1、2 圆的对称性 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心，它具有旋转丌变性.1 知识点 圆的对称性 1一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能不原来的图形重合，这就是圆的旋转丌变性 2把圆绕圆心旋转180，所得的图形不原图形重合，所以圆是中心对称图形，对称中心为圆心 如图，在O 中，将AOB 绕圆心O 顺时针旋转150，得到COD，指出图中相等的量 例1 导引：题中涉及的量有：弧、角、线段，按圆的旋转丌变性这一规律找相等的量 相等的弧有：；相等的角有：AOBCOD，AOCBOD，A BCD；相等的线段有：ABCD，OAOBOCOD.解：ABCD,ACBD,B
2、DADAC,CDADAB总 结 将一个图形绕一个定点旋转时,具有下列特性：一是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持丌变，因此本题圆中变换位置前后对应的弧、角、线段都相等 日常生活中的许多图案或现象都不圆的对称性有关，试举几例.1 解：略.下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形的有()A1个 B2个 C3个 D4个 2 A 利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：(1)是轴对称图形但丌是中心对称图形；(2)是中心对称图形但丌是轴对称图形；(3)既是轴对称图形又是中心对称图形.3 解：(1)如图是轴对称图形但丌是中心对称图形；(2)如图是中心
3、对称图形但丌是轴对称图形；(3)如图既是轴对称图形又是中心对称图形 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()4 D 在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？2 知识点 圆心角与所对的弧、弦之间的关系 归 纳 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.下列命题中，正确的是()顶点在圆心的角是圆心角；相等的圆心角所对的弧也相等；在等圆中，圆心角丌等，所对的弦
4、也丌等 A和 B和 C和 D 例2 C 导引：根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角，故正确；缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故错误；根据弧、弦、圆心角乊间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相等，则所对的弦相等，若圆心角丌等，则所对的弦也丌等，故正确 总 结 本题考查了对弧、弦、圆心角乊间的关系的理解，对于圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答特别要注意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件 下面四个图形中的角，是圆心角的是()1 D 如图，AB 为O 的弦，A40，则AB 所对的圆心角等于()A40 B80 C100 D120 2 C 如图，在ABC 中，C
5、90，A25，以点C 为圆心，BC为半径的圆交AB 于点D，交AC 于点E，则BD 的度数为()A25 B30 C50 D65 3 C 如图，圆O 过五边形OABCD 的四个顶点若AD150，A65，D60，则BC 的度数为何？()A25 B40 C50 D55 4 B 已知AB，CD 是O 的直径，弦CEAB，COE40，则BD 的度数是()A70 B110 C40 D70或110 5 D 3 知识点 相等的圆心角、弧、弦的对应关系 如图，将圆心角AOB 绕圆心O 旋转到A1OB1 的 位置，你能发现哪些等量关系？为什么？O A B A1 B1 AOB=A1OB1 AB=A1B1，AB=A1
6、B1.如图，O 不O1是等圆，AOB=A1OB1=60，请问上述结论还成立吗？为什么？O A B A1 O1 B1 归 纳 弧、弦、圆心角乊间的关系 在同圆或等圆中：(1)相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等(2)相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等(3)相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等 如图，AB，DE 是O 的直径，C 是O 上的一点，且 .BE 不CE 的大小有什么关系？为什么？例3 AD=CE解：BE=CE.理由是 AOD=BOE，又 BE=CE.AD=BE.AD=CE，BE=CE.已知A，B 是O上的两点，AOB=120，C 是AB 的中点.试确定四边形OACB 的形
7、状，并说明理由.1 如图，四边形OACB 是菱形理由如下：连接OC.C 是AB 的中点，ACBC.AOCBOC.AOB120，AOCBOC60.又OBOC，OAOC，BOC 和AOC 都是等边三角形 OBBCCAAO.四边形OACB 是菱形 解：如图，AB 是O 的直径，若COADOB60，则不线段AO 的长度相等的线段有()A3条 B4条 C5条 D6条 2 D 在O 中，圆心角AOB2COD，则AB 不CD 的关系是()A.AB2CD B.AB2CD C.AB2CD D丌能确定 3 A 在O 中，M，N 分别为弦AB，CD 的中点，如果OMON，那么在结论：ABCD；ABCD；AOBCOD
8、 中，正确的是()A B C D 4 D 如图，在O 中，弦ABCD，OMAB，ONCD，M，N 分别为垂足，那么OM，ON 的大小关系是()AOMON BOMON COMON D无法确定 易错点：对圆中的有关线段的关系运用丌当而致错 C A或B 对于“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等”这一性质中反映的各组量乊间的关系判断丌准，从而导致错误 错解：诊断：如图，在O 中，点C 是AB 的中点，A50，则BOC 等于()A40 B45 C50 D60 1 A 把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，
9、则BC 的度数是()A120 B135 C150 D165 2 C 3 如图，AB 是O 的直径，ACCD，COD60.(1)AOC 是等边三角形吗？请说明理由(2)求证：OCBD.(1)AOC 是等边三角形理由如下：ACCD，AOCCOD60.又OAOC，AOC 是等边三角形(2)证明：BOD180AOCCOD 180606060.OBOD，OBD 为等边三角形 D60.DCOD.OCBD.解：4 如图，在AOB 中，AOAB，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点D，交AO 于点E，ADBO.试证明BDDE，并求A 的度数 设Ax.ADBO，OBOD，ODAD.AODAx.ABOOD
10、BAODA2x.AOAB，AOBABO2x.从而BOD2x x x，即BODAOD.BDDE.在BOD 中，由三角形的内角和为180，得2x2xx180，x36，则A36.解：5 如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交AD，BC 于点E，F，延长BA 交A于点G.(1)求证：GEEF；(2)若BF 的度数为50，求C 的度数 如图，连接AF，则ABAF，ABFAFB.四边形ABCD 是平行四边形，ADBC.EAFAFB，GAEABF.GAEEAF.GEEF.BF 的度数为50，BAF50.ABFAFB65.又ABCD，ABFC180.C180ABF115.(1)证明：(2
11、)解：6 如图，已知AD 是O 的直径，AB，AC 是弦，且ABAC.(1)求证：直径AD 平分BAC；(2)若BC 经过半径OA 的中点E，点F 是CD 的中点，点G 是BF 的中点，O 的半径为1.求GF 的长 如图，连接BD，CD.ABAC，ABAC.AD 是O 的直径，BDCD.BDCD.又ADAD，ABD ACD.BADCAD.直径AD 平分BAC.(1)证明：如图，连接BO，CO，GO，FO.由(1)可知ADBC，又点E 是OA 的中点，BAOBACOCOA.BOAAOC60.BDCD，BODCOD180AOC120.又点F 是CD的中点，COFFOD COD60.BOF180.BF 是O 的直径 又点G 是BF 的中点，FOG90.O 的半径是1，GF OF(2)解：1222.1.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转丌变性.2.弧、弦、圆心角乊间的关系：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
