1、专题14 二次函数【知识要点】知识点一 二次函数的概念二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。2）a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。3）二次项系数a0，而b，c可以为零。知识点二 二次函数的图象和性质（重点）二次函数的图象：它是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。【特征】：对称轴是直线；顶点坐标是(，)；c表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)；基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x
2、-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a0 时，开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；a0x0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的右边y随x的增大而增大。a0x0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的右边y随x的增大而减小。二次函数图象的平移：【平移规律口诀】h值正右移，负左移；k值正上移，负下移，简称“左加右减，上加下减”。知识点三 二次函数的最值问题1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)；即：当时，（a0，取得最小值；a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越
3、小，开口越大；当a0的前提下，当b0时，-b2a0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号）。在a0时，-b2a0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；当b=0时，-b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b0时，-b2a0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c1时，y随x的增大而增大题型1-2（2022新疆中考真题）已知抛物线y=(x-2)2+1，下列结论错误的是（）A抛物线开口向
4、上B抛物线的对称轴为直线x=2C抛物线的顶点坐标为(2,1)D当x2Bm32Cm1D32m2题型1-4（2021辽宁阜新中考真题）如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A，B-1,0两点，则下列说法正确的是（）Aa0B点A的坐标为-4,0C当x0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）Aa0Ba1Ca1Day2,则x1x2（填“”或“”或“=”）易错点总结：考查题型二 y=ax2+bx+c的图象和性质题型2（2022辽宁阜新中考真题）下列关于二次函数y=3(x+1)(2-x)的图像和性质的叙述中，正确的是（）A点(0,2)在函数图像上B开口方向向上C对称轴是直线x=1D与直
5、线y=3x有两个交点题型2-1（2022甘肃兰州中考真题）已知二次函数y=2x2-4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）Ax1Cx2题型2-2（2022广东广州中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=-2，下列结论正确的是（）Aa0C当x-2时，y随x的增大而减小题型2-3（2022山东青岛中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=-1，且经过点(-3，0)，则下列结论正确的是（）Ab0Bc0D3a+c=0题型2-4（2022广西贺州中考真题）已知二次函数y=2x24x1在0xa时，y取得的最大值为15，则a的值为（
6、）A1B2C3D4题型2-5（2022湖南岳阳中考真题）已知二次函数y=mx2-4m2x-3（m为常数，m0），点Pxp,yp是该函数图象上一点，当0xp4时，yp-3，则m的取值范围是（）Am1或m0Dm-1题型2-6（2022江苏徐州中考真题）若二次函数y=x2-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为_题型2-7（2022江苏盐城中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是_题型2-8（2022黑龙江牡丹江中考真题）抛物线y=x2-2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是
7、_题型2-9（2022山东青岛中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m23（m为常数，m0）的图象经过点P(2，4)(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m23的图象与x轴交点的个数，并说明理由易错点总结：考查题型三 二次函数图象与系数符号之间的关系题型3（2022湖南株洲中考真题）已知二次函数y=ax2+bx-ca0，其中b0、c0，则该函数的图象可能为（）ABCD题型3-1（2022四川成都中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(-1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（）Aa0B当x-1时，y的值随x值的增大而增大C点B的坐标为(4,
8、0)D4a+2b+c0题型3-2（2022四川绵阳中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，若-2x1-1，则下列四个结论：3x20，b2a+c+4ac，acb正确结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个题型3-3（2022贵州毕节中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；2a-b=0；9a+3b+c0；b24ac；a+c0；2c3b 0；5a +b+2c=0；若B（43，y1）、C（13，y2）、D（-13，y3）是抛物线上的三点，则y1y20,b2
9、-4ac0的图象是由函数y=ax2+bx+ca0,b2-4ac0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）2a+b=0 ；c=3；abc0；将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点ABCD题型7-4（2022贵州黔东南中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_题型7-5（2022浙江嘉兴中考真题）已知抛物线L1：ya(x1)24（a0）经过点A(1，0)(1)求抛物线L1的函数表达式(2)将抛物线L1向上平移m（m0）个单位得到抛物线L2若抛物线L2的顶点关于坐标原
10、点O的对称点在抛物线L1上，求m的值(3)把抛物线L1向右平移n（n0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1y2，求n的取值范围易错点总结：知识点五 二次函数与方程、不等式之间的关系二次函数与一元二次方程的关系：1）一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标；2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：当0时，图象与x轴有两个交点；当=0时，图象与x轴有一个交点；当0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；2）ax2+bx+c0和a0时，抛物线开口向上当=b2-4ac0时，有4
11、ac-b20，顶点纵坐标4ac-b24a0，顶点纵坐标4ac-b24a=0顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根当=b2-4ac=0时，（2）a0时的提示过程，写出中当a0,0；4a+b=0；当y0时，-2x6；a+b+c0其中正确的个数为（）A4B3C2D1题型9-1（2021广西贺州中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1)，B(1,y2)两点，则关于x的不等式ax2+c-kx+m的解集是（ ）Ax-3或x1Bx-1或x3C-3x1D-1x3题型9-2（2022四川自贡中考真题）九年级2班
