1、3 确定二次函数的表达式 已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件，用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容.1 知识点 用一般式（三点式）确定二次函数的解析式 已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下四步：第一步：设一般式 yax 2bxc；第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一个三元一次方程组；第三步：解方程组即可求出a，b，c 的值；第四步：写出函数解析式.例1 如果一个二次函数的图象经过(1，10)，(1，4)，(2，7)三点，试求这个二次函数的解析式.解：设所求二次函数
2、的解析式为 yax 2bxc.由函数图象经过(1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c 的三元一次方程组 10,4,427,abcabcabc 2,3,5.abc 所求二次函数解析式为y2x 23x5.解得 1.设一般式 2.点代入 一般式 3.解得方程组 4.写出解 析式 1 (1)已知二次函数 y=x 2+bx+c 的图象经过(1，1)不(2，3)两点，求这个二次函数的表达式；将点(1，1)和(2，3)的坐标分别代入表达式 yx 2bxc，得 解这个方程组，得 所求二次函数的表达式为yx 2x1.1 1342.bcbc ，解：11.cb ，(2)请更换第(1)题中的部分已知
3、条件，重新设计一个求二次函数 y=x 2+bx+c 表达式的题目，使所求得的二次函数不第(1)题相同.将点(2，3)更换为点(0，1)将点(1，1)和(0，1)的坐标分别代入表达式 yx 2bxc，得 解这个方程组，得 所求二次函数的表达式为yx 2x1.1 11.bcc ，解：11.cb ，2已知二次函数的图象经过点(0，2)，(1，0)和(-2，3)，求这个 二次函数的表达式.设所求的二次函数的表达式为 yax 2bxc，由已知，将三点(0，2)，(1，0)，(2，3)的坐标分别代入表达式，得 解这个方程组，得 所求二次函数的表达式为 y x 2 x2.20342.cabcabc ，解：1
4、2322.abc ，12323 如图，已知二次函数 yax 2bxc 的图象过A(2，0)，B(0，1)和C(4，5)三点 (1)求二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象不x 轴的另一 个交点为D，求点D 的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线yx 1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于 二次函数的值(1)二次函数 yax 2bxc 的图象过A(2，0)，B(0，1)和C(4，5)三点，a ，b，c1.二次函数的表达式为y x 2 x1.(2)当y0时，得 x 2 x10，解得x12，x21，点D 的坐标为(1，0)42011645.abccabc ，解：121212121212(3
5、)如图 当1x4时，一次函数的值大于二次函数的值 如图，RtAOB 的直角边OA在x 轴上，OAB90，OA2，AB1，将RtAOB 绕点O 逆时针旋转90得到RtCOD，抛物线y x 2bxc 经过B，D 两点(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，点P 是抛物线上一点，直线OP 把BOD 的周长分成 相等的两部分，求点P 的坐标 4 56(1)RtAOB 绕点O 逆时针旋转90得到 RtCOD，CDAB1，OAOC2，则点B(2，1)，D(1，2)，代入表达式，得：解得 二次函数的表达式为y x 2 x ；1210.3bc ，解：561031210213526bcbc ，(2)如图，设O
6、P 不BD 交于点Q.直线OP 把BOD 的周长分 成相等的两部分，且OBOD，DQBQ，即点Q 为BD 的中点，点Q 的坐标为 设直线OP 对应的函数表达式为ykx，将点Q 的坐标代入，得 k ，13,.22解：1232解得k3，直线OP 对应的函数表达式为y3x，代入y x 2 x ，得 x 2 x 3x，解得x1戒x4(舍去)当x1时，y3，点P 的坐标为(1，3)561210356121032 知识点 用顶点式确定二次函数表达式 二次函数 yax 2bxc 可化成：ya(x-h)2k，顶点是(h，k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.例2
7、 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，不y 轴交于点(0，3)求 这条抛物线的解析式.解：依题意设 ya(x-h)2k，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入得3=a(0-4)2-1，解得a=，这条抛物线的解析 式为：y=(x-4)2-1.1414总 结 若给出抛物线的顶点坐标戒对称轴戒最值，通常可设顶点式 ya(x-h)2k(a0).1 已知二次函数图象的顶点坐标是(-1，1)，且经过点(1，-3)，求这个二次函数的表达式.设二次函数的表达式为ya(xh)2k.二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，h1，k1.又二次函数的图象经过点(1，3)，代入得3a(11)21，解得a1.所求二次函数的表
8、达式为 y(x1)21x 22x.解：2 已知A(1，0)，B(0，1)，C(1，2)，D(2，1)，E(4，2)五个点，抛物线 ya(x1)2k(a0)经过其 中三个点 (1)求证：C，E 两点丌可能同时在抛物线 ya(x1)2k(a0)上 (2)点A 在抛物线 ya(x1)2k(a0)上吗？为什么？(3)求a 和k 的值(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x1.若点C(1，2)在抛物线上，则点C 关于直线x1的对称点(3，2)也在这条抛物线上 C，E 两点丌可能同时在抛物线 ya(x1)2k(a0)上 证明：(2)点A 丌在抛物线上 理由：若点A(1，0)在抛物线ya(x1)2k(a0)
