1、专题2 实数【知识要点】知识点一 平方根算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；2）0的算术平方根为0（规定）；3）负数没有算术平方根。考查题型一 算术平方根的相关计算【解题思路】了解算术平方根的定义及相关性质是解题的关键。典例1（）ABCD2变式1-1（2022四川凉山中考真题）化简：（）A2B2C4D2变式1-2（2022广西贺州中考真题）若实数m，n满足，则_变式1-3（2022四川广安中考真题）若（a3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角
2、形的周长为_变式1-4（2021青海中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）A8B6或8C7D7或8易错点总结：平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。平方根的表示：正数a的平方根用a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， -a叫做a的负平方根。平方根的性质：1）一个正数有两个平方根：a，且他们互为相反数（重点）。2）3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）4）负数没有平方根平方根与算术平方根的区别与联系：【扩展】考查题型二 平方根的相关计算【解题思
3、路】了解平方根的定义及相关性质是解题的关键。典例2（2022四川宜宾中考真题）4的平方根是（）A2B2C2D16变式2-1（2021四川凉山中考真题）的平方根是（ ）A9B9和9C3D3和3变式2-2（2021河北石家庄模拟）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（）A1B3C4D9易错点总结：知识点二 立方根立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a立方根的性质：1）任何实数都有唯一确定的立方根。2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。3）的立方根是。4）互为相反数的两个数的立方根互为相反
4、数。开立方概念：求一个数的立方根的运算。开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3-a=-3a （a取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。n次方根(扩展)概念：如果一个数的n次方（n是大于的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。性质： 正数的偶次方根有两个：na；的偶次方根为：n0=0；负数没有偶次方根。正数的奇次方根为正。的奇次方根为。负数的奇次方根为负。考查题型三 立方根的相关计算【解题思路】了解立方根的定义及相关性质是解题的关键。典例3（2022江苏淮安中考真题）27的立方根为_变式3-1（2022
5、湖北荆门中考真题）计算：+cos60（2022）0_变式3-2（2019山东潍坊中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A2.5B2.6C2.8D2.9变式3-3（选做）（2020山东烟台中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（）A按键即可进入统计计算状态B计算的值，按键顺序为：C计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333变式3-4（2021四川资阳中考真题）若，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD变式3-5（2021江苏南京中
6、考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）A16的4次方根是2B32的5次方根是C当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大易错点总结：知识点三 实数无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。【扩展】有理数与无理数的区别：1）概念不同：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。常见的无理数类型：1）一般的无限不循环小数，如：1.414212342）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002(相邻两个2之间0的个数逐
7、次加1)。3）有特定意义的数，如：4)开方开不尽的数。如：3,35。考查题型四 无理数的判断【解题思路】掌握无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键。典例4（2022浙江金华中考真题）在中，是无理数的是（）ABCD2变式4-1（2022湖南常德中考真题）在，2022这五个数中无理数的个数为（）A2B3C4D5变式4-2（2022湖南中考真题）从，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是_变式4-3（2022浙江宁波中考真题）写出一个大于2的无理数_易错点总结：考查题型五 无理数的估值【解题思路】得到最接近无理数的两个有理数的值现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数
8、学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法典例5（2022重庆中考真题）估计的值在（）A6到7之间B5到6之间C4到5之间D3到4之间变式5-1（2022福建中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）ABCD变式5-2（2022山东潍坊中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（）ABCD变式5-3（2022四川绵阳中考真题）正整数a、b分别满足，则（）A4B8C9D16变式5-4（2022山东临沂中考真题）满足的整数的值可能是（）A3B2C1D0变式5-5（2022湖北荆州中考真题
9、）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是_变式5-6（2022湖北随州中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为_，最大值为_变式5-7（2022黑龙江牡丹江中考真题）若两个连续的整数、满足，则的值为_ 易错点总结：实数的概念：有理数和无理数统称为实数。实数的分类：1.按属性分类： 2.按符号分类 实数和数轴上的点的对应关系（重点）：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示数轴上的每一个点都可以表示一个实数2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：1.尺规可作的无理数，如 2
