1、专题5 二次根式【知识要点】知识点一 二次根式相关概念和性质二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。【注意】1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。2）二次根式中a是一个非负数。二次根式有意义的条件：当a0时，即被开方数大于或等于0，有意义。考查题型一 二次根式有意义的条件题型1（2022贵州贵阳中考真题）若式子x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是Ax3Bx3Cx3Dx3题型1-1（2022广东广州中考真题）代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为（）Ax-1Bx-1Cx-1Bx-1Cx-1且x0Dx-1且x0题型1-3（
2、2022四川雅安中考真题）使x-2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）ABCD题型1-4（2022湖北黄石中考真题）函数y=xx+3+1x-1的自变量x的取值范围是（）Ax-3且x1Bx-3且x1Cx-3Dx-3且x1题型1-5（2022内蒙古内蒙古中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x-22-x18，则xy的值是_易错点总结：二次根式的性质：1） 2），即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。【扩展】与的区别于联系区别：联系：1）两者都需要进行平方和开方。2）两者的结果都是非负数。3）当a0时，知识点二 二次根式的估值一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如62=6 ；2）找出与
3、平方后所得数相邻的两个完全平方数，如46-1Cx0，x-1，故选：B题型1-2（2022黑龙江绥化中考真题）若式子x+1+x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax-1Bx-1Cx-1且x0Dx-1且x0【详解】解：由题意得：x+10且x0，x-1且x0，故选： C题型1-3（2022四川雅安中考真题）使x-2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）ABCD【详解】解：由题意知，x-20，解得x2，解集在数轴上表示如图，故选B题型1-4（2022湖北黄石中考真题）函数y=xx+3+1x-1的自变量x的取值范围是（）Ax-3且x1Bx-3且x1Cx-3Dx-3且x1【详解】解：依题意，x+
4、30x-10x-3且x1故选B题型1-5（2022内蒙古内蒙古中考真题）已知x，y是实数，且满足y=x-22-x18，则xy的值是_【详解】解：由二次根式的定义得x-202-x0，解得：x=2，y=0+0+18，即：y=18，xy=218=218=14=12.二次根式的性质：1） 2），即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。【扩展】与的区别于联系区别：联系：1）两者都需要进行平方和开方。2）两者的结果都是非负数。3）当a0时，知识点二 二次根式的估值一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如62=6；2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如469；3）对这两个完全平方数开方，如，
5、；4）这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如。考查题型二 二次根式的性质与化简题型2（2022河北中考真题）下列正确的是（）A4+9=2+3B49=23C94=32D4.9=0.7【详解】解：A.4+9=132+3，故错误；B.49=23，故正确；C.94=3832，故错误；D.4.90.7，故错误；故选：B题型2-1（2022山东聊城中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长如果a=5105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（）A0.4102m/sB0.8102m/sC4102 msD8102m
6、/s【详解】解：v=2as=251050.64=8102ms，故选：D题型2-2（2022内蒙古内蒙古中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a-1|的化简结果是（）A1B2C2aD12a【详解】解根据数轴得 0a0， a-10，原式=|a|+1+1-a=a+1+1- a=2故选B题型2-3（2022湖南常德中考真题）我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，6+6+6+6+6+3=3n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+b+b+a=an个根号时，称a,b为一组完美方根数对如上面3,6是一组完美方根数对则下面4个结论：4,12是完美方根数对；
7、9,91是完美方根数对；若a,380是完美方根数对，则a=20；若x,y是完美方根数对，则点Px,y在抛物线y=x2-x上其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【详解】解：12+4=4， 4,12是完美方根数对；故正确； 91+9=10 9 9,91不是完美方根数对；故不正确；若a,380是完美方根数对，则380+a=a即a2=380+a解得a=20或a=-19a是正整数，则a=20 故正确；若x,y是完美方根数对，则y+x=xy+x=x2,即y=x2-x故正确故选C题型2-4（2022四川遂宁中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1-b-12+a-b2=_【详解】解：由数
8、轴可得：-1a0，1b0,b-10,a-b0 a+1-b-12+a-b2=|a+1|-|b-1|+|a-b| =a+1-(b-1)-(a-b) =a+1-b+1-a+b =2题型2-5（2022四川南充中考真题）若8-x为整数，x为正整数，则x的值是_【详解】解：8-x0x8x为正整数x可以为1、2、3、4、5、6、7、88-x为整数x为4或7或8题型2-6（2022四川宜宾中考真题）数学九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把
9、以上这段文字写成公式，即为S=14c2a2-c2+a2-b222现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为_【详解】解：周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，设a=4k,b=3k,c=2k4k+3k+2k=18解得k=2 a=8,b=6,c=4 S=14c2a2-c2+a2-b222=144282-42+82-6222=141024-484=135= 315 故答案为：315知识点三 二次根式的运算二次根式的乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。即：【注意】1）要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立
10、。2）多个二次根式相乘，乘法法则依然成立，表示为：3）乘法交换律在二次根式中仍然适用。4）逆用公式：化简二次根式的步骤（易错点）：1）把被开方数分解因式(或因数) ；2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即（a0，b0）。【注意】1）要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。2）逆用公式： 。考查题型三 二次根式的乘除题型3（2022广西柳州中考真题）计算：23=_【详解】解：23=6；故答案为
