1、 二次函数的图像与性质 2 第7讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.二次函数 2 ()ya xh 的图像与性质 2.二次函数 2 ()ya xhk 的图像与性质 3.二次函数 2 yaxbxc 的图像与性质 教学目标 1.掌握二次函数的图像与性质 2.掌握二次函数的平移问题 教学重点 能熟练掌握二次函数的图像与性质及二次函数的平移问题 教学难点 能熟练掌握二次函数的图像与性质及二次函数的平移问题 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容在二次函数中占有极其重要的地位，也是中考中的必考内容。在教学中要让学生亲自参 与画图，感受抛
2、物线是怎么样平移的，体会从一般到特殊，从简单到复杂的处理方式，领会数形结合思想， 抓住其中的变与不变。时时处处从以下五个方面去观察函数图象理解函数性质：开口方向和开口大小、对 称轴、顶点坐标、最值、增减性。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 左右平移的口诀。 2. 一般式如何转换成顶点式。 3.利用抛物线的性质去解综合题。 【知识导图】【知识导图】 二次函数的图像与性质 2 二次函数 y=a(x-h)2 的图象与性质 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 概述 教学过程 【教学建议】【教学建议】 二次函数是中考数学中最重
3、要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函 数是方程和不等式的高级形式，也可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在 中考数学试卷中，二次函数试题往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学 中，教师需要帮助学生理清函数图象平移的来龙去脉，以及如何全面把握二次函数的性质。 二次函数 y=a(x-h) 2（a0） a 的符号 a0 a0 图象 h0 h0 h0 h0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，0） 顶点位置 当 h0 时，顶点在 y 轴的左边； 当 h0 时，顶点在 y 轴的右边 对称轴 直线 x=h 增减性 （1）在
4、对称轴的左侧 是下降的， 即 xh 时， y 随 x 的增大而减小； （2）在对称轴的右侧 是上升的， 即 xh 时， y 随 x 的增大而增大 （1）在对称轴的左侧是上升的， 即 xh 时，y 随 x 的增大而增大； （2）在对称轴的右侧是下降的， 即 xh 时，y 随 x 的增大而减小 最值 当 x=-h 时，y最小值=0 当 x=-h 时，y最大值=0 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数的图像与性质 二次函数 y=a(x-h) 2k a 的符号 a0 0 a0 0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h,k） 对称轴 直线 x=h 增减性 （1）在对称轴右侧是上 升的， 即
5、当 xh 时，y 随 x 的增大而增大； （2） 在对称轴左侧是下降 的，即 xh 时，y 随 x 的增大而减小 （1）在对称轴右侧是下降的， 即当 xh 时，y 随 x 的增大而减小；（2）在 对称轴左侧是上升的，即 xh 时，y 随 x 的增大而增大 最值 x=h 时，有最小值 k x=h 时，有最大值 k 函数 y=ax 2+bx+c（a0） a 的符号 a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 知识点 2 二次函数的图像与性质 知识点 3 二次函数的图像与性质 顶点坐标 （ a b 2 ， a bac 4 4 2 ） 对称轴 直线 a b x 2 增减性 （1）在对称轴右侧是上升 的，
6、即当 x a b 2 时，y 随 x 的增大而增大； （2）在对称 轴左侧是下降的，即 x a b 2 时，y 随 x 的增大而减 小 （1）在对称轴右侧是下降的， 即当 x a b 2 时，y 随 x 的增大而减；（2）在对 称轴左侧是上升的，即 x a b 2 时，y 随 x 的增大而增大 最值 当 a b x 2 时，函数取得最 小值， a b y 4 -ac4 2 最小值 当 a b x 2 时 ， 函 数 取 得 最 大 值 ， a b y 4 -ac4 2 最大值 【题干】已知 y=x+1 与 x 轴交于点 A,抛物线 y=2x 2平移后的顶点与 A 点重合， (1)求平移后的抛物
7、线 l 的表达式； (2)若点 B(x1,x2),C(y1,y2)在抛物线 l 上,且 2 1 x1x2,试比较 y1,y2的大小。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)y=x+1 与 x 轴交于点 A，x+1=0，x=1，所以 A(1,0)， 因为抛物线 y=2x 2平移后的顶点与 A 点重合，所以平移后的抛物线 l 的表达式为：y=2(x+1)2； (2) 因为抛物线 l 的表达式 y=2(x+1) 2；所以 a=2，抛物线开口向下，x=1 是对称轴，因为在对称 轴的右侧 y 随 x 的增大而减小， 2 1 x1y2. 三、例题精析 例题 1 【题干】【题干】对于抛物线3) 1(
