1、专题7 不等式（组）【知识要点】知识点一 不等式的有关概念和性质不等式的定义：用不等号“”、“”、“”、“”或“”表示不等关系的式子，叫作不等式。【注意】1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。2）常用的不等号有：“”（不等于），“”（大于），“”（大于或等于），“b或ab，则a+cb+c，a-cb-c。基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即若ab,c0，则acbc（或acbc）基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即若ab,c0，则acbc（或acb，则bbc，则ac。基本性质
2、6：如果，那么.【注意】1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。不等式性质与等式性质的相同和不同点：相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。不同点：1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。【总结】等式的性质不等式的性质对称性：若a=b，则b=a反对称性：若ab，则bb，bc，则ac性质1：若a=b，则ac=bc性质1：若ab，则acbc性质2
3、：若a=b，c0，则ac=bc，性质2：若ab，c0，则acbc，性质3：若ab，c0，则acn，则下列不等式中正确的是（）Am-2-12nCn-m0D1-2mb，则下列四个选项中一定成立的是（）Aa+2b+2B-3a-3bCa4b4Da-1b，c=d，则（）Aa+cb+dBa+bc+dCa+cb-dDa+bc-d题型1-3（2022四川内江中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A12a12bBabCa+b0D|a|b|0题型1-4（2022江苏常州中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a_1b（填“”、“=”或“3x-22-1解：
4、22x-133x-2-6第一步4x-29x-6-6第二步4x-9x-6-6+2第三步-5x-10第四步x2第五步任务一：填空：以上解题过程中，第二步是依据_（运算律）进行变形的；第_步开始出现错误，这一步错误的原因是_；任务二：请直接写出该不等式的正确解集易错点总结：知识点二 解一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。例如，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。解一元一次不等式的一般步骤： 去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1解一元一次方程和解一元
5、一次不等式的区别：一元一次方程一元一次不等式解法的依据方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变解法的步骤去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1在步骤和步骤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向解得情况一元一次方程只有一个解一元一次不等式可以有无数多个解【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最
6、小公倍数，千万不要漏乘。考查题型二 求一元一次不等式解集题型2（2022辽宁大连中考真题）不等式4x-2Bx2Dx2题型2-1（2022四川攀枝花中考真题）若关于x的方程x2-x-m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（）Am-14题型2-2（2022山东聊城中考真题）关于x，y的方程组2x-y=2k-3x-2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）Ak8Bk8Ck8Dk8题型2-3（2022内蒙古通辽中考真题）若关于x的分式方程：2-1-2kx-2=12-x的解为正数，则k的取值范围为（）Ak2Bk-1Dk-1且k0题型2-4（2022贵州遵义中考真题）关于x的一元一次不等式x-
7、30的解集在数轴上表示为（）ABCD题型2-5（2022北京中考真题）若x-8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_题型2-6（2022安徽中考真题）不等式x-321的解集为_题型2-7（2022四川攀枝花中考真题）解不等式：12(x-3)13-2x 题型2-8（2022河北中考真题）整式313-m的值为P(1)当m2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值易错点总结：考查题型三 在数轴上表示不等式的解集题型3（2022四川雅安中考真题）使x-2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）ABCD题型3-1（2022辽宁锦州中考真题）不等式12x-17-32x的解集在数轴上表示
8、为（）ABCD题型3-2（2022江苏连云港中考真题）解不等式2x13x-12，并把它的解集在数轴上表示出来题型3-3（2022湖北宜昌中考真题）解不等式x-13x-32+1，并在数轴上表示解集易错点总结：考查题型四 用一元一次不等式解决实际问题题型4（2022浙江丽水中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A设选用灯泡的电阻为R()，下列说法正确的是（）AR至少2000BR至多2000CR至少24.2DR至多24.2题型4-1（2022山西中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售“五一节”期间，商店为让利于顾客
9、，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_元题型4-2（2022辽宁阜新中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？题型4-3（2022山东济宁中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物
10、资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：货车类型载重量（吨/辆）运往A地的成本（元/辆）运往B地的成本（元/辆）甲种161200900乙种121000750(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆写出w与t之间的函数解析式；当t为何值时，w最小？最小值是多少？题型4-4（2022黑龙江哈尔滨中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元
11、；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？题型4-5（2022广西玉林中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元(1)求两次购买龙眼各是多少吨？(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格
12、分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？题型4-6 （2022湖南邵阳中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少
13、个？知识点三 解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。不等式组解集的确定方法（a）b）：不等式解集在数轴上的表示方法：含或，用实心圆点，含或用空心圆圈：【注意】1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。解一元一次不等式组的一般步骤：1） 求出不等式组中各不等式的解集。2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来。3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。考查题型五 解一元一次不等式
14、组题型5（2022浙江衢州中考真题）不等式组3x-22（x+1），x-121的解集是（）Ax3B无解C2x4D3x4题型5-1（2022湖南益阳中考真题）若x2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（）Ax1x-1Bx-1Cx1x1x-1题型5-2（2022辽宁阜新中考真题）不等式组-x-120.5x-10,7-2x5仅有3个整数解，则a的取值范围是（）A4a2B3a2C3a2D3a2题型5-5（2022广西河池中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是()A-12m-12Cm0Dm23-x12x-112(a-2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（）
