2023年高考数学一轮复习专题4:基本不等式(含答案解析)

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1、专题4:基本不等式真题试练1(2022全国甲卷)已知 ,则() ABC D2(2021全国乙卷)下列函数中最小值为4的是() ABCD基础梳理1基本不等式:(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当ab时,等号成立(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR)(2)2(a,b同号)(3)ab2 (a,bR)(4)2 (a,bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当xy时,和xy有最小值2.(2)已知x,y都是正数,如果和xy等

2、于定值S,那么当xy时,积xy有最大值S2.注意:利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”【拓展训练】柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,17891857)发现的,故命名为柯西不等式柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外,柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中,借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果1(柯西不等式的代数形式)设a,b,c,d均为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc时,等号成立推广一般情形:设a1,a2,an,b1,b2,bnR,则(aaa)(bbb)(a1b1

3、a2b2anbn)2(当且仅当bi0(i1,2,n)或存在一个实数k,使得aikbi(i1,2,n)时,等号成立)2(柯西不等式的向量形式)设,为平面上的两个向量,则|,当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立3(柯西不等式的三角不等式)设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数,则:. 考点一利用基本不等式求最值1.(2022保定模拟)已知a,且,则a+2b的最大值为()A2B3CD2.(2022马鞍山模拟)若,则的最小值为()ABC6D【思维升华】(1)前提:“一正”“二定”“三相等”(2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式(3)条件最值的

4、求解通常有三种方法:一是配凑法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;三是消元法考点二基本不等式的常见变形应用3.(2022宁波模拟)几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OFAB,设ACa,BCb,则该图形可以完成的无字证明为()A.(a0,b0)Ba2b22(a0,b0)C.(a0,b0)D.(a0,b0)【思维升华】基本不等式的常见变形(1)ab2.(2)(a0,b0)考点三基本不等式的实际应用4.(2

5、022武汉模拟)已知直线过圆的圆心,则的最小值为()ABC6D95.已知,定义,则的最小值是()A5B6C8D1【思维升华】利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用基本不等式求得函数的最值考点四柯西不等式的实际应用6.已知正实数x,y,z满足x2y2z21,正实数a,b,c满足a2b2c29,则axbycz的最大值为_一、单选题1.(2022宝鸡模拟)已知,则的最小值是()A4B3C2D12.(2022安徽模拟)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,若角A的内角平分线AD的长为2,则的最小值为()A1

6、0B12C16D183(2022高三下四川)已知为等差数列的前n项和,若,则的最小值为()ABCD4.(2022凉山模拟)如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴,则称此两双曲线互为共轭双曲线已知双曲线,互为共轭双曲线,的焦点分别为,顶点分别为,的焦点分别为,顶点分别为,过四个焦点的圆的面积为,四边形的面积为,则的最大值为()ABCD5.(2022湖北模拟)已知实数满足,则的最小值为()A2B1C4D56.(2022湛江模拟)若,且,则的最小值为()A9B3C1D7.(2022邵阳模拟)函数的最小值为()A3B2C1D08.(2022浙江模拟)已知互不相等的三个正数a,b,c,则在

7、三个值中,大于2的个数的最小值为()A1B2C3D49已知等腰直角三角形的斜边长为4,点为线段中垂线上任意一点,点为射线上一点,满足,则面积的最大值为()ABCD10.(2022湖州模拟)已知 , ,且 ,则下列结论正确的个数是() 的最小值是4; 恒成立; 恒成立; 的最大值是 .A1个B2个C3个D4个二、填空题11.(2022全国甲卷)已知 中,点D在边BC上, 当 取得最小值时, 12(2022齐齐哈尔模拟)已知正实数x,y满足,则的最小值为 13(2022郑州模拟)在中,角,所对的边分别为,若,则面积的最小值是 14.(2022百师联盟联考)已知a0,b0,且a2b2ab,则ab的最