8、 2 1 2 xy，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线 x=1；顶点 坐标为(1,3)；x1 时，y 随 x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 选项 正误 逐项分析 a= 1 2 1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，y 也随 x 的增大而减小 【题干】【题干】下列二次函数中，图象以直线 x=2 为对称轴，且当 x0 时，y5 的是（ ） A y=x 2+4x+5 B y=x 2-4x+5 C y=-x 2-4x-3 D y=-x 2+4x-3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 A、 y=x 2
9、+4x+5可化为y=(x+2)2+1， 其对称轴x=-2， 故此选项不合题意； B、 y=x2-4x+5可化为y=(x-2)2+1, 其对称轴是 x=2，当 x0 时，y5，故此选项正确；C、y=-x 2-4x-3 可化为 y=-(x+2)2+1,其对称轴是 x=-2， 故此选项不合题意； D、y=-x 2+4x-3 可化为 y=-(x-2)2+1,其对称轴是 x=2，当 x0 时，y5，故此选项不合题意； 例题 2 例题 3 例题 4 【题干】【题干】已知二次函数 y= 2 axbxc的图象如图所示，则下列判断正确的是 （ ） A. 0a B. 0b C. 0c D. 20ab 【答案】【答
10、案】B 【解析】【解析】 选项 正误 逐项分析 A 图象开口向下，所以 a0 B 对称轴 2 b x a 在 y 轴的右侧，所以 0 2 b a ，因为 a0，所以 b0 C 图象与 y 轴的交点在 y 轴正半轴，所以 c0 D 因为 a、b 异号，所以20ab 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数的平移上，先把例题讲解清晰，再给学生做 针对性的练习，注意各个二次函数的图象的平移情况，它们之间是怎么样平移的，总结平移的规律，抓住 抛物线性质的变与不变。 1.对于抛物线 y=2(x+1) 2,下列说法正确的是（ ） A.开口向下 B.顶点坐标（1，0）
11、 C.对称轴 y 轴 D.最小值是 0 【答案】【答案】D 【解析】【解析】因为 a=2，所以抛物线开口向上，故 A 错误；由抛物线 y= =a（x+ +h） 2 2的性质可知，抛物线的顶点为 （-1，0），故 B 错误；对称轴为 x=-1，故 C 错误；有最小值为 0，故 D 正确. 四 、课堂运用 基础 2.将抛物线 y=3x 2向上平移 3 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为（ ） A.y=3(x+1) 2+3； B. y=3(x1) 2+3； C. y=3(x+1) 23； D. y=3(x1) 23 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据平移规律得，
12、抛物线 y=3x 2向上平移 3 个单位长度，得 y=3x2+3，再向左平移 1 个单位长度， 得 y=3(x+1) 2+3。 3.将二次函数 y=x 24x+7 化为 y=a（x+h）2+k 的形式，则 a,h,k 的值为（ ） A.a=1, h=2 , k=3； B. a=1, h=2 , k=3 C. a=1, h=2 , k=3； D. a=1, h=2 , k=3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】利用配方法，把二次函数 y=x 24x+7 转化为 y=a（x+h）2+k 的形式，得 y=(x2)2+3,a=1, h=-2 , k=3. 1.抛物线 y=5(x+1) 2与抛物线 y
13、=5x2的关系，叙述正确的是 ( ) A. 抛物线 y=5x 2向上平移 1 个单位得到抛物线 y=5(x+1)2 B 抛物线 y=5x 2向下平移 1 个单位得到抛物线 y=5(x+1)2 C 抛物线 y=5x 2向左平移 1 个单位得到抛物线 y=5(x+1)2 D 抛物线 y=5x 2向上右平移 1 个单位得到抛物线 y=5(x+1)2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据平移规律：自变量左加右减可知，将抛物线 y=5x 2向左平移 1 个单位得到抛物线 y=5(x+1)2. 2.已知二次函数 2 5 3 2 1 2 xxy （）求对称轴和顶点坐标，并指出抛物线的开口方向 （）确定
14、x 取何值时，该函数可得最大（小）值是多少？ （3）说明此函数图象是由抛物线 2 1 2 yx 怎样平移得到的？ 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】将二次函数 2 5 3 2 1 2 xxy化成顶点式得2) 3( 2 1 2 xy，所以： 巩固 (1)对称轴为 x=-3,顶点坐标（-3,2），开口向下; (2)当 x=-3 时，该函数可得最大值是22) 33( 2 1 2 . (3)根据平移规律“左加右减，上加下减”，所以只需将 2 1 2 yx 先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个 单位即可. 3. 如图是二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）图象的一部分，x=-1 是对称轴，
