1、8.2二项式定理题组一 指定项的系数1（2022贵阳模拟）若展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（）A5B6C7D82（2023四川省）的二项展开式中含项的系数为（ ）A240B16C160D603（2022江苏省）已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则（ ）ABCD4（2021上海外国语大学附属大境中学高三月考）在的展开式中，有理项共有（ ）项A3B4C5D65（2022广东）若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ）A11B10C9D6（2022周至模拟）在展开式中，下列说法错误的是（）A常数项为-160B第5项的系数最大C第4项的二项式系数最大D所有项的系数和为17（20
2、22扬州模拟）（多选）已知，则下列说法中正确的有（）A的展开式中的常数项为84B的展开式中不含的项C的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等D的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项8（2022茂名模拟）（多选）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）A所有奇数项的二项式系数和为B所有项的系数和为C二项式系数最大的项为第6项或第7项D有理项共5项9（2022西安模拟）已知是的展开式中的某一项，则实数的值为 .10（2022南开模拟）在的展开式中，的系数是 11（2022南开模拟）若的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为 题组二 多项式的系数 1（2022江
3、西模拟）在 的展开式中，含 的项的系数是（） A10B12C15D202（2022赣州模拟） 展开式中 的系数为（） A-260B-60C60D2603（2022新乡三模）已知的展开式中各项的系数之和为2，则展开式中含项的系数为（）A-20B-10C10D404（2022湖南模拟）在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（）A299B-301C300D-3025（2022柳州模拟） 展开式中 的系数为 （用数字作答）6（2022新高考卷） 的展开式中 的系数为 (用数字作答). 7（2022昆明模拟）若的展开式中存在项，且项的系数不为0，则的值可以是 （写出满足条件的一个的值即可）8（2
4、022嵊州模拟）展开式中所有项的系数和是 ，含的项的系数是 9（2022河西模拟）的展开式中，的系数是 .10（2022武昌模拟）的展开式中，项的系数为-10，则实数 .11（2022湖北模拟）在展开式中，的系数为 .题组三 系数和 1（2022惠州模拟）若，则（）A-1B0C1D22（2022鹤壁模拟）设，若则非零实数a的值为（）A2B0C1D-13（2022上虞模拟）已知，则 ， .4（2022平江模拟）已知 ，则 的值为 5（2022湖州模拟）设 .若 ，则实数 ， 6（2022全国高三专题练习）在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二
5、项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和.7（2022全国高三专题练习）在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.题组四 二项式定理的运用 1（2021全国高二单元测试）（多选）若能被13整除，则实数的值可以为（ ）A0B11C12D252（2022广西）设为奇数，那么除以13的余数是（ ）AB2C10D113（2022高二下泰兴期末）若，则被4除得的余数为 .4（2022山东省）若，则被8整除的余数为_8.2二项式定理题组一 指
6、定项的系数1（2022贵阳模拟）若展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（）A5B6C7D8【答案】A【解析】易得的通项，又展开式中存在常数项则有解，即，故正整数n的最小值是5，此时故答案为：A2（2023四川省）的二项展开式中含项的系数为（ ）A240B16C160D60【答案】D【解析】展开式的通项为，令，所以含项的系数为，故选：D.3（2022江苏省）已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由二项式定理，展开式中的常数项是，即，因为是等差数列，所以故选：D4（2021上海外国语大学附属大境中学高三月考）在的展开式中，有理项共有（ ）项A3B4C5D6【答
7、案】C【解析】因为展开式的通项为，因为为整数且，所以可取，所以有理项一共有项，故选：C.5（2022广东）若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ）A11B10C9D【答案】C【解析】因为第5项二项式系数为，第6项的二项式系数为，由题意知，所以，即，所以，故选：C.6（2022周至模拟）在展开式中，下列说法错误的是（）A常数项为-160B第5项的系数最大C第4项的二项式系数最大D所有项的系数和为1【答案】B【解析】展开式的通项为， 由，得，所以常数项为，A符合题意；由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值，由，可知第3项的系数最大，B不符合题意；展开式共有项，所以第项二项式系数
8、最大，C符合题意；令，得，所有项的系数和为1，D符合题意；故答案为：B.7（2022扬州模拟）（多选）已知，则下列说法中正确的有（）A的展开式中的常数项为84B的展开式中不含的项C的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等D的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项【答案】A,C【解析】因为展开式的通项公式，所以当，A符合题意；当时，B不符合题意；的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，C符合题意；根据二项式系数的性质可知，最大，所以，的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D不符合题意.故答案为：AC.8（2022茂名模拟）（多选）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（
9、）A所有奇数项的二项式系数和为B所有项的系数和为C二项式系数最大的项为第6项或第7项D有理项共5项【答案】B,D【解析】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，A不符合题意，令，得所有项的系数和为，B符合题意，由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，C不符合题意，因为展开式通项为，当为整数时，3，6，9，12，共有5项，D符合题意故答案为：BD9（2022西安模拟）已知是的展开式中的某一项，则实数的值为 .【答案】2【解析】因为 ， 令，得，所以，即，解得. 故答案为：2.10（2022南开模拟）在的展开式中，的系数是 【答案】-189【解析】由二项式定理知的展开式的通项为：，令，解
10、得，所以的系数是，故答案为：-189.11（2022南开模拟）若的展开式中各项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为 【答案】60【解析】因为各项的二项式系数之和为64，即； 通项公式=令，解得.展开式中常数项为.题组二 多项式的系数 1（2022江西模拟）在 的展开式中，含 的项的系数是（） A10B12C15D20【答案】A【解析】因为 的展开式为 ， 的展开式为 和 的和， ； ，所以在 中令 ，即可得到 的项的系数，是 ，故答案为：A.2（2022赣州模拟） 展开式中 的系数为（） A-260B-60C60D260【答案】A【解析】 展开式的通项公式为 . 要求 的系数，只需 .
