1、专题4：基本不等式真题试练1（2022全国甲卷）已知 ，则（） ABC D2（2021全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（） ABCD基础梳理1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2.(2)已知x，y都是正数，如果和xy等
2、于定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”【拓展训练】柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,17891857)发现的，故命名为柯西不等式柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果1(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立推广一般情形：设a1，a2，an，b1，b2，bnR，则(aaa)(bbb)(a1b1
3、a2b2anbn)2(当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立)2(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立3(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：. 考点一利用基本不等式求最值1.（2022保定模拟）已知a，且，则a+2b的最大值为（）A2B3CD2.（2022马鞍山模拟）若，则的最小值为（）ABC6D【思维升华】(1)前提：“一正”“二定”“三相等”(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的
4、求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法考点二基本不等式的常见变形应用3.(2022宁波模拟)几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A.(a0，b0)Ba2b22(a0，b0)C.(a0，b0)D.(a0，b0)【思维升华】基本不等式的常见变形(1)ab2.(2)(a0，b0)考点三基本不等式的实际应用4.（2
5、022武汉模拟）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（）ABC6D95.已知，定义，则的最小值是（）A5B6C8D1【思维升华】利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值考点四柯西不等式的实际应用6.已知正实数x，y，z满足x2y2z21，正实数a，b，c满足a2b2c29，则axbycz的最大值为_一、单选题1.（2022宝鸡模拟）已知，则的最小值是（）A4B3C2D12.（2022安徽模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（）A1
6、0B12C16D183（2022高三下四川）已知为等差数列的前n项和，若，则的最小值为（）ABCD4.（2022凉山模拟）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，顶点分别为，的焦点分别为，顶点分别为，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为（）ABCD5.（2022湖北模拟）已知实数满足，则的最小值为()A2B1C4D56.（2022湛江模拟）若，且，则的最小值为（）A9B3C1D7.（2022邵阳模拟）函数的最小值为（）A3B2C1D08.（2022浙江模拟）已知互不相等的三个正数a，b，c，则在
7、三个值中，大于2的个数的最小值为（）A1B2C3D49已知等腰直角三角形的斜边长为4，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为（）ABCD10.（2022湖州模拟）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的个数是（） 的最小值是4； 恒成立； 恒成立； 的最大值是 .A1个B2个C3个D4个二、填空题11.（2022全国甲卷）已知 中，点D在边BC上， 当 取得最小值时， 12（2022齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为 13（2022郑州模拟）在中，角，所对的边分别为，若，则面积的最小值是 14.(2022百师联盟联考)已知a0，b0，且a2b2ab，则ab的最
8、小值为_，2ab的最小值为_三、解答题15.(2022重庆沙坪坝区模拟)若x0，y0且xyxy，则的最小值为多少？16设ab0，则a2的最小值是多少？专题4：基本不等式真题试练1（2022全国甲卷）已知 ，则（） ABC D【答案】A【解析】由9m=10可得，而，所以 ，即mlg11，所以a=10m-1110lg11-11=0又，所以 ，即log89m ，所以 综上，a0b 故选：A2（2021全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（） ABCD【答案】C【解析】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；对于B：因为，设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知
9、，函数yg(t)=是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合；对于C：因为 当且仅当时“”成立，即ymin=4，故C选项正确；对于D：当时，0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2.(2)已知x，y都是正数，如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最
10、大值S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”【拓展训练】柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,17891857)发现的，故命名为柯西不等式柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果1(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立推广一般情形：设a1，a2，an，b1，b2，bnR，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(当且仅当bi
11、0(i1,2，n)或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立)2(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立3(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：. 考点一利用基本不等式求最值1.（2022保定模拟）已知a，且，则a+2b的最大值为（）A2B3CD【答案】C【解析】，则，当且仅当时，“=”成立，又a，所以，当且仅当时，“=”成立，所以a+2b的最大值为.故答案为：C2.（2022马鞍山模拟）若，则的最小值为（）ABC6D【答案】B【解析】由，因为，所以，即，所以，当且仅当时取等
