（xa）（x+b），x2kxabx2+（ba）xab，kba，kab，故选：A总结提升：本题主要考查多项式与多项式相乘，熟记计算方法是解题的关键8定义aba（b+1），例如232（3+1）248，则（x1）x的结果为（）Ax2+xBx2+1Cx21D2x2思路引领：原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果解：根据题中的新定义得：原式（x1）（x+1）x21故选：C总结提升：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键9现有一张边长为a的大
14、正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片（12aba）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab6，则小正方形卡片的面积是（）A2B3C4D5思路引领：根据题意、结合图形分别表示出图2、3中的阴影部分的面积，根据题意列出算式，再利用整式的混合运算法则计算即可解：图3中的阴影部分的面积为：（ab）2，图2中的阴影部分的面积为：（2ba）2，由题意得，（ab）2（2ba）22ab6，整理得，b22，则小正方形卡片的面积是2，故选：A总结提升：本题考查的是整
15、式的混合运算，正确表示出两个阴影部分的面积是解题的关键10如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（）Aa2+3aB2a2+6aC2a2+3aDa2+6a思路引领：由拼成的长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积，即可计算解：拼成的长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积，拼成的长方形的面积（a+3）232a2+6a，故选：D总结提升：本题考查图形的面积，关键是明白：拼成的长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积二填空题（每小题3分，共24分）11（2022秋克什克腾旗期末）因式分解：a
16、34ab2 思路引领：先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可解答解：a34ab2a（a24b2）a（a+2b）（a2b），故答案为：a（a+2b）（a2b）总结提升：本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公司式，必须先提公因式12若三角形的一边长为2a+1，这边上的高为2a1，则此三角形的面积为思路引领：根据三角形的面积，可得多项式的乘法，根据多项式的乘法，可得答案解：由题意，得12（2a+1）（2a1）=12（4a21）2a2-12，故答案为：2a2-12总结提升：本题考查了多项式乘多项式，利用平方差公式是解题关键13已知Pm2m，Qm1（m为任意实数
17、），则P、Q的大小关系为思路引领：直接求出PQ的差，利用完全平方公式以及偶次方的性质求出即可解：Pm2m，Qm1（m为任意实数），PQm2m（m1）m22m+1（m1）20，PQ故答案为：PQ总结提升：此题主要考查了运用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键14已知a+b5，ab4，则a2ab+b2 A29B37C21D33思路引领：把a+b5两边平方，利用完全平方公式化简，把ab的值代入计算即可求出a2+b2的值；原式结合后，把各自的值代入计算即可求出值解：把a+b5两边平方得：（a+b）2a2+b2+2ab25，将ab4代入得：a2+b233，则a2ab+b233（4）37总结提升
18、：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键15已知x3y+5，且x27xy+9y224，则x2y3xy2的值为 思路引领：依据x3y5两边平方，可得x26xy+9y225，再根据x27xy+9y224，即可得到xy的值，进而得出x2y3xy2的值解：x3y+5，x3y5，两边平方，可得x26xy+9y225，又x27xy+9y224，两式相减，可得xy1，x2y3xy2xy（x3y）155，总结提升：本题主要考查了完全平方公式的运用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式16若16x2+1+k（
19、k为含x的单项式）是一个完全平方式，则满足条件的k为 思路引领：利用完全平方式的结构特征即可确定出单项式k解：整式16x2+1+k是完全平方式（k为含x的单项式），则满足条件的单项式k是8x，64x4，故答案为：8x，64x4总结提升：此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键17已知代数式x2+2x+5可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+4，进而可知x2+2x+5的最小值是4依此方法，代数式y26y+10的最小值是 思路引领：仿照题中的方法将原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可解：y26y+10y26y+32+1（y3）2+11，则代数式y26y+10的最小值是1故答
20、案为：1总结提升：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键18小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1a2的值为（）A1B4039C4039D1思路引领：依据小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，即可得到c1c22020220192，进而得出结论解：（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；a120192，（2020x2019）
21、2展开后得到a2x2+b2x+c2，a220202，a1a22019220202（2019+2020）（20192020）4039，故选：B总结提升：本题主要考查了完全平方公式以及平方差公式的应用，应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看作一项后，也可以用完全平方公式三解答题（共46分）1（12分）计算：（1）(-12)-2+(-3)0+(-0.2)2019(-5)2020；（2）（a）3a2+（2a4）2a3；（3）（m1）2（m+3）（m3）（4）（3x+y+2）（3xy2）思路引