11、故答案为：A3（2022新乡三模）已知的展开式中各项的系数之和为2，则展开式中含项的系数为（）A-20B-10C10D40【答案】C【解析】令，得，所以，因为的展开式通项为，故的展开式中含项的系数为.故答案为：C.4（2022湖南模拟）在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（）A299B-301C300D-302【答案】A【解析】令，得. 所以的展开式中所有项的系数和为 .由可以看成是5个因式相乘.要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.所以的展开式中含的项为，所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.故答案为：A5（2022柳州模拟）
12、展开式中 的系数为 （用数字作答）【答案】5【解析】因为（1+x）5的展开式通项为 （k=0，1，2，3，4，5），当k=2时，展开式中x2项为，当k=4时，展开式中x2项为，所以，展开式中x2的系数为10-5=5.故答案为：56（2022新高考卷） 的展开式中 的系数为 (用数字作答). 【答案】-28【解析】(x+y)8的通项公式为，当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为， 则展开式中 项为，故答案为：-287（2022昆明模拟）若的展开式中存在项，且项的系数不为0，则的值可以是 （写出满足条件的一个的值即可）【答案】5（答案不唯一）【解析】
13、由通项公式可得，当时，故可取当时，故答案为：5（答案不唯一）8（2022嵊州模拟）展开式中所有项的系数和是 ，含的项的系数是 【答案】243；30【解析】令x=1，则所有项的系数和是；因为的通项为（r=0，1，2，3，4，5），所以当r=0时，需求展开式中的项为；当r=1时，需求展开式中的项为；所以含的项的系数是.故答案为：243；309（2022河西模拟）的展开式中，的系数是 .【答案】-260【解析】的展开式的通项，令，得，；令，得，则的展开式中的系数是故答案为：-26010（2022武昌模拟）的展开式中，项的系数为-10，则实数 .【答案】2【解析】，的展开式通项为，所以，的展开式通项为
14、，令，可得，由题意可得，解得.故答案为：2.11（2022湖北模拟）在展开式中，的系数为 .【答案】7【解析】化简得，根据该展开式的通项公式，可得，则的系数为7.故答案为：7题组三 系数和 1（2022惠州模拟）若，则（）A-1B0C1D2【答案】B【解析】令，代入得，令，得，所以. 故答案为：B.2（2022鹤壁模拟）设，若则非零实数a的值为（）A2B0C1D-1【答案】A【解析】，对其两边求导数，令，得，又，解得，故答案为：A3（2022上虞模拟）已知，则 ， .【答案】-3240；-1【解析】展开式的通项为：，令，可得；令得：；令得：，.故答案为：-3240；-1.4（2022平江模拟）
15、已知 ，则 的值为 【答案】78【解析】令 ，可得 ， 令 ，可得 令 ，则 所以可得： ，所以 ，即 。故答案为：78。5（2022湖州模拟）设 .若 ，则实数 ， 【答案】；6【解析】令x=1，则(1+2m)5+(1-1)4=a0+a1+a2+a3+a4+a5=32解得： m=.(x+1)5的第r+1项系数为Tr+1=.所以(x+ 1)5展开式中的x3的系数为=10， (x- 1)4的第r+1项系数为Tr+1=x4-r.(-1)r 所以(x- 1)4展开式中的x3的系数为-= -4； a3=10-4=6故答案为： ；6.6（2022全国高三专题练习）在(2x3y)10的展开式中，求：(1)
16、二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和.【答案】(1)210(2)1(3)29，29(4)奇数项系数和为，偶数项系数和为【解析】(1)二项式系数的和为.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为.(4)设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，其中得：，奇数项系数和为；得：，偶数项系数和为.7（2022全国高三专题练习）在的展开式中，求
17、：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.【答案】（1）；（2）1；（3） 奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为；（4） 奇数项的系数和为，偶数项的系数和为；（5）的奇次项系数和为，的偶次项系数和为【解析】设，各项系数和为，奇数项系数和为，偶数项系数和为，的奇次项系数和为，的偶次项系数和为（1）二项式系数的和为；（2）令，则，所以各项系数和为1；（3）奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为；（4）由（2）知，取，则，所以奇数项的系数和，偶数项的系数和；（
18、5）由（4）知，的奇次项系数和为，的偶次项系数和为.题组四 二项式定理的运用 1（2021全国高二单元测试）（多选）若能被13整除，则实数的值可以为（ ）A0B11C12D25【答案】CD【解析】，又52能被13整除，需使能被13整除，即能被13整除，结合选项可知CD满足故选：CD.2（2022广西）设为奇数，那么除以13的余数是（ ）AB2C10D11【答案】C【解析】因为为奇数，则上式=.所以除以13的余数是10.故选：C.3（2022高二下泰兴期末）若，则被4除得的余数为 .【答案】1【解析】由题知，时，时，由+得，故所以被4除得的余数是1.故答案为：1.4（2022山东省）若，则被8整除的余数为_.【答案】5【解析】在已知等式中，取得，取得，两式相减得，即，因为因为能被8整除，所以被8整除的余数为5，即被8整除的余数为5，故答案为：5
