1、专题13 导数与函数的极值、最值真题试练1（2021新高考）函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为 2（2022浙江真题）设函数 （）求 的单调区间；（）已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 证明：（）若 ，则 ；（）若 ，则 （注： 是自然对数的底数）基础梳理1函数的极值(1)函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，则a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0
2、；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)1时，f(x)0，当时，f(x)0，所以f（x）min=f（1）=1；当时，f（x）=1-2x-2lnx，则，此时函数f（x）=1-2x-2lnx在上为减函数，则f（x）min=，综上，f（x）min=1故答案为：12（2022浙江真题）设函数 （）求 的单调区间；（）已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 证明：（）若 ，则 ；（）若 ，则 （注： 是自然对数的底数）【答案】解：（） 故 的减区间为 ，增区间为 . （）（）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，故 ，故方程 有3个不同的根，该方程可整理为 ，设 ，则 ，当 或 时， ；当
3、 时， ，故 在 上为减函数，在 上为增函数，因为 有3个不同的零点，故 且 ，故 且 ，整理得到： 且 ，此时 ，设 ，则 ，故 为 上的减函数，故 ，故 .（）当 时，同（）中讨论可得：故 在 上为减函数，在 上为增函数，不妨设 ，则 ，因为 有3个不同的零点，故 且 ，故 且 ，整理得到： ，因为 ，故 ，又 ，设 ， ，则方程 即为： 即为 ，记 则 为 有三个不同的根，设 ， ，要证： ，即证 ，即证： ，即证： ，即证： ，而 且 ，故 ，故 ，故即证： ，即证： 即证： ，记 ，则 ，设 ，则 即 ，故 在 上为增函数，故 ，所以 ，记 ，则 ，所以 在 为增函数，故 ，故 即
4、，故原不等式得证.【解析】（）求出导函数，利用导数的性质即可求得函数的单调区间；（）（i） 因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，故有3个不同的根，整理为 ，令 ，由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，利用导数求得极值， 故 且 ， 且 ， 设 利用导数性质能证明 ，所以 .（）有三个不同的零点，设 ， ，则转化为 有三个不同的根， 在三个不同的零点，且，推导出要证明结论，只需证明 ，由此能证明 基础梳理1函数的极值(1)函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，则a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a
5、)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，x10f(x)0，f(x)单调递减；当x(3,1)时，y0，x10，f(x)单调递增；当x(1,3)时，y0，x10f(x)0，f(x)单调递增；当x(3，)时，y0f(x)0，f(x)单调递减所以函数有极小值f(3)和极大值f(3)2(2022大庆模拟)函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则ab等于()A7 B0C7或0 D15或6【答案】A【解析】由题意知，函数f(x)x3ax2bxa2，可得f
6、(x)3x22axb，因为f(x)在x1处取得极值10，可得解得或检验知，当a3，b3时，可得f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a4，b11时，可得f(x)3x28x11(3x11)(x1)，当x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，当x1时，函数f(x)取得极小值，符合题意所以ab7.考点二利用导数求函数最值【方法总结】(1)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值(2)若所给的闭区间a，b含参数，则需
7、对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值3已知函数g(x)aln xx2(a2)x(aR)(1)若a1，求g(x)在区间1，e上的最大值；(2)求g(x)在区间1，e上的最小值h(a)【答案】(1)a1，g(x)ln xx23x，g(x)2x3，x1，e，g(x)0，g(x)在1，e上单调递增，g(x)maxg(e)e23e1.(2)g(x)的定义域为(0，)，g(x)2x(a2).当1，即a2时，g(x)在1，e上单调递增，h(a)g(1)a1；当1e，即2a0，且r0，可得0r0，故V(r)在(0,5)上单调递增；当r(5,5)时，V(r)0)，(x)=11+x+1(1+x)2-20，(x)单调递减，则，另一方面当时，单调递减，且根据零点存在性定理，存在唯一的，有由，可得：所以时，由上面已证：当，即，进一步可得，故则综上，若为的极值点，一定有【解析】(1)根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可得 极值；(2)根据(1)的结论、函数极值的定义，结合构造函数法、零点存在原理、导数的性质，运用分类讨论思想进行证明即可.学科网（北京）股份有限公司
