1、专题专题 10 10 函数的应用函数的应用 真题试练真题试练 1.(2020 全国)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位：)的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i1,2，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在 10至 40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是( ) Ayabx Byabx2 Cyabex Dyabln x 基础梳理基础梳理 一、函数的图象 1利用描点法作函数图象的方法步骤 2利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)伸缩变换 yf(x)a1，横坐标缩短
2、为原来的1a倍，纵坐标不变0a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a0 且 a1)关于yx对称 ylogax(a0 且 a1) (4)翻折变换 yf(x) 保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|. yf(x) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象yf(|x|) 常用结论 1函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 对称 2函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)对称 考点一 作函数的图象 1.作出下列函数的图象： (1)y2x1x1； (2)y|x24x3|. 【思维升华】 图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本初等函数的图象
3、(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序 考点二 函数图象的识别 2.(2022 百师联盟联考)函数 f(x)x cos xe|x|的图象大致为( ) 【思维升华】 识别函数的图象的主要方法有： (1)利用函数的性质如奇偶性、单调性、定义域等判断(2)利用函数的零点、极值点等判断(3)利用特殊函数值判断 考点三 函数图象的应用 3.已知奇函数 f(x)在 x0 时的图象如图所示，则不等式 xf(x)0 的解集为_ 【思维升华】 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化
4、为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解 二、函数的零点与方程的解 1函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 (2)函数零点与方程实数解的关系 方程 f(x)0 有实数解 函数 yf(x)有零点 函数 yf(x)的图象与 x 轴有公共点 (3)函数零点存在定理 如果函数 yf(x)在区间a， b上的图象是一条连续不断的曲线， 且有 f(a)f(b)0， 那么， 函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的解 2二分法
5、 对于在区间a，b上图象连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 考点一 函数零点所在区间的判定 1.(2022 湖南雅礼中学月考)设函数 f(x)13xln x，则函数 yf(x)( ) A在区间1e，1 ，(1，e)内均有零点 B在区间1e，1 ，(1，e)内均无零点 C在区间1e，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点 D在区间1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点 【思维升华】 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理： 首先看函数 yf(x)在
6、区间a， b上的图象是否连续， 再看是否有 f(a) f(b)0，ex，x1) ylogax (a1) yxn (n0) 在(0，)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数，a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 反比例函数模型 f(x)kxb(k，b 为常数且 k0) 指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数
7、，a0 且 a1，b0) 对数函数模型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 幂函数模型 f(x)axb(a，b， 为常数，a0，0) 考点一 用函数图象刻画变化过程 1.如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T.若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 hf(t)的图象大致是( ) 【思维升华】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象； (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象
8、的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 考点二 已知函数模型的实际问题 2.(2022 百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品已知生产该产品的年固定成本为 300 万元，最大产能为 100 台每生产 x 台，需另投入成本 G(x)万元，且 G(x) 2x280 x，0 x40，201x3 600 x2 100，40 x100，由市场调研知，该产品每台的售价为 200 万元，且全年内生产的该产
9、品当年能全部销售完 (1)写出年利润 W(x)万元关于年产量 x 台的函数解析式(利润销售收入成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【思维升华】 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验 考点三 构造函数模型的实际问题 3.2020 年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实
10、现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为 100 m/s，这是第一次“打水漂”， 然后石片在水面上多次“打水漂”， 每次“打水漂”的速率为上一次的90%， 若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取 ln 0.60.511，ln 0.90.105)( ) A4 B5 C6 D7 【思维升华】 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作
