1、专题8 导数小题一、 典例分析1（2021新高考）若过点（a，b）可以作曲线yex的两条切线，则（）AebaBeabC0aebD0bea2（2021乙卷）设，若为函数的极大值点，则ABCD3（2021乙卷）设，则ABCD4（2016新课标）若函数在单调递增，则的取值范围是A，B，C，D，5（2016四川）设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是ABCD6（2015福建）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是ABCD7（2015新课标）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则8（2018新课标）已知函数，则的最小值是9（20
2、16新课标）已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是10（2020江苏）在平面直角坐标系中，已知，、是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是二、 真题集训1（2020新课标）函数的图象在点，（1）处的切线方程为ABCD2（2017天津）已知奇函数在上是增函数，若，（3），则，的大小关系为ABCD3（2016山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质下列函数中具有性质的是ABCD4（2015安徽）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是A，B，C，D，5（2015新课标）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是ABCD6（2015新课标）设函数
3、是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是A，B，C，D，7（2016新课标）已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是8（2016新课标）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则9（2019江苏）在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是10（2017全国）若曲线的切线与直线平行，则的方程为典例分析答案1（2021新高考）若过点（a，b）可以作曲线yex的两条切线，则（）AebaBeabC0aebD0bea分析：画出函数的图象，判断（a，b）与函数的图象的位置关系，即可得到选项解答：解：函数yex是增函数，yex0恒成立，函数的图象如图，y0，即取得坐标在x轴上
4、方，如果（a，b）在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立点（a，b）在x轴或下方时，只有一条切线如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；（a，b）在曲线上侧，没有切线；由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0bea故选：D点评：本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题2（2021乙卷）设，若为函数的极大值点，则ABCD分析：分及，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现，的大小关系，进而得出答案解答：解：令，解得或，即及是的两个零点，当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；当时，由三次函数的性
5、质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；综上，故选：点评：本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题3（2021乙卷）设，则ABCD分析：构造函数，利用导数和函数的单调性即可判断解答：解：，令，令，则，在上单调递增，（1），同理令，再令，则，在上单调递减，（1），故选：点评：本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题4（2016新课标）若函数在单调递增，则的取值范围是A，B，C，D，分析：求出的导数，由题意可得恒成立，设，即有，对讨论，分，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围
6、解答：解：函数的导数为，由题意可得恒成立，即为，即有，设，即有，当时，不等式显然成立；当时，由在，递增，可得时，取得最大值，可得，即；当时，由在，递增，可得时，取得最小值1，可得，即综上可得的范围是，另解：设，即有，由题意可得，且，解得的范围是，故选：点评：本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题5（2016四川）设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是ABCD分析：设出点，的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线与的斜率，由两直线垂直求得，的横坐标的乘积为1，
7、再分别写出两直线的点斜式方程，求得，两点的纵坐标，得到，联立两直线方程求得的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得的面积的取值范围解答：解：设，当时，当时，的斜率，的斜率，与垂直，且，即直线，取分别得到，联立两直线方程可得交点的横坐标为，函数在上为减函数，且，则，的面积的取值范围是故选：点评：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题6（2015福建）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是ABCD分析：根据导数的概念得出，用代入可判断出，即可判断答案解答：解；，即，当时，即故，所以，一定出错
8、，另解：设，且，在上递增，对选项一一判断，可得错故选：点评：本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题7（2015新课标）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则分析：求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值解答：解：的导数为，曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即由于切线与曲线相切，故可联立，得，又，两线相切有一切点，所以有，解得故答案为：8点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的
9、关键8（2018新课标）已知函数，则的最小值是分析：由题意可得是的一个周期，问题转化为在，上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得解答：解：由题意可得是的一个周期，故只需考虑在，上的值域，先来求该函数在，上的极值点，求导数可得，令可解得或，可得此时，或；的最小值只能在点，或和边界点中取到，计算可得，函数的最小值为，故答案为：点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题9（2016新课标）已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是分析：由偶函数的定义，可得，即有时，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程解答：解：为偶函数，可得，当时，即有时，可得（1）
10、，（1），则曲线在点处的切线方程为，即为故答案为：点评：本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题10（2020江苏）在平面直角坐标系中，已知，、是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是分析：求得圆的圆心和半径，作所在直径，交于点，运用垂径定理和勾股定理，以及三角形的面积公式，由三角换元，结合函数的导数，求得单调区间，计算可得所求最大值解答：解：圆的圆心，半径为6，如图，作所在直径，交于点，因为，所以，为垂径，要使面积最大，则，位于的两侧，并设，可得，故，可令，设函数，由，解得舍去），显然，当，递减；当时，递增，结合在递减，故时，最大，此时，故
11、，则面积的最大值为故答案为：点评：本题考查圆的方程和运用，以及圆的弦长公式和三角形的面积公式的运用，考查换元法和导数的运用：求单调性和最值，属于中档题真题集训 答案1解：由，得，（1），又（1），函数的图象在点，（1）处的切线方程为，即故选：2解：奇函数在上是增函数，当，且，则，在单调递增，且偶函数，则，由在单调递增，则（3），故选：3解：函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为，当时，满足条件；当时，恒成立，不满足条件；当时，恒成立，不满足条件；当时，恒成立，不满足条件；故选：4解：，排除，当时，排除，函数的导数，则有两个
12、不同的正实根，则且，方法，由图象知当当时函数递增，当时函数递减，则对应的图象开口向上，则，且且，故选：5解：设，由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，当时，当时，当时，取最小值，当时，当时，（1），直线恒过定点且斜率为，故且，解得故选：6解：设，则的导数为：，当时总有成立，即当时，恒小于0，当时，函数为减函数，又，函数为定义域上的偶函数又，函数的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式或，或故选：7解：已知为偶函数，当时，设，则，则，（1）曲线在点处的切线方程是即故答案为：8解：设与和的切点分别为，、，；由导数的几何意义可得，得再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而得出9解：由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由，解得曲线上，点到直线的距离最小，最小值为故答案为：410解：设切点为，可得，的导数为，由切线与直线平行，可得，解得，即有切点为，可得切线的方程为，即为故答案为：