15、A3B4C5D6题型5-7（2022四川攀枝花中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程若方程13x-1=0是关于x的不等式组x-2n2n-2x0的关联方程，则n的取值范围是 _题型5-8（2022湖北黄石中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是_题型5-9（2022江苏淮安中考真题）解不等式组：2x-1-43x-623x-12x-1x+2请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）解：解不等式，得_解不等式，得_把不等式和的解集在数轴上表示出来所以原不等式组解集为_易错点总结：考查题
16、型六 由一元一次不等式解集求参数题型6（2022黑龙江中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x-13x-a0的解集为x2，则a的取值范围是_题型6-1（2022四川绵阳中考真题）已知关于x的不等式组2x+3x+m2x+53-30xm的解集为x2，则m的取值范围为_题型6-4（2022湖北荆州中考真题）已知方程组x+y=3x-y=1的解满足2kx-3y”（大于），“”（大于或等于），“b或ab，则a+cb+c，a-cb-c。基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即若ab,c0，则acbc（或acbc）基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于
17、0的整式，不等号方向改变，即若ab,c0，则acbc（或acb，则bbc，则ac。基本性质6：如果，那么.【注意】1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。不等式性质与等式性质的相同和不同点：相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。不同点：1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。【总结】等式的性质不等式的性质对称性：若a=b，则b=a反对称性：
18、若ab，则bb，bc，则ac性质1：若a=b，则ac=bc性质1：若ab，则acbc性质2：若a=b，c0，则ac=bc，性质2：若ab，c0，则acbc，性质3：若ab，c0，则acn，则下列不等式中正确的是（）Am-2-12nCn-m0D1-2mn-2，故本选项不合题意；B、mn，-12m0，故本选项不合题意；D、mn，1-2mb，则下列四个选项中一定成立的是（）Aa+2b+2B-3a-3bCa4b4Da-1b，不等边两边同时加上2得到a+2b+2，故原选项正确，此项符合题意；B因为ab，不等边两边同时乘-3得到-3ab，不等边两边同时除以4得到a4b4，故原选项错误，此项不符合题意；D因
19、为ab，不等边两边同时减1得到a-1b-1，故原选项错误，此项不符合题意故选：A【名师点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解答关键不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变题型1-2（2022年浙江省杭州市中考数学真题）已知a，b，c，d是实数，若ab，c=d，则（）Aa+cb+dBa+bc+dCa+cb-dDa+bc-d【答案】A【提示】根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能
20、判定B、C、D错误【详解】解：A、ab， c=d，a+cb+d故此选项符合题意；B、ab， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，a+bb， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=-4，则a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，a+cb， c=d，如a=-2,b=-3,则a+b=-5,c-d=0，a+bc-d, 故此选项不符合题意；故选：A【名师点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键题型1-3（2022四川内江中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（）A12a12bBabCa
21、+b0D|a|b|0【答案】A【提示】根据数轴得出ab，根据不等式的性质对四个选项依次提示即可得到答案【详解】解：由题意得：ab，2a2b，12a12b，A选项的结论成立；ab，ab，B选项的结论不成立；2a1，2b3，1a2，2b3ab，a+b0，C选项的结论不成立；aba-b”、“=”或“【提示】由图可得：1ab，再根据不等式的性质即可判断【详解】解：由图可得：1a1b，故答案为：【名师点拨】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质题型1-5（2021山西中考真题）（1）计算：-14-8+-23122（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务2x-133
22、x-22-1解：22x-133x-2-6第一步4x-29x-6-6第二步4x-9x-6-6+2第三步-5x-10第四步x2第五步任务一：填空：以上解题过程中，第二步是依据_（运算律）进行变形的；第_步开始出现错误，这一步错误的原因是_；任务二：请直接写出该不等式的正确解集【答案】（1）6；（2）任务一：乘法分配律（或分配律）；五；不等式两边都除以5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：x2【提示】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）根据不等式的性质3判断并计算即可【详解】（1）解：原式=18+(-8)14=8+-2=6（2）乘法分配律（或分配律）五不等式两边都除以5，不
23、等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：不等式两边都除以5，改变不等号的方向得：x2【名师点拨】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键知识点二 解一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。例如，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。解一元一次不等式的一般步骤： 去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：一元一次方程一元一次不等式解法的依据方程得两边
24、加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变解法的步骤去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1在步骤和步骤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向解得情况一元一次方程只有一个解一元一次不等式可以有无数多个解【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。考查题型二 求一元一次不等式解集题型2（
25、2022辽宁大连中考真题）不等式4x-2Bx2Dx2【答案】D【提示】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案【详解】解：4x3x+2，移项，合并同类项得：x2, 故选D【名师点拨】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键题型2-1（2022四川攀枝花中考真题）若关于x的方程x2-x-m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（）Am-14【答案】C【提示】根据一元二次方程有实数根0，列不等式求解即可【详解】解析：关于x的方程x2-x-m=0有实数根，=(-1)2-4(-m)=1+4m0，解得m-14，故选C【名师点拨】此题考查了一元二次方程根
26、的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键题型2-2（2022山东聊城中考真题）关于x，y的方程组2x-y=2k-3x-2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（）Ak8Bk8Ck8Dk8【答案】A【提示】由两式相减，得到x+y=k-3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=k-3，根据题意得：k-35，解得：k8所以k的取值范围是k8故选：A【名师点拨】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键题型2-3（2022内蒙古通辽中考真题）若关于x的分式方程：2-1-2kx-2=12-x的解为正数，则k的取值范围为（）Ak2Bk-1Dk-1且k0【答案】B【提示】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围【详解】解：2-1-2kx-2=12-x，2x-2-1+2k=-1，解得：x=2-k，解为正数，2-k0，k2，分母不能为0，x2，2-k2，解得k0，综上所述：k2且k0，故选：B【名师点拨】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键题型2-4（2022贵州遵义中考真题）关于x的一元一次不等式x-3