8、小值为_,2ab的最小值为_三、解答题15.(2022重庆沙坪坝区模拟)若x0,y0且xyxy,则的最小值为多少?16设ab0,则a2的最小值是多少?专题4:基本不等式真题试练1(2022全国甲卷)已知 ,则() ABC D【答案】A【解析】由9m=10可得,而,所以 ,即mlg11,所以a=10m-1110lg11-11=0又,所以 ,即log89m ,所以 综上,a0b 故选:A2(2021全国乙卷)下列函数中最小值为4的是() ABCD【答案】C【解析】对于A:因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意;对于B:因为,设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知

9、,函数yg(t)=是减函数,所以ymin=g(1)=5,所以B选项不符合;对于C:因为 当且仅当时“”成立,即ymin=4,故C选项正确;对于D:当时,0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当ab时,等号成立(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a,bR)(2)2(a,b同号)(3)ab2 (a,bR)(4)2 (a,bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当xy时,和xy有最小值2.(2)已知x,y都是正数,如果和xy等于定值S,那么当xy时,积xy有最

10、大值S2.注意:利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”【拓展训练】柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,17891857)发现的,故命名为柯西不等式柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外,柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中,借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果1(柯西不等式的代数形式)设a,b,c,d均为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc时,等号成立推广一般情形:设a1,a2,an,b1,b2,bnR,则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(当且仅当bi

11、0(i1,2,n)或存在一个实数k,使得aikbi(i1,2,n)时,等号成立)2(柯西不等式的向量形式)设,为平面上的两个向量,则|,当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立3(柯西不等式的三角不等式)设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数,则:. 考点一利用基本不等式求最值1.(2022保定模拟)已知a,且,则a+2b的最大值为()A2B3CD【答案】C【解析】,则,当且仅当时,“=”成立,又a,所以,当且仅当时,“=”成立,所以a+2b的最大值为.故答案为:C2.(2022马鞍山模拟)若,则的最小值为()ABC6D【答案】B【解析】由,因为,所以,即,所以,当且仅当时取等

12、号,即时取等号,故答案为:B【思维升华】(1)前提:“一正”“二定”“三相等”(2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有三种方法:一是配凑法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;三是消元法考点二基本不等式的常见变形应用3.(2022宁波模拟)几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OFAB,设ACa,BCb,则该图形可以完成的无字证明为()A.(a

13、0,b0)Ba2b22(a0,b0)C.(a0,b0)D.(a0,b0)答案D解析由图形可知,OFAB(ab),OC(ab)b(ab),在RtOCF中,由勾股定理可得,CF,CFOF,(ab)(a0,b0)【思维升华】基本不等式的常见变形(1)ab2.(2)(a0,b0)考点三基本不等式的实际应用4.(2022武汉模拟)已知直线过圆的圆心,则的最小值为()ABC6D9【答案】A【解析】由圆的方程知:圆心;直线过圆的圆心,;(当且仅当,即时取等号),的最小值为.故答案为:A.5.已知,定义,则的最小值是()A5B6C8D1【答案】A【解析】由定义,得H(a,b)a+22-bH(a,b)9a+2b

14、,所以,当且仅当a=9a22-b=2b,即时,取等号.所以,即的最小值为5.故答案为:A【思维升华】利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用基本不等式求得函数的最值考点四柯西不等式的实际应用6.已知正实数x,y,z满足x2y2z21,正实数a,b,c满足a2b2c29,则axbycz的最大值为_答案3解析(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)9,axbycz3,当且仅当a3x,b3y,c3z时取“”,axbycz的最大值为3.一、单选题1.(2022宝鸡模拟)已知,则的最小值是()A4B3C2D1【

15、答案】A【解析】由,可得,所以,则,因为,则,当且仅当即时,取得等号,所以,即的最小值是4, 故答案为:A 2.(2022安徽模拟)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,若角A的内角平分线AD的长为2,则的最小值为()A10B12C16D18【答案】D【解析】解:因为, 所以,即,由余弦定理易得,又平分角A,由,得,即,即,当且仅当时等号成立,即的最小值为18故答案为:D3(2022高三下四川)已知为等差数列的前n项和,若,则的最小值为()ABCD【答案】A【解析】设的公差d,由有,解得,所以,则,当且仅当时等号成立故答案为:A4.(2022凉山模拟)如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另