10、.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如，1.010010001实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法实数的三个非负性及性质：1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。2.非负数有三种形式：任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|0； 任何一个实数a的平方是非负数，即a20；任何非负数的算术平方根是非负数，即a03.非负数具有以下性质 ：非负数有最小值零；非负数之和仍是非负数；几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0考查题型六 实数的分类典例6（2022贵州铜仁中考真题）在实数，中，有理数是（）ABCD变式6-1（2022山东日照中考真题）在实数，x0（x0），cos30
11、，中，有理数的个数是（）A1个B2个C3个D4个变式6-2（2021浙江金华中考真题）实数，2，中，为负整数的是（）ABC2D易错点总结：考查题型七 实数的性质【解题思路】熟练掌握实数的相关性质。典例7（2022湖北黄石中考真题）的绝对值是（）ABCD变式7-1（2022湖北鄂州中考真题）实数9的相反数等于（）A9B+9CD变式7-2（2022山东枣庄中考真题）实数2023的绝对值是（）A2023B2023CD易错点总结：考查题型八 实数与数轴【解题思路】熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键。典例8（2022广西中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是
12、（）AB0C1D2变式8-1（2022四川资阳中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是()A点AB点NC点PD点Q变式8-2（2022江西中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）ABCD变式8-3（2022黑龙江大庆中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是()ABCD变式8-4（2022西藏中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）A5B4C7D8变式8-5（2022贵州贵阳中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示用“”填空：a_b，ab_0
13、；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程x2+2x1=0；x23x=0；x24x=4；x24=0变式8-6（2021江苏盐城中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由易错点总结：考查题型九 比较实数的大小【解题思路】理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键。典例9（2022四川达州中考真题）下列四个数中，最小的数是（）A0B-2C1D变式9-1（2022四川雅安中考真题）
14、在，1，3中，比0小的数是（）AB1CD3变式9-2（2022贵州安顺中考真题）下列实数中，比5小的数是（）A6BC0D变式9-3（2022海南中考真题）写出一个比大且比小的整数是_变式9-4（2022山东临沂中考真题）比较大小：_（填写“”或“”或“”）易错点总结：考查题型十 实数的运算【解题思路】掌握理解新运算的定义和法则是解题关键。典例10（2022贵州安顺中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（）A有一个实根B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根D没有实数根变式10-1（2022
15、重庆中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；所有的“加算操作”共有8种不同的结果以上说法中正确的个数为（）A0B1C2D3变式10-2（2022四川巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（）ABC且D且变式10-3（2022湖南中考真题）有一组数据：，记，则_变式10-4（2022山东威海中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _变式10-
16、5（2022四川达州中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比设，记，则_变式10-6（2022辽宁阜新中考真题）计算：_变式10-7（2022湖北黄石中考真题）计算：_变式10-8（2022吉林长春中考真题）先化简，再求值：，其中变式10-9（2022新疆中考真题）计算：变式10-10（2022重庆中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”例如：，247是13的“和倍数”又如：，214不是“和倍数”(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A是12的
17、“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A专题2 实数【知识要点】知识点一 平方根算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；2）0的算术平方根为0（规定）；3）负数没有算术平方根。考查题型一 算术平方根的相关计算【解题思路】了解算术平方根的定义及相关性质是解题的关键。典例1（）ABCD2【详解】解：-2，故选A变式1-1（2022四
18、川凉山中考真题）化简：（）A2B2C4D2【详解】解：，故选：D变式1-2（2022广西贺州中考真题）若实数m，n满足，则_【详解】解：由题意知，m，n满足，m-n-5=0，2m+n4=0，m=3，n=-2，故答案为：7变式1-3（2022四川广安中考真题）若（a3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_【详解】解：（a3）2+=0，当为腰时，周长为：，当为腰时，三角形的周长为，故答案为：11或13变式1-4（2021青海中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）A8B6或8C7D7或8【详解】解：，解得，2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能
