1、专题9 导数大题1一、 典例分析命题角度1利用导数研究函数的单调性问题例1(2021乙卷)已知函数(1)讨论的单调性;(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标命题角度2利用导数研究函数的极值、最值问题例2(2019全国)已知函数(1)当时,求的单调区间;(2)若在区间,的最小值为,求命题角度3利用导数研究函数的方程的根(或函数的零点)例3(2020浙江)已知,函数,其中为自然对数的底数()证明:函数在上有唯一零点;()记为函数在上的零点,证明:();()二、 真题集训1(2020新课标)已知函数(1)若,求的取值范围;(2)设,讨论函数的单调性2(2019江苏)设函数,为的导函数(1)
2、若,(4),求的值;(2)若,且和的零点均在集合,1,中,求的极小值;(3)若,且的极大值为,求证:3(2021浙江)设,为实数,且,函数()求函数的单调区间;()若对任意,函数有两个不同的零点,求的取值范围;()当时,证明:对任意,函数有两个不同的零点,满足(注是自然对数的底数)典例分析答案命题角度1利用导数研究函数的单调性问题例1(2021乙卷)已知函数(1)讨论的单调性;(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标分析:(1)对函数求导,分及讨论导函数与零的关系,进而得出的单调性情况;(2)先设出切点,表示出切线方程,根据切线过原点,可求得切线方程,将切线方程与曲线联立,即可求得公共
3、点坐标解答:解:(1),当,即时,由于的图象是开口向上的抛物线,故此时,则在上单调递增;当,即时,令,解得,令,解得或,令,解得,在,单调递增,在,单调递减;综上,当时,在上单调递增;当时,在单调递增,在单调递减(2)设曲线过坐标原点的切线为,切点为,则切线方程为,将原点代入切线方程有,解得,切线方程为,令,即,解得或,曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和点评:本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想及运算求解能力,属于中档题命题角度2利用导数研究函数的极值、最值问题例2(2019全国)已知函数(1)当时,求的单调区间;(2)若在区间,的最小值为,求分析:(
4、1)将代入中,然后求导,根据导函数的零点判断单调性导函数在各区间上的符合,从而得到单调区间;(2)对求导后,根据导函数的零点分,三类分别求出的最小值,让最小值等于,解出,然后判断是否符合条件即可解答:解:(1)当时,则,令,则,当时,;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;(2),令,则,当时,在,上单调递增,不符合条件;当时,则当时,;当时,在上单调递减,在上单调递增,符合条件;当时,则当时,在上单调递减,不符合条件在区间,的最小值为,的值为点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,考查了分类讨论思想和分类法,属中档题命题角度3利用导数研究函数的方程的根(或函数的零点)例3(2020
5、浙江)已知,函数,其中为自然对数的底数()证明:函数在上有唯一零点;()记为函数在上的零点,证明:();()分析:()推导出时,恒成立,(2),由此能证明函数在上有唯一零点(),从而,进而,令,利用导数性质能证明要证明,只需证明,只需证,由此能证明解答:证明:(),恒成立,在上单调递增,(2),又,函数在上有唯一零点(),令,一方面,在单调递增,另一方面,当时,成立,只需证明当时,当时,当时,(1),(1),在单调递减,综上,要证明,只需证,由得只需证,只需证,只需证,即证,点评:本题考查函数有唯一零点、不等式的证明,导数性质、函数的单调性、最值等基础知识,考查转化思想和运算求解能力,是中档题
6、真题集训答案1(2020新课标)已知函数(1)若,求的取值范围;(2)设,讨论函数的单调性解:(1)等价于设,当时,单调递增,当时,单调递减,在时取得极大值也就是最大值为(1),即则的取值范围为,;(2),令,则,令,解得,令,解得,在上单调递增,在上单调递减(a),即,在和上单调递减2(2019江苏)设函数,为的导函数(1)若,(4),求的值;(2)若,且和的零点均在集合,1,中,求的极小值;(3)若,且的极大值为,求证:解:(1),(4),解得(2),设令,解得,或令,解得,或和的零点均在集合,1,中,若:,则,舍去,则,舍去,则,舍去,则,舍去,则,舍去,则,因此,可得:可得时,函数取得
7、极小值,(1)(3)证明:,令解得:,可得时,取得极大值为,令,可得:,令,函数在上单调递减,函数在上单调递增,3(2021浙江)设,为实数,且,函数()求函数的单调区间;()若对任意,函数有两个不同的零点,求的取值范围;()当时,证明:对任意,函数有两个不同的零点,满足(注是自然对数的底数)解:(),当时,由于,则,故,此时在上单调递增;当时,令,解得,令,解得,此时在单调递减,在单调递增;综上,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;()由()知,要使函数有两个不同的零点,只需即可,对任意均成立,令,则,即,即,即,对任意均成立,记,则,令(b),得,当,即时,易知(b)在,单调递增,在单调递减,此时(b),不合题意;当,即时,易知(b)在,单调递减,此时,故只需,即,则,即;综上,实数的取值范围为,;()证明:当时,令,解得,易知,有两个零点,不妨设为,且,由,可得,要证,即证,即证,而,则,要证,即证,即证,而,即得证