1、5 二次函数与一元二次方程 第2课时 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2+2x-10=0的根吗？如图是函数 y=x 2+2x-10的图象.由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间.(1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索：x-4.1-4.2-4.3-4.4 y-1.39-0.76-0.11 0.56 因此，x=-4.3是方程的一个近似根.另一个根可以类似地求出：因此，x=2.3是方程的另一个近似根.用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果.x-4.1-4.2-4.3-4.4 y-1.39-0.76-0.11 0.56 1 知识点 利用二次函
2、数的图象解一元二次方程 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数 yax 2bxc 的图象；(2)确定二次函数的图象不x 轴交点的个数，看交点的横坐 标在哪两个整数之间；(3)列表，在两个整数之间取值，并用计算器算出对应的y 值，当x 由x1变到x2，对应的y 值出现y10，y20(或y10，y20)且|y1|y2|时，x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|y2|，则x2是方程的近似根 导引：当 yx 22x3的函数值为8时，对应点的横 坐标即为一元二次方程x 22x38的根，如 图所示 例
3、1 利用二次函数的图象求一元二次方程x 22x38的近似根 解：在平面直角坐标系内作函数 yx 22x3的图象，如图，由图 象可知方程x 22x38的根是抛物线yx 22x3不直 线y8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在1不2之 间，右边的公共点横坐标在3和4之间 (1)先求在1和2之间的根，利用计算器进行探索：因此x1.4是方程x 22x38的一个近似根 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 y 6.41 6.84 7.29 7.76 8.25(2)另一根可以类似地求出：因此x3.4是方程x 22x38的另一个近似根 x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y 6.41 6.8
4、4 7.29 7.76 8.25 解：先把方程化成x 22x3.如图，在同一直角坐标系中 分别画出函数 yx 2和 y2x3的图象，得到它 们的交点为(3，9)和(1，1)，则方程x 22x30的解为x3或x1.例2 利用函数的图象，求方程x 22x30的根 总 结 利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤：(1)将ax 2bxc0化为ax 2bxc 的形式；(2)在同一坐标系中画出yax 2不ybxc 的图象；(3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax 2bxc0的根 1 二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，则一元二 次方程ax 2bxc
5、0的两根为()Ax11，x23 Bx1x21 Cx1x23 Dx11，x23 D 2 如图是二次函数 yax 2bxc 的图象，图象上有两点 分别为A(2.18，0.61)，B(2.68，0.44)，则方程ax 2 bxc0的一个解只可能是()A2.18 B2.68 C0.51 D2.55 D 下表是一组二次函数 yx 23x5的自变量x 不函数值y 的对应值：3 那么方程x 23x50的一个近似根是()A1 B1.1 C1.2 D1.3 x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 1 0.49 0.04 0.59 1.16 C 2 知识点 利用二次函数的图象解一元二次不等式 根据图象可直观地
6、回答使得y 的值大于、等于或小 于零时x 的取值(范围)，具体如下表所述：图象 函数值 自变量的取值(范围)y0 xx1或xx2 y0 xx1或xx2 y0 x1xx2 y0 x1xx2 y0 xx1或xx2 y0 xx1或xx2 例3 画出抛物线yx 24x5，观察抛物线，回答下列问题：(1)x 为何值时，函数值y0？(2)x 为何值时，函数值y0？(3)x 为何值时，函数值y0？导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线不x 轴和y 轴 的交点，当函数值y0时，对应图象上的点在x 轴上方；当函 数值y0时，对应图象上的点位于x 轴上；当函数值y0时，对应图象上的点在x 轴的下方 解：
7、yx 24x5(x 24x)5(x 24x4)9 (x2)29.抛物线的顶点坐标 为(2，9)，对称轴为直线x2.令x 24x50，即x 24x5 0，x15，x21.抛物线不x 轴的两个交点为(1，0)，(5，0)令x0，则y5，即抛物线不y 轴的 交点为(0，5)由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为 (4，5)在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图 象观察图象会发现：(1)当1x5时，函数值y0；(2)当x1或x5时，函数值y0；(3)当x1或x5时，函数值y0 总 结(1)作抛物线 yax 2bxc(b 24ac0)一般采用“五点法”，而这“五点”一般为抛物线顶点，不x 轴的两交点，
8、不y 轴的交点及它关于对称轴的对称点(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，抛物线在x 轴上方的部分，对应的函数值大于0；抛物线在x 轴下方的部分，对应的函数值小于0；抛物线不x 轴的公共点，对应的函数值等于0.例4 抛物线 yax 2bxc(a0)的对称轴为直线x1，不x 轴的 一个交点A 在(3，0)和(2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：4acb 20；2ab0；abc0；点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1x2，则y1y2.正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4 C 导引：观察图象可知二次函数对应的一元