11、出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解 一一、单选单选题题 1(2022 沈阳质检)若函数 f(x) axb，x1，xa，x1的图象如图所示，则 f(3)等于( ) A12 B54 C1 D2 2(2022 长沙质检)已知图中的图象对应的函数为 yf(x)，则图中的图象对应的函数为( ) 图 图 Ayf(|x|) Byf(|x|) Cy|f(x)| Dyf(|x|) 3.(2022 武汉质检)若函数 f(x)x2ax1 在区间12，3 上有零点，则实数 a 的取值范围是( ) A(2，) B2，) C.2，52 D.2，103 4.(2022 重庆质检)已知函数 f(x)13
12、xlog2x，设 0abc，且满足 f(a) f(b) f(c)0，若实数 x0是方程 f(x)0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( ) Ax0c Cx0b 5(2022 北京西城区模拟)若偶函数 f(x)(xR)满足 f(x2)f(x)且 x0,1时，f(x)x，则方程 f(x)log3|x|的根的个数是( ) A2 B3 C4 D多于 4 6.(2022 福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式， 分别是小数记录与五分记录， 其部分数据如下表： 小数记录 x 0.1 0.12 0.15 1 1.2 1.5 2.0 五分记录 y 4.0 4.1 4.2 5 5.1 5.2 5.3
13、 现有如下函数模型：y5lg x，y5110lg 1x，x 表示小数记录数据，y 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为 4.7，则小明同学的小数记录数据为(附 100.32，50.220.7，100.10.8)( ) A0.3 B0.5 C0.7 D0.8 7.(2022 衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合已知某类果蔬的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yeaxb(a，b 为常数)，若
14、该果蔬在 6 的保鲜时间为 216 小时，在 24 的保鲜时间为 8 小时，那么在 12 时，该果蔬的保鲜时间为( ) A72 小时 B36 小时 C24 小时 D16 小时 8(2022 南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高已知听到的声强 I与标准声强 I0(I0约为 1012，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作 L(贝尔)，即 Llg II0.取贝尔的 10 倍作为响度的常用单位， 简称为分贝， 已知某处“喊泉”的声音强度 y(分贝)与喷出的泉
15、水高度 x(m)之间满足关系式 y2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为 70 m，60 m若甲同学大喝一声的声强大约相当于 n 个乙同学同时大喝一声的声强，则 n 的值约为( ) A10 B100 C200 D1 000 9.若关于 x 的方程|x|x4kx2有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为( ) A(0,1) B.14，1 C.14， D(1，) 10.(2022 武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为 256 个等级，最暗的黑色用 0 表示，最亮的白色用 255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用 0 至 255 之间对应的数表示，这
16、样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果： 则下列可以实现该功能的一种函数图象是( ) 二、填空题二、填空题 11.已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是_ 12.(2022 枣庄模拟)已知函数 f(x)|ln x|，若函数 g(x)f(x)ax 在区间(0，e2上有三个零点，则实数 a 的取值范围是_ 13(2022 济南质检)若 x1是方程 xex1 的解，x2是方程 xln x1
17、的解，则 x1x2_. 14.已知 M|f()0，N|g()0，若存在 M，N，使得|0， a1)与y12pxk(p0，k0)可供选择 (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份 (参考数据： lg 20.301 0， lg 30.477 1) 16.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金 y(单位：万元)随投资收益 x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过 90 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%.即假定奖励方案模拟函数为 yf(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当 x25,1 600时，
18、f(x)是增函数；f(x)90 恒成立；f(x)x5恒成立 (1)现有两个奖励函数模型：()f(x)115x10；()f(x)2 x6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ (2)已知函数 f(x)a x10(a2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a 的取值范围 专题专题 10 10 函数的应用函数的应用 真题试练真题试练 1.(2020 全国)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位：)的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i1,2，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在 10至 40之间，下面四个回归方程类型中最
19、适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是( ) Ayabx Byabx2 Cyabex Dyabln x 答案 D 解析 由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近 基础梳理基础梳理 三、函数的图象 1利用描点法作函数图象的方法步骤 2利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)伸缩变换 yf(x)a1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0a0 且 a1)关于yx对称 ylogax(a0 且 a1) (4)翻折变换 yf(x) 保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|. yf(x) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴
20、对称的图象yf(|x|) 常用结论 1函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 对称 2函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)对称 考点一 作函数的图象 1.作出下列函数的图象： (1)y2x1x1； (2)y|x24x3|. 解 (1)y2x1x121x1，故函数的图象可由 y1x的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到，如图所示 (2)先用描点法作出函数 yx24x3 的图象， 再把 x 轴下方的图象沿 x 轴向上翻折， x 轴上方的图象不变，如图实线部分所示 【思维升华】 图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本初等函数的图
21、象 (2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序 考点二 函数图象的识别 2.(2022 百师联盟联考)函数 f(x)x cos xe|x|的图象大致为( ) 答案 D 解析 由题意知，f(x)的定义域为 R， f(x)xxe|x| x cos xe|x|f(x)， 故 f(x)为奇函数，排除 C； f(1)cos 1e0，排除 A； f(2)2cos 2e20，排除 B. 【思维升华】 识别函数的图象的主要方法有： (1)利用函数的性质如奇偶性、单调性、定义域等判断(2)利用函数的零点、极值点等判断(3)利用特殊函数值判断 考
22、点三 函数图象的应用 3.已知奇函数 f(x)在 x0 时的图象如图所示，则不等式 xf(x)0 的解集为_ 答案 (2，1)(1,2) 解析 xf(x)0， 当 x(，2)(1,0)(1,2)时， f(x)0， 不等式 xf(x)0 的解集为(2，1)(1,2) 【思维升华】 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解 四、函数的零点与方程的解 1函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 (2)函数零点
23、与方程实数解的关系 方程 f(x)0 有实数解 函数 yf(x)有零点 函数 yf(x)的图象与 x 轴有公共点 (3)函数零点存在定理 如果函数 yf(x)在区间a， b上的图象是一条连续不断的曲线， 且有 f(a)f(b)0， 那么， 函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的解 2二分法 对于在区间a，b上图象连续不断且 f(a)f(b)0， f(x)131xx33x， 令 f(x)0 x3，f(x)00 x0，f(1)130， f(x)在1e，1 内无零点 又 f(e)e310，f(x)在(1，e)内有
24、零点 【思维升华】 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理： 首先看函数 yf(x)在区间a， b上的图象是否连续， 再看是否有 f(a) f(b)0，ex，x0，ex，x0的图象， 容易得出交点为 12 个 【思维升华】 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令 f(x)0，方程有多少个解，则 f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数 考点三 函数零点的应用 3.(2022 北京顺义区模拟)已知函数 f(x)3x1axx.若存在 x0(
25、，1)，使得 f(x0)0，则实数 a 的取值范围是( ) A.，43 B.0，43 C(，0) D.43， 答案 B 解析 由 f(x)3x1axx0， 可得 a3x1x， 令 g(x)3x1x，其中 x(，1)， 由于存在 x0(，1)，使得 f(x0)0， 则实数 a 的取值范围即为函数 g(x)在(，1)上的值域 由于函数 y3x，y1x在区间(，1)上均单调递增，所以函数 g(x)在(，1)上单调递增 当 x(，1)时， g(x)3x1x0， 所以函数 g(x)在(，1)上的值域为0，43. 因此实数 a 的取值范围是0，43. 【思维升华】 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方
26、法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围 (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 三、函数模型的应用 1三种函数模型的性质 函数 性质 yax (a1) ylogax (a1) yxn (n0) 在(0，)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行 随 n 值变化而各有不同 2.常见的函数模型 函数模
27、型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数，a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 反比例函数模型 f(x)kxb(k，b 为常数且 k0) 指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 对数函数模型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 幂函数模型 f(x)axb(a，b， 为常数，a0，0) 考点一 用函数图象刻画变化过程 1.如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T.若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函
28、数 hf(t)的图象大致是( ) 答案 B 解析 水匀速流出，所以鱼缸水深 h 先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快 【思维升华】 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象； (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 考点二 已知函数模型的实际问题 2.(2022 百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长
29、的趋势某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品已知生产该产品的年固定成本为 300 万元，最大产能为 100 台每生产 x 台，需另投入成本 G(x)万元，且 G(x) 2x280 x，0 x40，201x3 600 x2 100，40 x100，由市场调研知，该产品每台的售价为 200 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完 (1)写出年利润 W(x)万元关于年产量 x 台的函数解析式(利润销售收入成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)由题意可得，当 0 x40 时， W(x)200 x(2x280 x)300 2x
