1、22.2 二次函数与一元二次方程一选择题（共 16 小题）1（2018杭州）四位同学在研究函数 y=x2+bx+c（b，c 是常数）时，甲发现当 x=1 时，函数有最小值；乙发现1 是方程 x2+bx+c=0 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 x=2 时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁2（2018大庆）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0）、点 B（3，0）、点 C（4，y 1），若点 D（x 2，y 2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为4a；若1x 24
2、，则 0y 25a；若 y2y 1，则 x24；一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为1 和其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D43（2018天津）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）经过点（1，0），（0，3），其对称轴在 y 轴右侧有下列结论：抛物线经过点（1，0）；方程 ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根；3a+b3其中，正确结论的个数为（ ）A0 B1 C2 D34（2018莱芜）函数 y=ax2+2ax+m（a0）的图象过点（2，0），则使函数值 y0 成立的 x 的取值范围是（ ）Ax4 或 x2 B4x2 Cx0 或 x2 D0x
3、25（2018陕西）对于抛物线 y=ax2+（2a1）x+a3，当 x=1 时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6（2017广安）如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 B（1，3），与 x 轴的交点 A在点（3，0）和（2，0）之间，以下结论：b 24ac=0；a+b+c0；2ab=0；ca=3其中正确的有（ ）个A1 B2 C3 D47（2017随州）对于二次函数 y=x22mx3，下列结论错误的是（ ）A它的图象与 x 轴有两个交点B方程 x22mx=3 的两根之积为3C它的图象的对称轴在 y 轴的右侧Dxm 时，y 随 x 的
4、增大而减小8（2017恩施州）如图，在平面直角坐标系中 2 条直线为l1：y=3x+3，l 2：y=3x+9，直线 l1交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 l2交 x 轴于点D，过点 B 作 x 轴的平行线交 l2于点 C，点 A、E 关于 y 轴对称，抛物线 y=ax2+bx+c 过E、B、C 三点，下列判断中：ab+c=0；2a+b+c=5；抛物线关于直线 x=1 对称；抛物线过点（b，c）；S 四边形 ABCD=5，其中正确的个数有（ ）A5 B4 C3 D29（2017盘锦）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），顶点坐标（1，n），与 y 轴的交
5、点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：abc0；3a+b0； a1；a+bam 2+bm（m 为任意实数）；一元二次方程 ax2+bx+c=n 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个10（2017枣庄）已知函数 y=ax22ax1（a 是常数，a0），下列结论正确的是（ ）A当 a=1 时，函数图象经过点（1，1）B当 a=2 时，函数图象与 x 轴没有交点C若 a0，函数图象的顶点始终在 x 轴的下方D若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大11（2017徐州）若函数 y=x22x+b 的图象与坐标轴有三个交点，则 b 的取
6、值范围是（ ）Ab1 且 b0 Bb1 C0b1 Db112（2017苏州）若二次函数 y=ax2+1 的图象经过点（2，0），则关于 x 的方程a（x2） 2+1=0 的实数根为（ ）Ax 1=0，x 2=4 Bx 1=2，x 2=6 Cx 1= ，x 2= Dx 1=4，x 2=013（2017朝阳）若函数 y=（m1）x 26x+ m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m的值为（ ）A2 或 3 B2 或3 C1 或2 或 3 D1 或2 或314（2016永州）抛物线 y=x2+2x+m1 与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ）Am2 Bm2 C0m2 Dm215（
7、2016宿迁）若二次函数 y=ax22ax+c 的图象经过点（1，0），则方程ax22ax+c=0 的解为（ ）Ax 1=3，x 2=1 Bx 1=1，x 2=3 Cx 1=1，x 2=3 Dx 1=3，x 2=116（2016贵阳）若 m、n（nm）是关于 x 的一元二次方程 1（xa）（xb）=0 的两个根，且 ba，则 m，n，b，a 的大小关系是（ ）Amabn Bamnb Cbnma Dnbam二填空题（共 8 小题）17（2018自贡）若函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为 18（2018湖州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=
8、ax2+bx（a0）的顶点为 C，与 x 轴的正半轴交于点 A，它的对称轴与抛物线 y=ax2（a0）交于点 B若四边形 ABOC 是正方形，则 b 的值是 19（2018孝感）如图，抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（2，4），B（1，1），则方程 ax2=bx+c 的解是 20（2017乐山）对于函数 y=xn+xm，我们定义 y=nxn1 +mxm1 （m、n 为常数）例如 y=x4+x2，则 y=4x3+2x已知：y= x3+（m1）x 2+m2x（1）若方程 y=0 有两个相等实数根，则 m 的值为 ；（2）若方程 y=m 有两个正数根，则 m 的取值范
9、围为 21（2017青岛）若抛物线 y=x26x+m 与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 22（2017武汉）已知关于 x 的二次函数 y=ax2+（a 21）xa 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为（m，0）若 2m3，则 a 的取值范围是 23（2016大连）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A、B（m+2，0）与 y 轴相交于点 C，点 D 在该抛物线上，坐标为（m，c），则点 A 的坐标是 24（2016荆州）若函数 y=（a1）x 24x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 三解答题（共 8 小题）25（2018乐山）已知关于 x 的一
10、元二次方程 mx2+（15m）x5=0（m0）（1）求证：无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线 y=mx2+（15m）x5=0 与 x 轴交于 A（x 1，0）、B（x 2，0）两点，且|x1x 2|=6，求 m 的值；（3）若 m0，点 P（a，b）与 Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点 P、Q 不重合），求代数式 4a2n 2+8n 的值26（2018云南）已知二次函数 y= x2+bx+c 的图象经过 A（0，3），B（4， ）两点（1）求 b，c 的值（2）二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明
