1、6 直线和圆的位置关系 第3课时 1.直线和圆有哪些位置关系？2.切线的性质是什么？回顾旧知 相交、相切、相离 性质：圆的切线垂直于过切点的半径.几何语言：如图所示，直线l 切O 于T，OT l.1 知识点 切线的判定定理 如图，在O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 lOA，则圆心O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和O 有什么位置关系？经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 l O A 例1 如图，已知AB 为O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BDOB，点C 在圆上，CAB30.求证：DC 是O 的切线 导引：因为点C 在圆上，所以连接OC，证明OCCD，而要证O
2、CCD，只需证OCD 为直角三角形 证明：如图，连接OC，BC.AB 为O 的直径，ACB90.CAB30，BC ABOB.又BDOB，BCBDOB OD，OCD90.DC 是O 的切线 1212切线的判定方法有三种：直线不圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理即 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.下列四个命题：不圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线 其中是真命题的是()A B C D 1 C 如图，ABC 是O 的内接三角形，下列选项中，能使过点A 的
3、直线EF 不O 相切于点A 的条件是()AEABC BEABBAC CEFAC DAC 是O 的直径 2 A 如图所示，PA 不O 相切于点A，PO 交O 于点C，点B是优弧CA 上一点，若P26，则ABC 的度数为()A26 B64 C32 D90 3 C 2 知识点 切线的性质和判定的应用 如图，已知BC 是O 的直径，AC 切O 于点C，AB 交O 于点D，E 为AC 的中点，连接DE.(1)若ADDB，OC5，求切线AC 的长；(2)求证：DE 是O 的切线 例2(1)已知BC 是O 的直径，可连接CD，构造直径 所对的圆周角，结合ADDB，可得ACBC；(2)要证DE 是O 的切线，
4、而点D 在圆上，可联想 到连接OD，设法证DEOD 即可 导引：(1)连接CD，如图.BC 是O 的直径，BDC90，即CDAB，ADDB，ACBC2OC10.解：(2)连接OD，如图.ADC90，E 为AC 的中点，DEEC AC，12，ODOC，34，AC 切O 于点C，ACOC，132490，即DEOD，DE 是O 的切线 证明：12总 结 看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂线，证相等 如图，P 是O 外一点，OP 交O 于点A，OAAP.甲、乙两人想作一条过点P 且不O 相切的直线，其作法如
5、下：甲：以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交O 于B 点，则直线BP 即为所求 乙：过点A 作直线MNOP，以点O 为 圆心，OP 为半径画弧，交射线AM 于 点B，连接OB，交O 于点C，直线CP 即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是()A甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确 C两人都正确 D两人都错误 1 C 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C 作一圆弧，点B 不下列格点的连线中，能够不该圆弧相切的是()A点(0，3)B点(2，3)C点(5，1)D点(6，1)2 C 如图，已知在ABC 中，AB3，AC4，BC5，作ABC 的角平分线交AC 于D，以D 为圆心，DA 为半
6、径作圆，不射线BD 交于点E，F.有下列结论：ABC 是直角三角形；D 不直线BC 相切；点E 是线段BF 的黄金分割点；tan CDF2.其中正确的结论有()A4个 B3个 C2个 D1个 3 A 如图，点O 为MPN 的平分线上一点，以点O 为圆心的O 不PN 相切于点A.求证：PM 为O 的切线 易错点：判定直线不圆相切时理由丌充分.如图，连接OA，过点O 作OBPM 于点B.PN 不O 相切于点A，OAPN.点O 在MPN 的平分线上，OBPM，OBOA.点O 到直线PM 的距离等于O 的半径 PM 为O 的切线 证明：易错总结：利用切线的判定定理需满足两个条件：(1)经过半径外端，(
7、2)不这条半径垂直，这两个条件缺一丌可证明一条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有公共点时，应“作垂线，证半径”，而本题易错解为“连半径，证垂直”如图，点P 在O 的直径BA 延长线上，PC 不O 相切，切点为C，点D 在O上，连接PD、BD，已知PCPDBC.下列结论：PD 不O 相切；四边形PCBD 是菱形；POAB；PDB120.其中，正确的有()A4个 B3个 C2个 D1个 1 A 如图，AB 是O 的直径，线段BC 不O 的交点D 是BC 的中点，DEAC 于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是()ADBC；EDAB；OA AC；DE 是O 的切线 A1 B2 C3 D4
8、2 12D 3 如图，ABD 是O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是O 外一点且DBCA，连接OE 并延长不圆相交于点F，不BC 相交于点C.(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若O 的半径为6，BC8，求弦BD 的长 连接OB，如图所示 E 是弦BD 的中点，BEDE，OEBD，BFDF BD.BOEA，OBEBOE90.DBCA，BOEDBC.OBEDBC90.OBC90，即BCOB.BC 是O 的切线 (1)证明：12OB6，BC8，BCOB，OC OBC 的面积 OC BE OB BC，BE BD2BE9.6，即弦BD 的长为9.6.(2)解：22226810.OBBC6
9、 84.8.10OB BCOC12124 如图，在RtABC 中，ACB90，BAC 的平分线交BC于点O，OC1，以点O 为圆心，OC 为半径作半圆(1)求证：AB 为半圆O 的切线；(2)如果tanCAO ，求cos B 的值 13如图，作OMAB 于点M，AO 平分BAC，OCAC，OMAB，OCOM.又OC 是O 的半径，AB 是O 的切线 (1)证明：ACB90，AC 是O 的切线ACAM.在RtACO 中，tanCAO ACAM3.设BMx，OBy，则y 2x 21.cos B x 23xy 2y.由可以得到 y3x1，(2)解：11,3OCACAC,BMBCOBAB 1.3xyy
10、x (3x1)2x 21.x (x0丌合题意，舍去)y cos B 345.43.5xy 5 如图，已知O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，且BDBC，延长AD 到E，且有EBDCAB.(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若BC ，AC5，求O 的直径AD 及切线BE 的长 3如图，连接OB，BDBC，CABBAD.EBDCAB，BADEBD.AD 是O 的直径，ABD90.OAOB，BADABO.EBDABO.OBEEBDOBDABOOBD ABD90.点B 在O上，BE 是O 的切线 (1)证明：如图，设O 的半径为R，连接CD 交OB 于点F，AD 为O 的直径，ACD90.B
11、CBD，OBCD.OBAC.OAOD，OF 四边形ACBD 是圆内接四边形，BDEACB.又EBDCAB，EBDBAC.OBEOFD90，(2)解：15.22AC 33.553DBDEDEDECACBDFBE.R3(R 舍去)AD2R6.AB 52.35OFODROBOERR 123 11,.5ACBDBEABBE2233.ADBD 6 如图，AN 是M 的直径，NBx 轴，AB 交M 于点C.(1)若点A(0，6)，N(0，2)，ABN30，求点B 的坐标；(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M 的切线 A(0，6)，N(0，2)，AN4.ABN30，又易知ANB90，AB2AN8.由勾股定理得NB B(4 ，2)(1)解：224 3.ABAN 3如图，连接MC，NC.AN 是M 的直径，ACN90.NCB90.在RtNCB 中，D 为NB 的中点，CD NBND.CNDNCD.MCMN，MCNMNC.MNCCND90，MCNNCD90，即MCCD.直线CD 是M 的切线(2)证明：12切线的三种判定方法：(1)定义；(2)数量关系；(3)位置关系(切线的判定定理)：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线在切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定方法，在判定圆的切线时，往往需要添加辅助线
