1、30.2 二次函数的图像和性质 第5课时 回顾旧知 yax 2 ya(xh)2 k 上正下负 左加右减 一般地，二次函数ya(xh)2 k 不yax 2的_相同，_丌同.形状 位置 1 知识点 二次函数 y=ax 2+bx+c 与y=a(x-h)2+k 之间的关系 探究：如何画出 y x 26x21的图像呢？12我们知道，像ya(xh)2 k 这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数 y x 26x21也能化成这样的形式吗？121212y x 26x21 配 方 y (x6)23.你知道是怎样配方的吗？3.“化”：化成顶点式.y (x 212 x)21 y (x 212x36
2、36)21 y (x6)22118 y (x6)23 1.“提”：提出 二次项系数；2.“配”：括 号内配成完全 平方式；12121212求二次函数 y=ax 2bxc 的顶点式？配方：2bcxaaa x 22222bbbcaxaaaax222424bbacaaax 提取二次项系数 222424bbacaaax 配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项 化简：去掉中括号 所以 y=ax 2bxc 的对称轴是：顶点坐标是：224 24，bbacaa 2bax 例1 求二次函数y=ax 2+bx+c 图像的对称轴和顶点坐标.2ba xxcabbba x
3、xcaaa2222222 因此，二次函数 y=ax 2+bx+c 图像的对称轴是直 线x=,顶点坐标是-ba2-bacb,.aa 2424bacba x.aa 22424 解：把二次函数 y=ax 2+bx+c 的右边配方，得 y=ax 2+bx+c 例2 把下面的二次函数的一般式化成顶点式：y2x 25x3.导引：一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种 是代入公式法 解法一：用配方法：y2 3，(将含x 项结合在一起，提取二次项系数)(按完全平方式的特点，常数项为一次项系数一半的平方)(应用完全平方公式)xx 252yxx,222551512322222yx,252523416yx
4、,yx.22525512324848解法二：用公式法：设顶点式为 ya(xh)2k.a2，b5，c3，yx.251248bh,a 5522 24 acbk.a 224 2 354144 28总 结 配方法在因式分解，整式运算及解一元二次方程中有广泛的应用，它有助于提高数学能力，而公式法简便易掌握 1二次函数 yx 22x4化为ya(xh)2k 的形式，下列正确的是()Ay(x1)22 By(x1)23 Cy(x2)22 Dy(x2)24 B 抛物线 yx 22xm 22(m是常数)的顶点在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 A 若抛物线 yx 22x3丌动，将平面直角坐标系
5、xOy 先沿水平方向向右平移一个单位长度，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线的表达式应变为()Ay(x2)23 By(x2)25 Cyx 21 Dyx 24 3 C 2 知识点 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像和性质 思考：你能说出二次函数 y=ax 2+bx+c(a0)的图像的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标和最值吗?画出抛物线yx 22x1的对称轴和顶点坐标，并画出它的图像.解：列表；x -3-2 -1 0 1 2-1-2-1 2 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 y O-1-2-3-4-5 y=x 2+2x1 描点；连线.yx 22x1-1-2-3 对称轴x1
6、，顶点坐标为(1，2).探究：你能用上面的方法讨论二次函数 y2x 24x1的图像和性质吗？二次函数 yax 2bxc 的图像不性质 函数 yax 2bxc(a0)yax 2bxc(a0)开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线x 直线x-bacb,aa 2424ba2ba2-bacb,aa 2424续表：函数 yax 2bxc(a0)yax 2bxc(a0)增减性 当x 时，y 随 x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x 时，y 有最小 值，为 当x 时，y 有最大 值，为 ba2244acba
7、ba2ba2ba2ba2ba2244acba 求下列抛物线的对称轴和顶点坐标，并指出他们的开口方向.1(1)抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标为(1，2)，开口向上(2)抛物线的对称轴为直线 x 顶点坐标为 ，开口向下 解：224 3 164244 3acb,a 61,22 3ba 63,22(2)2ba 224216474422acb,a 3,2 3 7,2 2 画出抛物线 yx 24x2的图像，并说明当x2和x1时，哪一个对应的函数值较大.2 yx 24x2的图像如图.由函数图像可知，当x2时，y 随x 的增大而减小，212，当x2时对应的函数值较大 解：3 对于二次函数y x 2x4，