19、组成三角形，周长=2+2+3=7；2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，所以该等腰三角形的周长为7或8故选：D平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。平方根的表示：正数a的平方根用a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根， -a叫做a的负平方根。平方根的性质：1）一个正数有两个平方根：a，且他们互为相反数（重点）。2）3）0只有一个平方根，它是0。（0的平方根、算术平方根、立方根都是它本身）4）负数没有平方根平方根与算术平方根的区别与联系：【扩展】考查题型二 平方根的相关计算【解题
20、思路】了解平方根的定义及相关性质是解题的关键。典例2（2022四川宜宾中考真题）4的平方根是（）A2B2C2D16【详解】（2 ）2=4，4的平方根是2，故选A变式2-1（2021四川凉山中考真题）的平方根是（ ）A9B9和9C3D3和3【详解】解：=9，的平方根是，故选D变式2-2（2021河北石家庄模拟）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是（）A1B3C4D9【详解】一个正数的平方根是2a-1和-a+2，2a-1-a+2=0解得：a=-12a-1=-3这个正数是9故选：D知识点二 立方根立方根的概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根。表示方法：数a
21、的立方根记作3a，读作三次根号a立方根的性质：1）任何实数都有唯一确定的立方根。2）正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数。3）的立方根是。4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。开立方概念：求一个数的立方根的运算。开立方的表示：3a3=a 3a3=a 3-a=-3a （a取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。n次方根(扩展)概念：如果一个数的n次方（n是大于的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。性质： 正数的偶次方根有两个：na；的偶次方根为：n0=0；负数没有偶次方根。正数的奇次方根为正
22、。的奇次方根为。负数的奇次方根为负。考查题型三 立方根的相关计算【解题思路】了解立方根的定义及相关性质是解题的关键。典例3（2022江苏淮安中考真题）27的立方根为_【详解】解：33=27，27的立方根是3，故答案为：3变式3-1（2022湖北荆门中考真题）计算：+cos60（2022）0_【详解】解：+cos60（2022）0+1011故答案为：1变式3-2（2019山东潍坊中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A2.5B2.6C2.8D2.9【详解】，与最接近的是2.6，故选B变式3-3（选做）（2020山东烟台中考真题）利用如图所示的计
23、算器进行计算，按键操作不正确的是（）A按键即可进入统计计算状态B计算的值，按键顺序为：C计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333【详解】解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；B、计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；D、计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0333333333是正确的，故选项D不符合题意；故选：B变式3-4（2021四川资阳中考真题）若，则a，
24、b，c的大小关系为（ ）ABCD【详解】解：，又，故选：C变式3-5（2021江苏南京中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）A16的4次方根是2B32的5次方根是C当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；B.，32的5次方根是2，故不符合题意；C.设则 且 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；D.由的判断可得：错误，故不符合题意故选知识点三 实数无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。【扩展】有理数与无理数的区别：1）概念不同：任
25、何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数。2）表示形式：有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。常见的无理数类型：1）一般的无限不循环小数，如：1.414212342）看似循环而实际不循环的小数，如0.2020020002(相邻两个2之间0的个数逐次加1)。3）有特定意义的数，如：4)开方开不尽的数。如：3,35。考查题型四 无理数的判断【解题思路】掌握无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键。典例4（2022浙江金华中考真题）在中，是无理数的是（）ABCD2【详解】解：-2，2是有理数，是无理数，故选： C变式4-1（2022湖南常德中考真题）在，202
26、2这五个数中无理数的个数为（）A2B3C4D5【详解】解：在，2022这五个数中无理数为和，共2个故选：A变式4-2（2022湖南中考真题）从，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是_【详解】解：，是无理数，（恰好是无理数）故答案为：变式4-3（2022浙江宁波中考真题）写出一个大于2的无理数_【详解】解：2=，大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）考查题型五 无理数的估值【解题思路】得到最接近无理数的两个有理数的值现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法典例5（2022重庆中考真题）估计的值在（）A6到7之间B