12、计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（）A方案1B方案2C方案3D方案1或方案2易错点总结：知识点六 二次函数与实际问题 “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解； “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程考查题型十 利用二次函数解决图形问题题型10（2
13、022新疆中考真题）如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_m2题型10-1（2022江苏无锡中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？题型10-2（2022安徽中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边
14、AB为2米以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米E（0，8）是抛物线的顶点(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和请解决以下问题：（）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上设点P1的横坐标为m0m6，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种
15、设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）考查题型十一 利用二次函数解决图形运动问题题型11（2022辽宁鞍山中考真题）如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，AB=43cm，CDAB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为ts，MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A BCD题型11-1（2022辽宁锦州中考真题）如图，四
16、边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E-O-F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）ABCD题型11-2（2022山东烟台中考真题）如图1，ABC中，ABC60，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐
17、标为（2，3），则AB的长为 _题型12 （2022四川广安中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降_米，水面宽8米考查题型十二 利用二次函数解决拱桥问题题型12-1（2022浙江温州中考真题）根据以下素材，探索完成任务如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条
18、件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标题型12-2（2022陕西中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m(1)求满足设计要求
19、的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标考查题型十三 利用二次函数解决销售问题题型13 （2022山东聊城中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10x20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为_元（利润=总销售额-总成本）题型13-1（2022山东滨州中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价
20、格销售，则每月能卖出60件假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数(1)求y关于x的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润题型13-2（2022辽宁朝阳中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8x15，且x为整数）当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件(1)求y与x之间的函数关系式(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？(3)设该商店销售这
21、种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？题型13-3（2022浙江金华中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y1=ax2+c，部分对应值如表：售价x（元/千克）2.533.54需求量y1（吨）7.757.26.555.8该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y2=x-1，函数图象见图117月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为
22、x1=12t+2，x2=14t2-32t+3，函数图象见图2请解答下列问题：(1)求a，c的值(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润考查题型十四 利用二次函数解决投球问题题型14 （2022江苏南通中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h=-5t2+20t，当飞行时间t为_s时，小球达到最高点题型14-1（2022贵州黔西中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的
23、抛物线按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=-112x2+23x+53，则铅球推出的水平距离OA的长是_m题型14-2（2022甘肃兰州中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得
24、分为满分10分该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由考查题型十五 利用二次函数解决喷水问题题型15 （2022四川南充中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m那么喷头高_m时，水柱落点距O点4m题型15-1（2022河南中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直
25、角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax-h2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度 (1)求抛物线的表达式(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离题型15-2（2022浙江台州中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左
26、平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）(1)若h=1.5，EF=0.5m；求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；(2)若EF=1m要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值考查题型十六 利用二次函数解决其它问题题型16 （2022四川成都中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h=-5t2+mt+n，其图像如图