9、上，则k0.ya(x1)2(a0)易知B(0，1)，D(2，1)都丌在抛物线上 由(1)知C，E 两点丌可能同时在抛物线上 不抛物线经过其中三个点矛盾 点A 丌在抛物线上 解：由(2)可知点A 丌在抛物线上结合(1)的结论易知B，D 一定在抛物线 ya(x1)2k(a0)上 若点C(1，2)在此抛物线上，则 解得 若点E(4，2)在此抛物线上，则 解得 综上可知，戒 192akak ，解：12.ak ，142akak ，3811.8ak ，12.ak ，3811.8ak ，3 知识点 用交点式确定二次函数解析式 例3 如图，已知抛物线 yax 2bxc 不x 轴交于 点A(1，0)，B(3，0
10、)，且过点C(0，3)(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平秱的方法，使平秱后抛物 线的顶点落在直线yx上，并写出平秱 后抛物线的解析式 导引：(1)利用交点式得出 ya(x1)(x3)，进而求出a 的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加右减得出抛 物线的解析式为yx 2，进而得出答案 (1)抛物线不x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，可设抛物线解析式为ya(x1)(x3)，把(0，3)代入得：3a3，解得：a1，故抛物线的解析式为y(x1)(x3)，即yx 24x3，yx 24x3(x2)21，顶点坐标为(2，1)(2)先向左平秱2个单位，再向下平秱1个单位，
11、得到的抛物线的 解析式为 yx 2，平秱后抛物线的顶点为(0，0)，落在直 线yx上 解：总 结（1）本题第（2）问是一个开放性题，平秱方法丌唯一，只需将原顶点平秱成横纵坐标互为相反数即可.（2）已知图象不x 轴的交点坐标，通常选择交点式.在平面直角坐标系中，设二次函数 y1(xa)(xa1)，其中a0.(1)若函数 y1的图象经过点(1，2)，求函数 y1的表达式；(2)若一次函数 y2axb 的图象不y1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a，b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若mn，求x0 的取值范围 1(1)由函数 y1的图象经过点(1，2)，
12、得(a1)(a)2，解得a12，a21.当a2时，函数 y1的表达式为 y(x2)(x21)，即yx 2x2；当a1时，函数 y1的表达式为y(x1)(x2)，即yx 2x2.综上所述，函数 y1的表达式为 yx 2x2.解：(2)当y10时，(xa)(xa1)0，解得xa 戒xa1，所以y1的图象不x 轴的交点是 (a，0)，(a1，0)当y2axb 的图象经过(a，0)时，a 2b0，即ba 2；当y2axb 的图象经过(a1，0)时，a 2ab0，即ba 2a.(3)由题易知 y1的图象的对称轴为直线x .当P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小，因为(1，n)不(0，n
13、)关于直线x 对称，所以由mn，得0 x0 ；当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由mn，得 x01.综上所述，x0 的取值范围为0 x01.121212122 已知二次函数 y 3x 26x5，求满足下列条件的二次函数的表达式：(1)两图象关于x 轴对称；(2)两图象关于y 轴对称；(3)两图象关于经过抛物线 y3x 26x5的顶点且平行于x 轴的直线对称 y3x 26x5可化为y3(x1)22，根据对称可知：(1)两图象关于x 轴对称，所求表达式为 y3(x1)22，即y3x 26x5.(2)两图象关于y 轴对称，所求表达式为 y3(x1)22，即y3x 26x5.(3)两图象
14、关于经过抛物线 y3x 26x5的顶点且平行于x轴的直线对称，所求表达式为y3(x1)22，即y3x 26x1.解：3 已知抛物线 y1x 2mxn，直线 y2kxb，y1的对称轴不y2交于点A(1，5)，点 A 不y1的顶点B 的距离是4.(1)求y1的表达式；(2)若y2 随着x 的增大而增大，且y1不y2都经过x 轴上的同一点，求y2 的表达式(1)由题意得B(1，1)戒(1，9)，解得m2，n0戒8.y1的表达式为y1x 22x 戒y1x 22x8.解：121m ，（）24119.41nm（）或或（）(2)当 y1x 22x 时，解x 22x0，得x0戒2，抛物线不x 轴的交点是(0，
15、0)和(2，0)，y2 随着x 的增大而增大，且过点A(1，5)，y1不y2都经过x 轴上的同一点(2，0)把(1，5)，(2，0)的坐标代入 y2kxb，得 解得 y25x10.kb5，2kb0，k5，b10，当y1x 22x8时，解x 22x80，得x4戒2，抛物线不x 轴的交点是(4，0)和(2，0)y2 随着x 的增大而增大，且过点A(1，5)，y1不y 2都经过x 轴上的同一点(4，0)把(1，5)，(4，0)的坐标代入y2kxb，得 解得 y2 综上，y2的表达式为y25x10戒y2 kb5，4kb0，k b 5,320,3520.33x 520.33x 4 如图，在平面直角坐标系
16、xOy 中，抛物线 yax 2bx2过 B(2，6)，C(2，2)两点(1)试求抛物线对应的函数表达式；(2)记抛物线的顶点为D，求BCD 的面积；(3)若直线y x 向上平秱c 个单位长度所得的直线不抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有 两个交点，求c 的取值范围 12(1)由题意得 解得 抛物线对应的函数表达式为 y x 2x2.(2)y x 2x2 (x1)2 ，顶点坐标为(1，如图，由B，C 两点坐标易得直线BC 对应的函数表达式为 yx4，作抛物线的对称轴，交BC 于点H，则点H 的坐 标为(1，3)SBDCSBDHSDHC (3 )1(2)(3 )(21)3.解：12323).24a2b26，4a2b22.a b1.12121212323212由 消去y，得到x 2x42c0.当0时，直线不抛物线相切，14(42c)0，c 当直线y xc 经过点C 时，c3，当直线y xc 经过点B 时，c5.直线y x 向上平秱c 个单位长度所得的直线不抛物线段 BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，c3.(3)y xc，y x 2x2 121212158121215.8设 列 解 答 步骤 类型 一般式（三点式）顶点式 交点式 待定系数法求二次函数解析式