27、5到6之间C4到5之间D3到4之间【详解】解：49541，故选：B变式7-1（2022湖北鄂州中考真题）实数9的相反数等于（）A9B+9CD【详解】解：实数9的相反数是-9，故选A变式7-2（2022山东枣庄中考真题）实数2023的绝对值是（）A2023B2023CD【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，所以，2023的绝对值等于2023故选：A考查题型八 实数与数轴【解题思路】熟练掌握数轴上数的表示及实数的运算是解题的关键。典例8（2022广西中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（）AB0C1D2【详解】数轴上的点A表示的数是1，点A关于原点对称的点
28、表示的数为1，故选：C变式8-1（2022四川资阳中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是()A点AB点NC点PD点Q【详解】，观察数轴，点P符合要求，故选：C变式8-2（2022江西中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）ABCD【详解】ABC.根据数轴上点a、b的位置可知，故AB错误，C正确；根据数轴上点a、b的位置可知，故D错误故选：C变式8-3（2022黑龙江大庆中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是()ABCD【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得c0d，A、，原结论错误，故
29、此选项不符合题意；B、，原结论错误，故此选项不符合题意；C、c0d，且，原结论正确，故此选项符合题意；D、c0d，且，原结论错误，故此选项不符合题意；故选：C变式8-4（2022西藏中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）A5B4C7D8【详解】解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4不妨设第三边长为a，则4-3a4+3，即1a7观察选项，只有选项B符合题意故选：B变式8-5（2022贵州贵阳中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示用“”填空：a_b，ab_0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方
30、法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程x2+2x1=0；x23x=0；x24x=4；x24=0【详解】解：（1）由题意可知：a0，b0，ab，ab0；故答案为：，；（2）x2+2x1=0；移项得x2+2x=1，配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，则x+1=，x1=-1+，x2=-1-；x23x=0；因式分解得x(x-3)=0，则x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3；x24x=4；配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，则x-2=，x1=2+，x2=2-；x24=0因式分解得(x+2) (x-2)=0，则x+2=0或x-2=0，解得x
31、1=-2，x2=2变式8-6（2021江苏盐城中考真题）如图，点是数轴上表示实数的点（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由【详解】解：（1）如图所示，点即为所求（2）如图所示，点在点的右侧，所以考查题型九 比较实数的大小【解题思路】理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键。典例9（2022四川达州中考真题）下列四个数中，最小的数是（）A0B-2C1D【详解】解：，最小的数是，故选B变式9-1（2022四川雅安中考真题）在，1，3中，比0小的数是（）AB1CD3【详解】解：013在，1，3中，比0小的数是
32、故选：A变式9-2（2022贵州安顺中考真题）下列实数中，比5小的数是（）A6BC0D【详解】解：比5小的数是-6故选A变式9-3（2022海南中考真题）写出一个比大且比小的整数是_【详解】 ， 即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或3变式9-4（2022山东临沂中考真题）比较大小：_（填写“”或“13，故答案为：考查题型十 实数的运算【解题思路】掌握理解新运算的定义和法则是解题关键。典例10（2022贵州安顺中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（）A有一个实根B有两个不相等的实数根C
33、有两个相等的实数根D没有实数根【详解】解：根据新运算法则可得：，则即为，整理得：，则，可得：，；，方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.变式10-1（2022重庆中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；所有的“加算操作”共有8种不同的结果以上说法中正确的个数为（）A0B1C2D3【详解】解：说法正确又无论如何添加括号，无法使得的符号为负号说法正确第1种：结果与原多项式相等；第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；第
34、3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故符合题意；共有8种情况说法正确正确的个数为3故选D变式10-2（2022四川巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（）ABC且D且【详解】解：，即，关于的方程有两个不相等的实数根，解得：，故A正确故选：A变式10-3（20
35、22湖南中考真题）有一组数据：，记，则_【详解】解：；，当时，原式，故答案为：变式10-4（2022山东威海中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _【详解】解：输出y的值是2，上一步计算为或解得（经检验，是原方程的解），或当符合程序判断条件，不符合程序判断条件故答案为：1变式10-5（2022四川达州中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比设，记，则_【详解】解：，故答案为：5050变式10-6（2022辽宁阜新中考真题）计算：_【详解】解：原式故答案为：变式10-7（2022湖北黄石中考真题）计算：_【详解】解：原式故答案为：3变式10-8（2022吉林长春中考真题）先化简，再求值：，其中【详解】解：原式当时，原式变式10-9（2022新疆中考真题）计算：【详解】解：原式变式10-10（2022重庆中考真题）对