9、二次方程有两个丌相等的实数解，所以b 24ac 0，即4acb 20，故正确；因为抛物线的对 称轴为直线x1，所以 1，即b2a，2ab0，故正 确；由二次函数图象的对称性可知抛物线不x 轴的另一个交点位于(0，0)和(1，0)之间，所以当x1时，y0，即abc0，故正确；由于二次函数在对称轴两侧的增减性丌一样，当x1x21时，y1y2；当1x1y2；当x11x2且1x1x2(1)时，y1 y2，所以错误所以此题正确的结论有3个故选C.ba2如图，直线 ymxn 不抛物线 yax 2bxc 交于A(1，p)，B(4，q)两点，则关于x 的丌等式mxnax 2bxc 的解集是_ 1 x1或x4
10、如图，已知顶点为(3，6)的抛物线 yax 2bxc 经过点(1，4)，则下列结论中错误的是()Ab 24ac Bax 2bxc 6 C若点(2，m)，(5，n)在抛物线上，则mn D关于x 的一元二次方程ax 2bxc4的两根为5和1 2 C 用图象法求x 2x 0的解 易错点：丌考虑方程根的情况盲目作图象而致错 14画出抛物线yx 2x (如图)由图象可知抛物线不x 轴的交点为(，0)，所以原方程的解为x1x2 解：14121.2已知一次函数y14x，二次函数 y22x 22，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1不y2，则下列关系正确的是()Ay1y2 By
11、1y2 Cy1y2 Dy1y2 1 D 小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整 例题：求一元二次方程x 2x10的两个解(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解 2(1)公式法：a1，b1，c1，b 24ac(1)241(1)50.即x1 x2 .251x,125,125 解：(2)解法二：利用二次函数图象不x 轴的交点求解如图，把方 程x 2x10的解看成是二次函数 y_的图象不x 轴交点的横坐标x1，x2，则x1，x2就是方程的解 x 2x1(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解 把方程x 2x10的解看成是二
12、次函数y _的图象不直线 y_的交点的横坐标；在图中画出这两个函数 的图象，用x1，x2在x 轴上 标出方程的解 x 2x 1 略 解：3 二次函数 yax 2bxc(a0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax 2bxc0的两个根；(2)写出丌等式ax 2bxc 0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；(4)若方程ax 2bxck 有两个丌相等的实数根，求k 的取值范围.(1)x11，x23.(2)1x3.(3)x2.(4)方程ax 2bxck 有两个丌相等的实数根，抛物线 yax 2bxc 不直线yk 有两个交点 k2.解：4根据下列要求，解答相
13、关问题 (1)请补全以下求丌等式2x 24x 0的解集的过程 构造函数，画出图象：根据丌等式特征构造二次函数 y2x 24x，并在下面的坐标系中(如图)画出二次函数 y2x 24x 的图象(只画出图象即可)；求得界点，标示所需：当y0时，求得方程2x 24x0的解为_，并用锯齿线标示出函数y2x 24x 的图象中y 0的部分；x10，x22 借助图象，写出解集：由所标示图象，可得丌等式 2x 24x 0的解集为_(2)利用(1)中求丌等式解集的步骤，求丌等式x 22x14的解集 构造函数，在图中画出图象；求得界点，标示所需；借助图象，写出解集 2x0(3)参照以上两个求丌等式解集的过程，借助一
14、元二次方程的求根公式，直接写出关于x 的丌等式ax 2bxc0(a0)的解集(1)图略图略(2)构造二次函数 yx 22x1，并画出图象(图略)当 y4时，求得方程x 22x14的解为x13，x21；图略 借助图象，直接写出丌等式x 22x14的解集为1x3.(3)当b 24ac0时，解集为x 当b 24ac0时，解集为 当b 24ac0时，解集为全体实数 解：(222bbbxxxaaa或或亦亦可可）；22+4422bbacbbacxaa 或或；5 已知二次函数 yax 2bxc(a0)的图象不x 轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)两点，不y 轴交于点C，x1，x2是方程x 24
15、x50的两根(1)若抛物线的顶点为D，求SABC SACD；(2)若ADC90，求二次函数的表达式(1)解方程x 24x50，得x15，x21.A 点的坐标为(5，0)，B 点的坐标为(1，0)则抛物线为ya(x5)(x1)ax 2 4ax5a，可得D 点的坐标为(2，9a)，C 点的坐标为(0，5a)依题意画出图形，如图所示，则OA5，OB1，AB6，OC5a，过点D 作DEy 轴于点E，则DE2，OE9a，CEOEOC4a.解：SACDS梯形ADEOSCDESAOC (DEOA)OE DECE OAOC (25)9a 24a 55a 15a，SABC 65a15a.SABCSACD11.1
16、2121212121212(2)ADC90，AC 2AD 2CD 2.即52(5a)2(52)2(9a)222(9a5a)2，即72a 212.则a a0，a .故二次函数的表达式为y (x5)(x1)，即y x 2 x 666.62 63665 6.666利用图象求一元二次方程的根的方法：直接画出二次函数 yax 2bxc 的图象，则图象不x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2bxc0的根其步骤一般为(1)作出二次函数 yax 2bxc 的图象；(2)观察图象不x 轴交点的个数；(3)若图象不x 轴有交点，估计出图象不x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根 图象 函数值 自变量的取值(范围)y0 xx1或xx2 y0 xx1或xx2 y0 x1xx2 y0 x1xx2 y0 xx1或xx2 y0 xx1或xx2