12、号，即时取等号，故答案为：B【思维升华】(1)前提：“一正”“二定”“三相等”(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法考点二基本不等式的常见变形应用3.(2022宁波模拟)几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A.(a
13、0，b0)Ba2b22(a0，b0)C.(a0，b0)D.(a0，b0)答案D解析由图形可知，OFAB(ab)，OC(ab)b(ab)，在RtOCF中，由勾股定理可得，CF，CFOF，(ab)(a0，b0)【思维升华】基本不等式的常见变形(1)ab2.(2)(a0，b0)考点三基本不等式的实际应用4.（2022武汉模拟）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（）ABC6D9【答案】A【解析】由圆的方程知：圆心；直线过圆的圆心，；（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故答案为：A.5.已知，定义，则的最小值是（）A5B6C8D1【答案】A【解析】由定义，得H(a，b)a+22-bH(a，b)9a+2b
14、，所以，当且仅当a=9a22-b=2b，即时，取等号.所以，即的最小值为5.故答案为：A【思维升华】利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值考点四柯西不等式的实际应用6.已知正实数x，y，z满足x2y2z21，正实数a，b，c满足a2b2c29，则axbycz的最大值为_答案3解析(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)9，axbycz3，当且仅当a3x，b3y，c3z时取“”，axbycz的最大值为3.一、单选题1.（2022宝鸡模拟）已知，则的最小值是（）A4B3C2D1【
15、答案】A【解析】由，可得，所以，则，因为，则，当且仅当即时，取得等号，所以，即的最小值是4， 故答案为：A 2.（2022安徽模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为2，则的最小值为（）A10B12C16D18【答案】D【解析】解：因为， 所以，即，由余弦定理易得，又平分角A，由，得，即，即，当且仅当时等号成立，即的最小值为18故答案为：D3（2022高三下四川）已知为等差数列的前n项和，若，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】设的公差d，由有，解得，所以，则，当且仅当时等号成立故答案为：A4.（2022凉山模拟）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另
16、一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，顶点分别为，的焦点分别为，顶点分别为，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】不妨设，则，当且仅当时等号成立故答案为：A5.（2022湖北模拟）已知实数满足，则的最小值为()A2B1C4D5【答案】A【解析】由得，因式分解得，则，当且仅当时取得最小值故答案为：A6.（2022湛江模拟）若，且，则的最小值为（）A9B3C1D【答案】C【解析】解：因为，所以，因为所以，即，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为1.故答案为：C7.（2022邵阳模拟）函数的最小值
17、为（）A3B2C1D0【答案】D【解析】因为，所以，利用基本不等式可得，当且仅当 即 时等号成立.故答案为：D.8.（2022浙江模拟）已知互不相等的三个正数a，b，c，则在三个值中，大于2的个数的最小值为（）A1B2C3D4【答案】A【解析】因为，等号成立条件，与已知条件矛盾，若都不大于2，则与矛盾，中至少有一个大于2另一方面，若时，只有一个大于2，满足，所以成立，故在三个值中，大于2的个数最小值为1故答案为：A9已知等腰直角三角形的斜边长为4，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】令设中点为，建系，令到距离到距离，设，当且仅当时取等号
18、；设，当且仅当时取等号故答案为：A.10.（2022湖州模拟）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的个数是（） 的最小值是4； 恒成立； 恒成立； 的最大值是 .A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】解：，当且仅当2m=2n+1，即m=n+1，即n=0，m=1等号成立，而n0，故错误；令y=n+sinm-1，因为m0，n0，且m+n=1，所以f(m)=sinm-m，m(0，1)，则f(m)=cosm-10，所以 f(m)在(0，1)上递减，则f(m)f(0)=0，即n+sinm0，n0，且m+n=1，所以，当且仅当m=n=时，等号成立，则log2m + log2n = log2mn log2=
19、-2，故正确；因为 令，n(0.1)，则，n(0.1)，令f(n)=0，解得n=2-(0，1)，n=2+(0，1)，当0n0，当2-n1时，f(n)0， 则在ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=m2+4+2m ， 在ACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcosADC=4m2+4-4m ， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，即BD= . 故答案为： .12（2022齐齐哈尔模拟）已知正实数x，y满足，则的最小值为 【答案】2【解析】根据题意有，令，则，令，则，所以函数在R上单调递减，又因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2。故答案为
20、：2。13（2022郑州模拟）在中，角，所对的边分别为，若，则面积的最小值是 【答案】【解析】由正弦定理得，又，由可知，由正弦定理得，即，由余弦定理得，即，则，即，当且仅当时取等号，则。故答案为：。14.(2022百师联盟联考)已知a0，b0，且a2b2ab，则ab的最小值为_，2ab的最小值为_答案2解析a2b2ab，2ab2，即ab2，当且仅当a2b，即b1，a2时等号成立，故ab的最小值为2.a2b2ab，2，2ab(2ab)(52)，当且仅当，即ab时等号成立，2ab的最小值为.三、解答题15.(2022重庆沙坪坝区模拟)若x0，y0且xyxy，则的最小值为多少？答案32解析因为x0，y0且xyxy，则xyxyy，即有x1，同理y1，由xyxy得，(x1)(y1)1，于是得1233232，当且仅当，即x1，y1时取“”，所以的最小值为32.16设ab0，则a2的最小值是多少？答案4解析ab0，ab0，a(ab)0，a2a2ababa2ababa(ab)ab224，当且仅当即a，b时等号成立a2的最小值是4.