15、有下列判断：b-2a=0；4a-2b+c 0；a-b+c=-9a；若（-3，y1），（ 2 3 ，y2）是抛物线上两点，则 y1y2， 其中正确的是 . 【答案】【答案】 【解析】【解析】抛物线的对称轴是直线 x=-1， a b 2 =-1，b=2a，b-2a=0，故正确；抛物线的对称轴 与 x 轴的一个交点是（2,0），结合其对称轴可知抛物线与 x 轴的另一个交点为（-4，0），把 x=-2 代入 得：y=4a-2b+c0，故错误；图象过点（2,0），代入抛物线表达式得：4a+2b+c=0，又b=2a， c=-4a-2b=-8a，a-b+c=a-2a-8a=-9a，故正确；根据图象，可知抛物
16、线对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小， 点（-3，y1）关于对称轴的对称点坐标为（1，y1），1 2 3 ，y1y2，故正确；即正确的有. 1.将抛物线 2 axy 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求新抛物 线的函数表达式 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】因为抛物线 2 axy 的顶点坐标为（0,0），向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，所以是 向左平移了 2 个单位，所以此抛物线的表达式为 2 )2( xay ，又因为抛物线经过点（1，3），所以 9a=3, 拔高 即 a= 3 1 ，所以该抛物线的表达式为 2 )2( 3 1 xy
17、。 2.把二次函数 ya(x-h) 2+k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 1) 1( 2 1 2 xy的图象 (1)试确定 a，h，k 的值； (2)指出二次函数 ya(x-h) 2+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 （1） 因为二次函数 ya(x-h) 2+k 的图象经过平移得到二次函数 1) 1( 2 1 2 xy的图象， 所以 a= 2 1 . 因为二次函数 ya(x-h) 2+k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，所以得到的二次函数 y a(x-h+2) 2+k+4，这个二次函数与 1)
18、 1( 2 1 2 xy是一样的.所以 1 5 12 14 h k h k ，解得： （2）根据第一问的结果可知二次函数 ya(x-h) 2+k 为 5) 1( 2 1 2 xy.所以此二次函数的开口向上、对 称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1，-5）. 3.如果二次函数的二次项系数为 1，则此二次函数可表示为 y=x 2+px+q，我们称p，q为此函数的特征数， 如函数 y=x 2+2x+3 的特征数是2，3. （1）若一个函数的特征数为-2，1，求此函数的顶点坐标； （2）探究下列问题： 若一个函数的特征数为4，-1，将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，求得到的
19、图象对应的函数的特征数. 若一个函数的特征数为2，3，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征 数为3,4？ 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）由题意可得出：y=x 2-2x+1=(x-1)2， 此函数图象的顶点坐标为：（1,0）； （2）由题意可得：y=x 2+4x-1=(x+2)2-5， 将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位后得到：y=(x+2-1) 2-5+1=(x+1)2-4=x2+2x-3， 对应的函数的特征数为：2，-3； 一个函数的特征数为2,3， 函数的表达式为：y=x 2+2x+3=(x+1)2+2， 又一个函数的特征
20、数为3,4， 函数表达式为：y=x 2+3x+4=(x+ 2 3 ) 2+ 4 7 ， 原函数的图象向左平移 2 1 个单位，再向下平移 4 1 个单位得到. 1.二次函数 2 ()ya xh 的图像与性质 2.二次函数 2 ()ya xhk 的图像与性质 3.二次函数 2 yaxbxc 的图像与性质 4.它们相互之间是怎样平移得到的？ 1. 下列关于抛物线 2 ) 1( xy的说法错误的是（ ） A. 对称轴是 x=-1 B. 顶点坐标是(-1,0) C 开口向上 D.有最大值 0 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 选项 正误 逐项分析 A 根据函数性质可知，抛物线 2 ) 1( xy的
