1、第六单元 圆与圆有关的证明及计算巩固集训1. (10 分)如图， AB 是半圆 O 的直径，PA，PC 分别与半圆相切于点 A，D ，BCPC 于点 C，连接 PO，AD，BD.求证：(1) POAD；(2)BD 平分ABC.第 1 题图2. (10 分)如图，以 BC 为直径的O 经过 ABC 的顶点 A，BM平分ABC 交 AC 于点 M，ADBC 于点 D，AD 交 BM 于点N， MEBC 于点 E，连接 NE.(1)求证： AMAN；(2)判断四边形 AMEN 的形状，并说明理由第 2 题图3. (10 分)如图， O 中，直径 CD弦 AB 于点 E，AMBC 于点 M，交 CD
2、于点 N，连接 AD.(1)求证： ADAN；(2)若 AB4 ，ON1，求O 的半径2第 3 题图4. (10 分)如图，点 C 是以 AB 为直径的O 上的一点，BD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D. (1)求证： BC 平分DBA；(2)若 CD6，BC10，求 AB 的长第 4 题图5. (10 分)(2017 咸宁)如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的 O 与边 BC，AC 分别交于 D，E 两点，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F.(1)求证： DF 是O 的切线；(2)若 AE4，cos A ，求 DF 的长25第 5 题图6. (10 分)如图，O 的
3、半径为 3，点 A， B 在 O 上，点 C 为O 内一点，AB AC ，ABAC，垂足为 A.(1)当 OCAC 时，求BCO 的度数；(2)求线段 OC 的最小值第 6 题图7. (10 分)(2017 益阳)如图， AB 是O 的直径，C 是O 上一点，D 在 AB 的延长线上，且BCDA.(1)求证： CD 是O 的切线；(2)若O 的半径为 3，CD4，求 BD 的长第 7 题图8. (10 分)(2017 河池)如图，AB 为O 的直径，CB，CD 分别切O 于点 B，D，CD 交 BA 的延长线于点 E，CO 的延长线交 O 于点 G，EFOG 于点 F.(1)求证： FEBEC
4、F ；(2)若 BC 6，DE4，求 EF 的长第 8 题图答案1. 证明：(1)如解图，连接 OD.PA、 PC 分别与半圆相切于点 A、 D， O 为 圆心，OAPA， ODPD.在 RtPAO 和 RtPDO 中，AO DOPO PO)RtPAORtPDO(HL)，PA PD，APODPO.设 PO 与 AD 交于点 H，则在PAH 和PDH 中，PA PDAPO DPOPH PH )PAHPDH(SAS)，PHAPHD 90 ，即 POAD；第 1 题解图(2)由 (1)知 ODPC，又由题意知 BCPC，ODBC，ODB DBC.又OD OB，ODBOBD，OBD DBC，BD 平分
5、ABC.2. (1)证明：BC 是O 的直径，BAC90，BADCAD90，ADBC，CDA90 ，CADACD90，BADACD.BM 平分 ABC，ABMCBM，ABN BANCBMBCM.ANMABN BAN，AMNCBMBCM，AMN ANM，AMAN ；(2)解：四边形 AMEN 是菱形，理由如下：BM 平分 ABC，MABA，ME BC，MAME.由(1)知， AMAN，MEAN ，ADBC，ME BC，ANME，四边形 AMEN 是平行四边形，AMAN ，四边形 AMEN 是菱形3. (1)证明 ： BAD 与BCD 是 同弧所对的圆周角，BADBCD，AECD，AM BC，AE
6、N AMC90，ANE CNM，BAMBCD，BAMBAD，在ANE 与 ADE 中，BAM BADAE AEAEN AED)ANEADE(ASA)，ANAD ；(2)解： AB4 ，AECD, 2AE AB2 ，12 2又ON1，设 NE x，则OE x1 ， NE ED x， OD OEED 2x1，如解图，连接 AO，则 AOOD 2x1，AOE 是直角三角形，AE2 ，OEx 1，AO 2x1，2(2 )2(x1) 2(2x1) 2，2解得 x12， x2 (舍)，43AO2x13，即O 的半径为 3.第 3 题解图4. (1)证明：如解图，连接 OC，CD 是O 的切线，点 C 为切
7、点，OCCD，BDDC，OCBD，DBCBCO，OCOB ，BCO CBO，DBCCBO，即 BC 平分 DBA；第 4 题解图(2)解： 如解图，连接 AC，在 RtCBD 中，BD 8，102 62AB 为直径，点 C 在圆上，ACB 90，BDCBCA，DBCABC，ABCCBD， ，BCBD ABCB ，108 AB10AB .2525. (1)证明 ：如解图，连接 OD，OB OD，ODB B，又AB AC，C B，ODB C，ODAC，DFAC，DFC90 ，ODF DFC90，DF 是O 的切线；第 5 题解图(2)解： 如解图，过点 O 作 OGAC，垂足为 G，AG AE2.
8、12cos A ，AGOA 2OA 25OA5，OG ，OA2 AG2 21ODF DFG OGF90 ，四边形 OGFD 为矩形，DFOG .216. 解：(1) ABAC，AB AC，ACB45，OCAC，ACO90 ，BCO90 ACB45；(2)如解图，连接 OA，将 OAC 绕点 A 顺时针旋转 90至QAB，连接 OB，OQ，第 6 题解图ABAC，BAC90，由旋转可得QB OC，AQOA ，QABOAC，QABBAOBAO OAC90 ，在 RtOAQ 中，AO3，BQ 3 ，AO2 AQ2 32 32 2在OQB 中，BQ OQOB3 3，2即 OC 最小值是 3 3.27.
9、 (1)证明 ：如解图，连接 OC，AB 是 O 的直径，ACB90，ACOOCB90，OAOC ，AOCA ，A BCD，OCABCD，BCDBCO90，OCCD，又CO 是O 的半径，CD 是O 的切线；第 7 题解图(2)解 ：在 RtOCD 中，OC3，CD4，OCD 90，OD 5，OC2 CD2BDOD OB532.8. (1)证明 ： EFOG，BC 为切线，BEFC90，EOFFEB90，BOCBCO90，EOFBOC，FEB BCO.CB、 CD 切O 于点 B、 D，ECF BCO，FEBECF；(2)解： 连接 OD， 如解图，则 ODCE，CB、 CD 为O 的切线，CD CB 6，CE10，由勾股定理得 BE8.设 OD x，则 OE8x，在 RtODE 中，由勾股定理可得(8x) 2x 24 2，解方程得：x3，则 OE5. 在 RtOBC 中，由勾股定理求得 OC3 ，5EOFBOC ， BEFC90，EOFCOB， ，EFCB OEOCEF 2 .OECBOC 5635 5第 8 题解图