30、2120 x300； 当 40 x100 时， W(x)200 x201x3 600 x2 100 300 x3 600 x1 800， 所以 W(x) 2x2120 x300，0 x40，x3 600 x1 800，40 x100. (2)若 0 x40，W(x)2(x30)21 500， 所以当 x30 时，W(x)max1 500 万元 若 40 x100， W(x)x3 600 x1 800 2x3 600 x1 800 1201 8001 680， 当且仅当 x3 600 x时， 即 x60 时，W(x)max1 680 万元 所以该产品的年产量为 60 台时，公司所获利润最大，最大
31、利润是 1 680 万元 【思维升华】 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验 考点三 构造函数模型的实际问题 3.2020 年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为 100 m/s，这是第一次“打水漂
32、”， 然后石片在水面上多次“打水漂”， 每次“打水漂”的速率为上一次的90%， 若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取 ln 0.60.511，ln 0.90.105)( ) A4 B5 C6 D7 答案 C 解析 设石片第 n 次“打水漂”时的速率为 vn， 则 vn100 0.90n1. 由 100 0.90n160， 得 0.90n10.6， 则(n1)ln 0.90ln 0.6ln 0.90.5110.1054.87，则 n5.87， 故至少需要“打水漂”的次数为 6. 【思维升华】 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学
33、模型； (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解 一一、单选单选题题 1(2022 沈阳质检)若函数 f(x) axb，x1，xa，x1的图象如图所示，则 f(3)等于( ) A12 B54 C1 D2 答案 C 解析 f(1)0，ln(1a)0， 1a1，a2， 又 yaxb 过点(1,3)， 2 (1)b3，b5， f(3)3ab651. 2(2022 长沙质检)已知图中的图象对应的函数为 yf(x)，则图中的图象对应的函数为( ) 图 图 Ay
34、f(|x|) Byf(|x|) Cy|f(x)| Dyf(|x|) 答案 B 解析 观察函数图象可得，是由保留 y 轴左侧及 y 轴上的图象，然后将 y 轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为 yf(|x|) 3.(2022 武汉质检)若函数 f(x)x2ax1 在区间12，3 上有零点，则实数 a 的取值范围是( ) A(2，) B2，) C.2，52 D.2，103 答案 D 解析 由题意知方程 axx21 在12，3 上有实数解，即 ax1x在12，3 上有解， 设 tx1x，x12，3 ， 则 t 的取值范围是2，103. 所以实数 a 的取值范围是
35、2，103. 4.(2022 重庆质检)已知函数 f(x)13xlog2x，设 0abc，且满足 f(a) f(b) f(c)0，若实数 x0是方程 f(x)0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( ) Ax0c Cx0b 答案 B 解析 f(x)13xlog2x 在(0，)上单调递减，由 f(a) f(b) f(c)0， 得 f(a)0，f(b)0，f(c)0， f(b)0，f(c)0. x0a 或 bx0c 不成立 5(2022 北京西城区模拟)若偶函数 f(x)(xR)满足 f(x2)f(x)且 x0,1时，f(x)x，则方程 f(x)log3|x|的根的个数是( ) A2 B3 C
36、4 D多于 4 答案 C 解析 f(x)log3|x|的解的个数，等价于 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象的交点个数，因为函数 f(x)满足f(x2)f(x)， 所以周期 T2， 当 x0,1时，f(x)x，且 f(x)为偶函数， 在同一平面直角坐标系中画出函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象，如图所示 显然函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象有 4 个交点 6.(2022 福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式， 分别是小数记录与五分记录， 其部分数据如下表： 小数记录 x 0.1 0.12 0.15 1 1.2 1.5 2.0 五分记录
37、y 4.0 4.1 4.2 5 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：y5lg x，y5110lg 1x，x 表示小数记录数据，y 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为 4.7，则小明同学的小数记录数据为(附 100.32，50.220.7，100.10.8)( ) A0.3 B0.5 C0.7 D0.8 答案 B 解析 由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为 y5lg x， 令 y5lg x4.7，解得 x100.30.5. 7.(2022 衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述
38、了古代资源流通的不便利如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合已知某类果蔬的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yeaxb(a，b 为常数)，若该果蔬在 6 的保鲜时间为 216 小时，在 24 的保鲜时间为 8 小时，那么在 12 时，该果蔬的保鲜时间为( ) A72 小时 B36 小时 C24 小时 D16 小时 答案 A 解析 当 x6 时，e6ab216； 当 x24 时，e24ab8，则e6abe24ab216827， 整理可得 e6a13，于是 eb216 3648， 当 x12 时， ye12ab(e6a)2 eb19 64872.
39、 8(2022 南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高已知听到的声强 I与标准声强 I0(I0约为 1012，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作 L(贝尔)，即 Llg II0.取贝尔的 10 倍作为响度的常用单位， 简称为分贝， 已知某处“喊泉”的声音强度 y(分贝)与喷出的泉水高度 x(m)之间满足关系式 y2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为 70 m，60 m若甲同学大喝一声的声强大约相当于 n 个乙同学同时大喝一声的声强，
40、则 n 的值约为( ) A10 B100 C200 D1 000 答案 B 解析 设甲同学的声强为 I1，乙同学的声强为 I2， 则 14010lg I11012，12010lg I21012， 两式相减即得 2010lg I1I2，即 lg I1I22， 从而I1I2100，所以 n 的值约为 100. 9.若关于 x 的方程|x|x4kx2有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为( ) A(0,1) B.14，1 C.14， D(1，) 答案 C 解析 因为|x|x4kx2有四个实数解， 显然，x0 是方程的一个解， 下面只考虑 x0 时有三个实数解即可 若 x0，原方程等价于 1kx(x