22、领：（1）根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方可以解答本题；（2）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；（3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题（4）首先应用平方差公式，可得：（3x+y+2）（3xy2）（3x）2（y+2）2；然后再应用完全平方公式，求出算式的值是多少即可解：（1）(-12)-2+(-3)0+(-0.2)2019(-5)20204+1+（-15）2019（5）2019（5）4+1+（-15）（5）2019（5）4+1+12019（5）4+1+1（5）4+1+（5）0；（2）（a）3a2+（2a4）2a3（a3）a2+（4a8）a3a5+4a53a5；（3）（m
23、1）2（m+3）（m3）m22m+1m2+92m+10（4）（3x+y+2）（3xy2）（3x）2（y+2）29x2y24y4总结提升：本题考查整式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂、完全平方公式和平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法20（6分）因式分解：（1）2a28a；（2）a36a2b+9ab2思路引领：（1）直接提取公因式2a，进而分解因式即可；（2）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可解：（1）2a28a2a（a4）；（2）a36a2b+9ab2a（a26ab+9b2）a（a3b）2总结提升：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解
24、题关键21（6分）你知道数学中的整体思想吗？解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？（x+2y）22（x+2y）+1 （a+b）24（a+b1）思路引领：观察式可将（x+2y）写成（x+2y）1，将（x+2y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解观察式可将4（a+b1）运用分配律改写成4（a+b）4，将（a+b）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解解：（x+2y）22（x+2y）+1（x+2y）22（x+2y）1+12（x+2y）1）2（x+2y1
25、）2故答案为（x+2y1）2（a+b）24（a+b1）（a+b）24（a+b）+4（a+b）22（a+b）2+22（a+b）2）2（a+b2）2故答案为（a+b2）总结提升：此题的关键在于整体思想的灵活运用，再结合完全平方公式进行因式分解22（8分）如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（ab）（1）分别写出图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a、b的代数式表示）；（2）如果a+b6，ab4，求S1的值；（3）当S1S2时，求ba的取值
26、范围思路引领：（1）利用两个正方形的面积减去空白部分的面积列式即可；（2）把a+b6，ab4，整体代入S1的代数式求得数值即可；（3）联立不等式，进一步求得答案即可解：（1）S1a2+b2-12a2-12b（a+b）=12a2+12b2-12ab，如图，延长AD、EF交于H，S2S梯形CEHAS正方形CEFGSAFH=12a（b+a+b）b2-12（a+b）（ab）ab-12b2；（2）a+b6，ab4，S1=12a2+12b2-12ab=12（a+b）2-32ab18612；（3）S1S2，12a2+12b2-12abab-12b212a2+b2-32ab0，a2+2b23ab0，（a2b）
27、（ab）0，ab，a2b0，a2b，12ba1总结提升：此题考查列代数式，整式的混合运算，以及因式分解的实际运用，求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键23（6分）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）（c，d）adbc，例如：（1，3）（2，4）14232（1）求（2，3）（4，5）的值为 ；（2）求（3a+1，a2）（a+2，a3）的值，其中a24a+10思路引领：（1）利用新定义得到（2，3）（4，5）2534，然后进行有理数的混合运算即可；（2）利用新定义得到原式（3a+1）（a3）（a2）（a+2），然后去括号后合并，最后利用整体代入的方法计算解：（1）（2，3）（4，
28、5）2534101222；故答案为22；（2）（3a+1，a2）（a+2，a3）（3a+1）（a3）（a2）（a+2）3a29a+a3（a24）3a29a+a3a2+42a28a+1，a24a+10，a24a1，（3a+1，a2）（a+2，a3）2（4a1）8a+11总结提升：本题考查了整式的混合运算化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似24（8分）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若干块，A型板材规格是ab，B型板材规格是bb现只能购得规格是150b的标准板材（
29、单位：cm）（1）若设a60cm，b30cm一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数3mn则表中，m ，n ；（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是aa，并做成如图2的背景墙请写出图中所表示的等式： ；（3）若给定一个二次三项式2a2+5ab+3b2，试用拼图的方式将其因式分解（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量）思路引领：（1）根据矩形的面积列出m或n的方程，再解答便可；（2）用正方形的面积公式表示出图形的面积，用各部分面积和表示出图形的面积，进而用等式表示出相等关系便可；（3）仿样例画出长方形，其长为2a+3b，宽为a+b，结合图形便可得出结果解：（1）根据题意得，26030+302m15030，302n15030解得，m1，n5，故答案为：1；5；（2）正方形的边长为（a+2b），正方形的面积为（a+2b）2；正方形的面积等于各部分面积和a2+4ab+4b2；（a+2b）2a2+4ab+4b2，故答案为：（a+2b）2a2+4ab+4b2；（3）画出矩形，其长为2a+3b，宽为a+b，如图，由图形可知，2a2+5ab+3b2（2a+3b）（a+b）总结提升：本题考查了因式分解的应用：利用图形验证乘法公式，关键是读懂题意，正确画出图形和列出方程