11、6题型3-1（2022天津中考真题）计算(19+1)(19-1)的结果等于_【详解】解：(19+1)(19-1)=(19)2-12=19-1=18，题型3-2（2022山西中考真题）计算1812的结果是_【详解】解：原式181293题型3-3（2022浙江湖州中考真题）计算：62+2-3【详解】62+2-3=6+(-6)=6-6=0最简二次根式的特点：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。例：、 不是 二次根式（易错）。分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部
12、分。即：2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即：；练：尝试写出的有理化因式_考查题型四 最简二次根式题型4（2022广西桂林中考真题）化简12的结果是（）A23B3C22D2【详解】解：12=43=22323，故选：A题型4-1（2021上海中考真题）下列实数中，有理数是（）A12B13C14D15【详解】解：A、12=222是无理数，故12是无理数B、13=333是无理数，故13是无理数C、14=12为有理数D、15=555是无理数，故15是无理数故选：C题型4-2（2021湖南益阳中考真题）将452化为最简二次根式，其结果是（）A452B902C9102D
13、3102【详解】解：原式=95222，=3102，故选：D题型4-3（2021广西桂林中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）A19B4Ca2Da+b【详解】A、19被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、4=2是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、a2=|a|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确故选：D题型4-4（2022广西中考真题）化简：（1）8=_【详解】解：8=42=42=22同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。同类二次根式合
14、并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。【口诀】一化、二找、三合并。二次根式比较大小：1）若，则有；2）若，则有；3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。【注意】运算结果含根号的必须为最简二次根式。考查题型五 二次根式的加减题型5（2022四川泸州中考真题）与2+15最接近的整数是（）A4B5C6D7【详解】解：12.251516，3.5154，5.52+156，最接近的整数是6，故选：C题型5
15、-1（2022湖北武汉中考真题）下列各式计算正确的是（）A2+3=5B43-33=1C23=6D122=6【详解】解：A、2+35原计算错误，该选项不符合题意；B、43-33=3原计算错误，该选项不符合题意；C、23=6正确，该选项符合题意；D、122=232=3原计算错误，该选项不符合题意；故选：C题型5-2（2022浙江嘉兴中考真题）如图，在ABC中，ABC90，A60，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为_【详解】解：由题意可得：DE=1,DC=15-12=3, A=60,ABC=90,AB=BCtan
16、60=33=3, 同理：AD=DEtan60=13=33, BD=AB-AD=3-33=233, 故答案为：233题型5-3（2022黑龙江绥化中考真题）设x1与x2为一元二次方程12x2+3x+2=0的两根，则x1-x22的值为_【详解】解：12x2+3x+2=0=9-4=50，x1=-3+5，x2=-3-5，x1-x22=-3+5+3+52=252=20，故答案为：20；题型5-4（2022黑龙江哈尔滨中考真题）计算3+313的结果是_【详解】解：3+313=3+3 =23，故答案为：23考查题型六 二次根式的混合运算题型6（2022重庆中考真题）估计3(23+5)的值应在（）A10和11
17、之间B9和10之间C8和9之间D7和8之间【详解】 3(23+5)=6+15，91516，3154，96+1510，故选：B题型6-1（2022山东青岛中考真题）计算(27-12)13的结果是（）A33B1C5D3【详解】解：(27-12)13=9-4=3-2=1 故选：B题型6-2（2022贵州安顺中考真题）估计(25+52)15的值应在（）A4和5之间B5和6之间C6和7之间D7和8之间【详解】解：原式=2515+52152+10，3104，52+106，故选B题型6-3（2022贵州毕节中考真题）计算8+|-2|cos45的结果，正确的是（）A2B32C22+3D22+2【详解】解：8+
18、|2|cos4522+22222+232故选：B题型6-4（2022湖北荆州中考真题）若3-2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+2ab的值是_【详解】解： 122，13-22， 3-2的整数部分为a，小数部分为b，a=1，b=3-2-1=2-22+2ab=2+22-2=4-2=2，故答案为：2题型6-5（2022山东泰安中考真题）计算：86-343=_【详解】解：86-343=48-3233=43-23=23，题型6-6（2022辽宁朝阳中考真题）计算：637-4_【详解】解：637-4=9-4 =3-4=-1题型6-7（2022四川达州中考真题）人们把5-120.618这个数叫做黄金
19、比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比设a=5-12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+21+b2，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+S100=_【详解】解： a=5-12，b=5+12，ab=5-125+12=1，S1=11+a+11+b=2+a+b1+a+b+ab=2+a+b2+a+b=1，S2=21+a2+21+b2=22+a2+b21+a2+b2+a2b2=22+a2+b22+a2+b2=2，S100=1001+a100+1001+b100=1001+a100+1+b1001+a100+b100+a100b1
20、00=100 S1+S2+S100= 1+2+100=5050故答案为：5050题型6-8（2022江苏泰州中考真题）计算:(1)计算：18-323；(2)按要求填空：小王计算2xx2-4-1x+2的过程如下：解：2xx2-4-1x+2=2xx+2x-2-1x+2-第一步=2xx+2x-2-x-2x+2x-2-第二步=2x-x-2x+2x-2-第三步=x-2x+2x-2-第四步=x-2x+2-第五步小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .【答案】(1)22（1）解：原式=32-363=32-323=22；（2）解：由题意可知：2xx2-4-1x+2=2xx+2x-2-1x+2-第一步=2xx+2x-2-x-2x+2x-2-第二步=2x-x+2x+2x-2-第三步=x+2x+2x-2-第四步=1x-2-第五步故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为1x-2.故答案为：因式分解，第三步和第五步，1x-2