41、4)， 显然 k0，则1kx(x4) 要使该方程有解，必须 k0， 则1k4(x2)2，此时 x0，方程有且必有一解； 所以当 x0 时必须有两解，当 x0 时， 原方程等价于1kx(x4)， 即1kx(x4)(x0 且 x4)，要使该方程有两解， 必须41k14. 所以实数 k 的取值范围为14， . 10.(2022 武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为 256 个等级，最暗的黑色用 0 表示，最亮的白色用 255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用 0 至 255 之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”在处理有些较黑的图象时，为了增
42、强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果： 则下列可以实现该功能的一种函数图象是( ) 答案 A 解析 根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在 yx 上方结合选项只有 A 选项能够较好的达到目的 二、填空题二、填空题 11.已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是_ 答案 12，1 解析 先作出函数 f(x)|x2|1 的图象，如图所示，当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行
43、时斜率为 1，当直线g(x)kx 过 A 点时斜率为12，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的取值范围为12，1 . 12.(2022 枣庄模拟)已知函数 f(x)|ln x|，若函数 g(x)f(x)ax 在区间(0，e2上有三个零点，则实数 a 的取值范围是_ 答案 2e2，1e 解析 函数 g(x)f(x)ax 在区间(0，e2上有三个零点， yf(x)的图象与直线 yax 在区间(0，e2上有三个交点， 由函数 yf(x)与 yax 的图象可知， k120e202e2， f(x)ln x(x1)，f(x)1x， 设切点坐标为(t，ln t)，则ln t0t01t， 解得 t
44、e.k21e. 则直线 yax 的斜率 a2e2，1e. 13(2022 济南质检)若 x1是方程 xex1 的解，x2是方程 xln x1 的解，则 x1x2_. 答案 1 解析 x1，x2分别是函数 yex，函数 yln x 与函数 y1x的图象的 交点 A，B 的横坐标，所以 Ax1，1x1，Bx2，1x2两点关于 yx 对称，因此 x1x21. 14.已知 M|f()0，N|g()0，若存在 M，N，使得|n，则称函数 f(x)与 g(x)互为“n度零点函数”若 f(x)32x1 与 g(x)x2aex互为“1 度零点函数”，则实数 a 的取值范围为_ 答案 1e，4e2 解析 由题意
45、可知 f(2)0，且 f(x)在 R 上单调递减，所以函数 f(x)只有一个零点 2，由|2|1，得 11e，要使函数 g(x)在区间(1,3)上存在零点，只需 a1e，4e2. 三、解答题三、解答题 15.(2022 保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为 k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为 24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为 36 m2，凤眼莲的覆盖面积 y(单位：m2)与月份 x(单位：月)的关系有两个函数模型 ykax(k0，a1)与 y12pxk(p0，k0)可供选择 (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式
46、； (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份 (参考数据： lg 20.301 0， lg 30.477 1) 解 (1)由题设可知，两个函数 ykax(k0，a1)，y12pxk(p0，k0)在(0，)上均为增函数， 随着 x 的增大，函数 ykax(k0，a1)的值增加得越来越快， 而函数 y12pxk(p0，k0)的值增加得越来越慢， 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型 ykax(k0，a1)满足要求 由题意可得 ka224，ka336， 解得 k323，a32，故该函数模型的解析式为 y32332x(xN) (2)当 x0 时，y3233203
47、23， 故元旦放入凤眼莲的面积为323 m2， 由32332x10323， 即32x10， 故 x32log 10lg 10lg 321lg 3lg 2， 由于1lg 3lg 210.477 10.301 05.7， 故 x6. 因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份是 6 月份. 16.某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金 y(单位：万元)随投资收益 x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过 90 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%.即假定奖励方案模拟函数为 yf(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当 x25,1 600时，f(x)是增函数
48、；f(x)90 恒成立；f(x)x5恒成立 (1)现有两个奖励函数模型：()f(x)115x10；()f(x)2 x6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ (2)已知函数 f(x)a x10(a2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a 的取值范围 解 (1)对于函数模型：()f(x)115x10，验证条件：当 x30 时，f(x)12，而x56， 即 f(x)x5不成立，故不符合公司要求； 对于函数模型：()f(x)2 x6， 当 x25,1 600时，条件f(x)是增函数满足； f(x)max2 1 60062 4067490，满足条件； 对于条件： 记 g(x)2 x6x5(25x
49、1 600)， 则 g(x)15( x5)21， x5,40， 当 x5 时， g(x)max15(55)2110， f(x)x5恒成立，即条件也成立 故函数模型： ()f(x)2 x6 符合公司要求 (2)a2， 函数 f(x)a x10 符合条件； 由函数 f(x)a x10 符合条件， 得 a 1 60010a 401090， 解得 a52； 由函数 f(x)a x10 符合条件， 得 a x10 x5对 x25,1 600恒成立， 即 ax510 x对 x25,1 600恒成立 x510 x2 2，当且仅当x510 x， 即 x50 时等号成立， a2 2， 综上所述，实数 a 的取值范围是2，52.
