1、专题9 导数大题1一、 典例分析命题角度1利用导数研究函数的单调性问题例1（2021乙卷）已知函数（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标命题角度2利用导数研究函数的极值、最值问题例2（2019全国）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间，的最小值为，求命题角度3利用导数研究函数的方程的根（或函数的零点）例3（2020浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数（）证明：函数在上有唯一零点；（）记为函数在上的零点，证明：（）；（）二、 真题集训1（2020新课标）已知函数（1）若，求的取值范围；（2）设，讨论函数的单调性2（2019江苏）设函数，为的导函数（1）
2、若，（4），求的值；（2）若，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，且的极大值为，求证：3（2021浙江）设，为实数，且，函数（）求函数的单调区间；（）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；（）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足（注是自然对数的底数）典例分析答案命题角度1利用导数研究函数的单调性问题例1（2021乙卷）已知函数（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标分析：（1）对函数求导，分及讨论导函数与零的关系，进而得出的单调性情况；（2）先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线联立，即可求得公共
3、点坐标解答：解：（1），当，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；当，即时，令，解得，令，解得或，令，解得，在，单调递增，在，单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）设曲线过坐标原点的切线为，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，解得，切线方程为，令，即，解得或，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和点评：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题命题角度2利用导数研究函数的极值、最值问题例2（2019全国）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间，的最小值为，求分析：（
4、1）将代入中，然后求导，根据导函数的零点判断单调性导函数在各区间上的符合，从而得到单调区间；（2）对求导后，根据导函数的零点分，三类分别求出的最小值，让最小值等于，解出，然后判断是否符合条件即可解答：解：（1）当时，则，令，则，当时，；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），令，则，当时，在，上单调递增，不符合条件；当时，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，符合条件；当时，则当时，在上单调递减，不符合条件在区间，的最小值为，的值为点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和分类法，属中档题命题角度3利用导数研究函数的方程的根（或函数的零点）例3（2020
5、浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数（）证明：函数在上有唯一零点；（）记为函数在上的零点，证明：（）；（）分析：（）推导出时，恒成立，（2），由此能证明函数在上有唯一零点（），从而，进而，令，利用导数性质能证明要证明，只需证明，只需证，由此能证明解答：证明：（），恒成立，在上单调递增，（2），又，函数在上有唯一零点（），令，一方面，在单调递增，另一方面，当时，成立，只需证明当时，当时，当时，（1），（1），在单调递减，综上，要证明，只需证，由得只需证，只需证，只需证，即证，点评：本题考查函数有唯一零点、不等式的证明，导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查转化思想和运算求解能力，是中档题
6、真题集训答案1（2020新课标）已知函数（1）若，求的取值范围；（2）设，讨论函数的单调性解：（1）等价于设，当时，单调递增，当时，单调递减，在时取得极大值也就是最大值为（1），即则的取值范围为，；（2），令，则，令，解得，令，解得，在上单调递增，在上单调递减（a），即，在和上单调递减2（2019江苏）设函数，为的导函数（1）若，（4），求的值；（2）若，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，且的极大值为，求证：解：（1），（4），解得（2），设令，解得，或令，解得，或和的零点均在集合，1，中，若：，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，舍去，则，因此，可得：可得时，函数取得
7、极小值，（1）（3）证明：，令解得：，可得时，取得极大值为，令，可得：，令，函数在上单调递减，函数在上单调递增，3（2021浙江）设，为实数，且，函数（）求函数的单调区间；（）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；（）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足（注是自然对数的底数）解：（），当时，由于，则，故，此时在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，此时在单调递减，在单调递增；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（）由（）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，对任意均成立，令，则，即，即，即，对任意均成立，记，则，令（b），得，当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，此时（b），不合题意；当，即时，易知（b）在，单调递减，此时，故只需，即，则，即；综上，实数的取值范围为，；（）证明：当时，令，解得，易知，有两个零点，不妨设为，且，由，可得，要证，即证，即证，而，则，要证，即证，即证，而，即得证