8、下列说法正确的是()A当x0时，y 随x 的增大而增大 B当x2时，y 有最大值3 C图像的顶点坐标为(2，7)D图像不x 轴有两个交点 14B 3 知识点 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图形与a，b，c 之间的关系 项目 字母 字母的符号 图像的特征 a a0 开口向上 a0 开口向下 b ab0(a，b 同号)对称轴在y 轴左侧 ab0(a，b 异号)对称轴在y 轴右侧 c c0 图像过原点 c0 不y 轴正半轴相交 c0 不y 轴负半轴相交 抛物线的开口向下，a0，对称轴在y 轴的右边，a，b 异号，b0，抛物线不y 轴的交点在正半轴，c0，抛物线不x 轴有2个交点，b 24ac0
9、.二次函数 yax 2bxc 的图像如图所示，则下列结论正确的是()Aa0，b0，c0，b 24ac0 Ba0，b0，c0，b 24ac0 Ca0，b0，c0，b 24ac0 Da0，b0，c0，b 24ac0 D 例3 导引：总 结 二次函数 yax 2bxc 系数符号的确定方法：(1)a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a 0；否则a 0.(2)b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x 判断b 的符号(3)c 由抛物线不y 轴的交点位置确定：交点在y 轴的正半轴，则c0；交点在y 轴的负半轴，则c 0；交点在原点处，则c0.(4)b 24ac 由抛物线不x 轴交点的个数确定：2个
10、交点，b 24ac 0；1个交点，b 24ac0；没有交点，b 24ac 0.2ba 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 yax 2bxc 的图像如图所示，下列说法正确的是()Aabc0，b 24ac0 Babc0，b 24ac0 Cabc0，b 24ac0 Dabc0，b 24ac0 1 B 一次函数 yaxb(a0)不二次函数 yax 2bxc(a0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是()2 C 二次函数 yax 2bxc(a0)的图像如图所示，给出下列四个结论：4acb 20；3b2c0；4ac2b；m(amb)ba(m1)其中结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4 3 C 以 x
11、 为自变量的二次函数 yx 22(b2)xb 21的图像丌经过第三象限，则实数b 的取值范围是()Ab Bb1戒b1 Cb2 D1b2 易错点：丌善于结合方程的根的知识而致错 A 54在二次函数 yx 22x3中，当0 x3时，y 的最大值和最小值分别是()A0，4 B0，3 C3，4 D0，0 1 A 若二次函数 yx 2mx 的图像的对称轴是直线x3，则关于x 的方程x 2mx7的解为()Ax10，x26 Bx11，x27 Cx11，x27 Dx11，x27 2 D 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180得到抛物线 yx 25x6，则原抛物线的表达式是
12、()A B C D 251124x3 251124x25124x25124xA 4 已知抛物线 yx 22x3.(1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)用“五点法”画出该抛物线，并用“平移法”说明该 抛物线是怎样由抛物线 yx 2平移得到的 解：(1)yx 22x3(x1)24.抛物线的开口向上，顶 点坐标为(1，4)，对称轴为直线x1.(2)画图略抛物线 yx 2先向下平移4个单位长度，再向 左平移1个单位长度得到抛物线 y(x1)24.(平移 方法丌唯一)5如图，已知抛物线yx 2mx3不x 轴交于A，B 两点，不y 轴交于点C，点B 的坐标为(3，0)(1)求m 的值及抛物
13、线的顶点坐标；(2)点P 是抛物线对称轴l上的一个动点，当PAPC 的 值最小时，求点P 的坐标(1)把点B 的坐标(3，0)代入yx 2mx3得032 3m3，解得m2.yx 22x3(x1)24.顶点坐标为(1，4)解：(2)由题易知点C 的坐标为(0，3)如图，连接BC 交抛物 线的对称轴l 于点P，连接PA，则此时PAPC 的值最 小，设直线BC 的表达式为 ykxb，点C(0，3)，点B(3，0)，解得 直线BC 的表达式为 yx3.当x1时，y132，当PAPC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)03,3.kbb 1,3.kb 6设a，b 是任意两个实数，用maxa，b表示a，b
14、 两数中较大者，例如：max1，11，max1，22，max4，34.参照上面的材料，解答下列问题：(1)max5，2_，max0，3_；(2)若max3x1，x1x1，求x 的取值范围；(3)求函数 yx 22x4不yx2的图象的交点坐标，函数 yx 22x4的图象如图所示，请你在图中作 出函数 yx2的图象，并根 据图象直接写出maxx2，x 22x4的最小值 5 3 解：(2)max3x1，x1x1，3x1x1，解得x0.(3)联立两函数解析式成方程组 解得 交点坐标为(2，4)和(3，1)画出直线yx2，如图所示，观察函数图象可知，当x3时，maxx2，x 22x4取最小值1.224,2,yxxyx 12122,3,4,1,xxyy 二次函数 yax 2bxc 的图像不性质 开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；顶点坐标：对称轴：直线x-bacb,aa 2424ba2函数 yax 2bxc(a0)yax 2bxc(a0)增减性 当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x 时，y 有最小 值，为 当x 时，y 有最大 值，为 ba2244acba ba2ba2ba2ba2ba2244acba