21、对称轴为 x=-1 B 根据函数性质可知，抛物线 2 ) 1( xy的顶点为(-1,0) C a=1，开口向上 D 开口向上，故有最小值 0 课堂小结 拓展延伸 基础 2. 已知一次函数yaxk的图象过第一、三、四象限，则二次函数 2 (2)ya xk的大致图象正确的 是（ ） A B C D 【答案答案】A 【解析解析】因为一次函数 y=ax+k 的图象过第一、三、四象限，所以 a0，k0，则二次函数中 a0，开口向 上，对称轴为 x=2，-k0，所以顶点在 x 轴的上方. 3. 已 知 ( 2,y1),( 1,y2),(2,y3) 是 二 次 函 数 y=x 2 4x+n 上 的 点 ,
22、则 y1,y2,y3从 小 到 大 的 排 列 是 _。 【答案答案】y3 y2y1 【解析解析】二次函数 y=x 2-4x+m=（x-2）2+n-4，该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x=2点 （-1，y1）、（-2，y2）、（2，y3）都在二次函数 y=x 2-4x+n 的图象上，而三点横坐标离对称轴 x=2 的距离 按由远到近为：（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3），y3 y2”“=”或“”） 【答案答案】= 【解析】抛物线 y=5（x6） 2的对称轴为直线 x=6，因为 A，B 两点的横坐标分别为 2,10，到直线 x=6 的距 离相等，所以 y1=y2。 2.如图所示，
23、已知抛物线 y=x 2+bx+c 的对称轴为 x=2，点 A、B 均在抛物线上，且 ABx 轴，若点 A（0,3）， 则点 B 的坐标为（ ） A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(4，3) 巩固 【答案答案】D 【解析】因为点 A、B 均在抛物线上，且 ABx 轴，所以点 A 与点 B 关于抛物线的对称轴 x=2 对称，又点 A （0,3），所以 AB=4，yB=3，所以点 B 的坐标为（4,3）. 3.已知：二次函数 y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y的对应值如表格所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 x -1 0 1 2 y 0 3
24、4 3 【答案答案】（3,0） 【解析】由列表可知，二次函数图象上点（0,3），（2,3）的纵坐标相同，则对称轴为直线 x=1,与 x 轴 的一个交点坐标为（-1,0），另一个交点坐标为（3,0） 1.已知抛物线 yx 22x3 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，将这条抛物线向右平移 m(m0） 个单位，平移后的抛物线与 x 轴交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的左侧）若 B，C 是线段 AD 的三等分 点，则 m 的值为_. 【答案答案】2 或 8 【解析】抛物线 yx 22x3（x3）(x1)，所以 A 点坐标为（3，0），B 点坐标为（1，0）. 抛物线平移后
25、，当点 C 在 B 点右侧时，由 B，C 是线段 AD 的三等分点，知 m8. 抛物线平移后，当点 C 在 B 点左侧时，由 B，C 是线段 AD 的三等分点，知 m2. 2.已知二次函数 y=（x+2）的图像与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B. （1)求点 A、点 B 的坐标； 拔高 （2）求 SAOB； （3）求对称轴； （4）在对称轴上是否存在一点 P，使以 P、A、O、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 P 点的 坐标；若不存在，请说明理由. 【答案答案】见解析 【解析解析】(1)当 x=0 时 y=4 所以 B（0,4）当 y=0 时 x=-2 所以 A（-2,0）
26、 （2）OA=2 OB=4 SAOB=AOOB（1/2）=4 （3）根据公式x=-(b/2a)得 x=-2 根据解析式得x=-2 （4）APBO，所以只能是 AP=BO,所以 AP=4，所以 P（-2,4）P（-2,-4）. 3.如图,已知二次函数 y=ax 2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1,0）,对称轴为直线 x=1,与 y 轴的交 点 B 在（0,2）和（0,3）之间（包括这两点）,下列结论: 当 x3 时,y0；3a+b0；1a ；4acb 28a； 其中正确的结论是（ ） A B C D 【答案答案】B 【解析解析】 抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为（3,0）,当 x3 时,y0,故正确； 抛物线开口向下,故 a0, x=1,2a+b=0 3a+b=0+a=a0,故正确； 设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x3）,则 y=ax 22ax3a, 令 x=0 得:y=3a 抛物线与 y 轴的交点 B 在（0,2）和（0,3）之间, 23a3 解得:1a ,故正确； 抛物线 y 轴的交点 B 在（0,2）和（0,3）之间, 2c3, 由 4acb 28a 得:4ac8ab2, a0, c2 c20 c2,与 2c3 矛盾,故错误 教学反思