11、情况27（2018杭州）设二次函数 y=ax2+bx（a+b）（a，b 是常数，a0）（1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由（2）若该二次函数图象经过 A（1，4），B（0，1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式（3）若 a+b0，点 P（2，m）（m0）在该二次函数图象上，求证：a028（2017兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为 A（1，4），且与 x轴交于 B、C 两点，点 B 的坐标为（3，0）（1）写出 C 点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围29（2017温州）如图，过抛物线 y
12、= x22x 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y 轴于点 C，已知点 A 的横坐标为2（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；（2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D；连结 BD，求 BD 的最小值；当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式30（2017荆州）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k5）x+1k=0，其中 k 为常数（1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数 y=x2+（k5）x+1k 的图象不经过第三象限，求 k 的取值范围；（3）若原方程的一
13、个根大于 3，另一个根小于 3，求 k 的最大整数值31（2016牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，8）并与 x 轴交于点 A，B 两点，且点 B 坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为点 P，求CPB 的面积注：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（ ， ）32（2016淄博）如图，抛物线 y=ax2+2ax+1 与 x 轴仅有一个公共点 A，经过点 A 的直线交该抛物线于点 B，交 y 轴于点 C，且点 C 是线段 AB 的中点（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线 AB 对应的函数解
14、析式参考答案一选择题（共 16 小题）1B2B3C4A5C6B7C8C9B10D11A12A13C14A15C16D二填空题（共 8 小题）17118219x 1=2，x 2=120 且 21m922 a 或3a223（2，0）241 或 2 或 1三解答题（共 8 小题）25（1）证明：由题意可得：=（15m） 24m（5）=1+25m210m+20m=25m2+10m+1=（5m+1） 20，故无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx 2+（15m）x5=0，解得：x 1= ，x 2=5，由|x 1x 2|=6，得| 5|=6，解得：m=1 或 m= ；（3）解：由（
15、2）得，当 m0 时，m=1，此时抛物线为 y=x24x5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q 关于 x=2 对称， =2，即 2a=4n，4a 2n 2+8n=（4n） 2n 2+8n=1626解：（1）把 A（0，3），B（4， ）分别代入 y= x2+bx+c，得，解得 ；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y= x2+ x+3=（ ） 24（ ）3= 0，所以二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴有公共点 x2+ x+3=0 的解为：x 1=2，x 2=8公共点的坐标是（2，0）或（8，0）27解：（1）由题意=b 24a（a+b）=b 2+4ab+4a2=（2a+b）
16、20二次函数图象与 x 轴的交点的个数有两个或一个（2）当 x=1 时，y=a+b（a+b）=0抛物线不经过点 C把点 A（1，4），B（0，1）分别代入得解得抛物线解析式为 y=3x22x1（3）当 x=2 时m=4a+2b（a+b）=3a+b0a+b0ab0相加得：2a0a028解：（1）顶点为 A（1，4），且与 x 轴交于 B、C 两点，点 B 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（1，0），设抛物线的解析式为 y=a（x3）（x+1），把 A（1，4）代入，可得4=a（13）（1+1），解得 a=1，抛物线的解析式为 y=（x3）（x+1），即 y=x22x3；（2）由图可得，当函数
17、值为正数时，自变量的取值范围是 x1 或 x329解：（1）由题意 A（2，5），对称轴 x= =4，A、B 关于对称轴对称，B（10，5）（2）如图 1 中，由题意点 D 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上，当 O、D、B 共线时，BD 的最小值=OBOD= 5=5 5如图 2 中，图 2当点 D 在对称轴上时，在 RtODE 中，OD=OC=5，OE=4，DE= = =3，点 D 的坐标为（4，3）设 PC=PD=x，在 RtPDK 中，x 2=（4x） 2+22，x= ，P（ ，5），直线 PD 的解析式为 y= x+ 30（1）证明：=（k5） 24（1k）=k 26k+21=（k3
18、） 2+120，无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：二次函数 y=x2+（k5）x+1k 的图象不经过第三象限，二次项系数 a=1，抛物线开口方向向上，=（k3） 2+120，抛物线与 x 轴有两个交点，设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1，x 2，x 1+x2=5k0，x 1x2=1k0，解得 k1，即 k 的取值范围是 k1；（3）解：设方程的两个根分别是 x1，x 2，根据题意，得（x 13）（x 23）0，即 x1x23（x 1+x2）+90，又 x1+x2=5k，x 1x2=1k，代入得，1k3（5k）+90，解得 k 则 k 的最大整数值为 231解：（1
19、）抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，8）与点 B（3，0），解得：抛物线的解析式为：y=x 24x+3（2）y=x 24x+3=（x2） 21，P（2，1）过点 P 作 PHY 轴于点 H，过点 B 作 BMy 轴交直线 PH 于点 M，过点 C 作 CNy 轴叫直线BM 于点 N，如下图所示：SCPB =S 矩形 CHMNS CHP S PMB S CNB=34 24 =3即：CPB 的面积为 332解：（1）抛物线 y=ax2+2ax+1 与 x 轴仅有一个公共点 A，=4a 24a=0，解得 a1=0（舍去），a 2=1，抛物线解析式为 y=x2+2x+1；（2）y=（x+1） 2，顶点 A 的坐标为（1，0），点 C 是线段 AB 的中点，即点 A 与点 B 关于 C 点对称，B 点的横坐标为 1，当 x=1 时，y=x 2+2x+1=1+2+1=4，则 B（1，4），设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，把 A（1，0），B（1，4）代入得 ，解得 ，直线 AB 的解析式为 y=2x+2