16、一双曲线的虚轴及实轴,则称此两双曲线互为共轭双曲线已知双曲线,互为共轭双曲线,的焦点分别为,顶点分别为,的焦点分别为,顶点分别为,过四个焦点的圆的面积为,四边形的面积为,则的最大值为()ABCD【答案】A【解析】不妨设,则,当且仅当时等号成立故答案为:A5.(2022湖北模拟)已知实数满足,则的最小值为()A2B1C4D5【答案】A【解析】由得,因式分解得,则,当且仅当时取得最小值故答案为:A6.(2022湛江模拟)若,且,则的最小值为()A9B3C1D【答案】C【解析】解:因为,所以,因为所以,即,当且仅当,即时等号成立,所以,即的最小值为1.故答案为:C7.(2022邵阳模拟)函数的最小值

17、为()A3B2C1D0【答案】D【解析】因为,所以,利用基本不等式可得,当且仅当 即 时等号成立.故答案为:D.8.(2022浙江模拟)已知互不相等的三个正数a,b,c,则在三个值中,大于2的个数的最小值为()A1B2C3D4【答案】A【解析】因为,等号成立条件,与已知条件矛盾,若都不大于2,则与矛盾,中至少有一个大于2另一方面,若时,只有一个大于2,满足,所以成立,故在三个值中,大于2的个数最小值为1故答案为:A9已知等腰直角三角形的斜边长为4,点为线段中垂线上任意一点,点为射线上一点,满足,则面积的最大值为()ABCD【答案】A【解析】令设中点为,建系,令到距离到距离,设,当且仅当时取等号

18、;设,当且仅当时取等号故答案为:A.10.(2022湖州模拟)已知 , ,且 ,则下列结论正确的个数是() 的最小值是4; 恒成立; 恒成立; 的最大值是 .A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】解:,当且仅当2m=2n+1,即m=n+1,即n=0,m=1等号成立,而n0,故错误;令y=n+sinm-1,因为m0,n0,且m+n=1,所以f(m)=sinm-m,m(0,1),则f(m)=cosm-10,所以 f(m)在(0,1)上递减,则f(m)f(0)=0,即n+sinm0,n0,且m+n=1,所以,当且仅当m=n=时,等号成立,则log2m + log2n = log2mn log2=

19、-2,故正确;因为 令,n(0.1),则,n(0.1),令f(n)=0,解得n=2-(0,1),n=2+(0,1),当0n0,当2-n1时,f(n)0, 则在ABD中,AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=m2+4+2m , 在ACD中,AC2=CD2+AD2-2CDADcosADC=4m2+4-4m , 所以 , 当且仅当即时,等号成立, 所以当取最小值时,即BD= . 故答案为: .12(2022齐齐哈尔模拟)已知正实数x,y满足,则的最小值为 【答案】2【解析】根据题意有,令,则,令,则,所以函数在R上单调递减,又因为,所以,所以,当且仅当时等号成立,所以的最小值为2。故答案为

20、:2。13(2022郑州模拟)在中,角,所对的边分别为,若,则面积的最小值是 【答案】【解析】由正弦定理得,又,由可知,由正弦定理得,即,由余弦定理得,即,则,即,当且仅当时取等号,则。故答案为:。14.(2022百师联盟联考)已知a0,b0,且a2b2ab,则ab的最小值为_,2ab的最小值为_答案2解析a2b2ab,2ab2,即ab2,当且仅当a2b,即b1,a2时等号成立,故ab的最小值为2.a2b2ab,2,2ab(2ab)(52),当且仅当,即ab时等号成立,2ab的最小值为.三、解答题15.(2022重庆沙坪坝区模拟)若x0,y0且xyxy,则的最小值为多少?答案32解析因为x0,y0且xyxy,则xyxyy,即有x1,同理y1,由xyxy得,(x1)(y1)1,于是得1233232,当且仅当,即x1,y1时取“”,所以的最小值为32.16设ab0,则a2的最小值是多少?答案4解析ab0,ab0,a(ab)0,a2a2ababa2ababa(ab)ab224,当且仅当即a,b时等号成立a2的最小值是4.

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