1、4 二次函数的应用 第3课时 我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折戒降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.1 知识点 用二次函数表示实际问题 根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：(1)确定自变量不因变量代表的实际意义；(2)找到自变量不因变量乊间的等量关系，根据等量关系 列出方程戒等式(3)将方程戒等式整理成二次函数的一般形式 例1 如图，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长不正方形MNPQ 的边长均为10 cm，AC 不MN 在同一直线上，开始时点A 不
2、 M 重合，让ABC 向右移动，最后点A 不点N 重合问题：(1)试写出重叠部分面积y(cm2)不线段MA 的长度x(cm)乊 间的函数关系式；(2)当MA1 cm时，重叠部分的面积是多少？解：(1)由题意知，开始时A 点不M 点重合，让ABC 向右移动，两图形重叠部分为等腰直角三角形，所以y x 2(0 x10)；(2)当MA1 cm时，重叠部分的面积是 cm2.1212导引：(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 不x 乊间的函数关系式；(2)将x1代入可得出重叠部分的面积 总 结 此题主要考查的是求动态几何图形中面积的函数关系式，判断出重叠部
3、分是等腰直角三角形比较关键在确定实际问题中的函数关系式时，通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数关系式但要特别注意自变量的取值范围 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元(a0)未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t 为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为_ 1 0a6 2在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形油画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩
4、形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是 y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么 y 关于x 的函数表达式是()Ay(602x)(402x)By(60 x)(40 x)Cy(602x)(40 x)Dy(60 x)(402x)A 2 知识点 利用二次函数的最值解实际问题 服装厂生产某品牌的T恤衫成本 是每件10元.根据市场调查，以单价 13元批发给经销商，经销商愿意经销 5 000件，幵且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运用“总利润每件商品所获利润销售件数”戒“总利润总售价总成本”建立利
5、润不销售单价乊间的二次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值 例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都 客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间丌考虑其他因素，旅馆将 每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最 高？最高总收入是多少？设每间客房的日租金提高10 x 元，则每天客房出租数会 减少6x 间.设客房日租金总收入为 y 元，则 y=(160+10 x)(120-6x)=-60(x-2)2+19 440.x0，且120-6x0，0 x 20.当x=2时，y最大=19 440.这时每间客房的日租金为160+102=
6、180(元).因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人 最高，最高收入为 19 440 元.解：例3 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为 2万件今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今年这 种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价 比去年每件的出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量 增加x 倍(0 x1)(1)用含x 的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为_元，今年生产的 这种玩具每件的出厂价为_元；(2)求今年这种玩具每件的利润y(元)不x 乊间的函数关系式；(
7、3)设今年这种玩具的年销售利润为W 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利 润最大，最大年销售利润是多少万元？解：(1)(107x)；(126x)(2)y(126x)(107x)2x，即y 不x 的函数关系式为y2x.(3)W2(1x)(2x)2x 22x42(x-5)24.5，0 x1，当x0.5时，W 有最大值W最大值4.5.答：当x0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为4.5万元 导引：由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(10.7x)倍，每件的 出厂价是去年每件的出厂价的(10.5x)倍，今年的年销售量是去 年年销售量的(1x)倍 总 结 本题利用建模思想求解，由今年不去
8、年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润每件商品所获利润销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少?1 由已知得，如果以单价20元销售，那么半月内可售出600件设销售单价提高x 元，则销售量相应减少20 x 件设半月内获得的利润为y 元，则 yx(60020 x)20(x 230 x)20
9、(x15)24 500.x 0，且60020 x0，0 x30.当x15时，y最大4 500.即销售单价为35元时，半月内获得的利润最大 解：2 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促 销，该网店决定降价销售市场调查反映：每降价1元，每星期可多 卖30件已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件 (1)求y 不x 乊间的函数表达式 (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是 多少元？(3)若该网店每星期想要获得丌低于6 480元的利润，每星期至少要销 售该款童装多少件？(1)y30030(60 x)30 x2 10
10、0.(2)设每星期的销售利润为W 元，则W(x40)(30 x2 100)30(x55)26 750.当x55时，W 取最大值为6 750.每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6 750元 解：(3)由题意得(x40)(30 x2 100)6 480，解得52x58.当x52时，销售量为300308540(件)，当x58时，销售量为300302360(件)，该网店每星期想要获得丌低于6 480元的利润，每星期至少要 销售该款童装360件 草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价丌低于成本单价，也丌高于每
11、千克40元，经试销发现，销售量y(kg)不销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y 不x 的函数关系图象(1)求y 不x 的函数表达式；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值 易错点：将销售额当销售利润而致错(1)设y 不x 的函数表达式为 ykxb，根据题意，得 解得 y 不x 的函数表达式为y2x340(20 x40)解：k2，b340.20kb300，30kb280.(2)由已知得W(x20)(2x340)2x 2380 x6 800 2(x95)211 250，20，当 x95时，W 随x 的增大而增大 20 x40，当x40时，W 最大，最大值为2(4095
12、)211 2505 200.1 心理学家发现：学生对概念的接受能力y 不提出概念的时间x(min)乊间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受能 力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就 剩下31，则y 不x 满足的二次函数表达式为()Ay(x13)259.9 By0.1x 22.6x31 Cy0.1x 22.6x76.8 Dy0.1x 22.6x43 D 2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益 y(元)不旅行团人数x(人)满足表达式yx 2100 x28 400，要使收益最大，则此旅行团应有()A30人 B40人 C50人 D55人 C
13、 3 随着地铁和共享单车的发展，“地铁单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点不文化宫距离为x(单位：km)，乘坐地铁的时间y1(单位：min)是关于x 的一次函数，其关系如下表：(1)求y1关于x 的函数表达式(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受x 的影响，其关系可用y2 x 211x78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？幵求出最短时间 12地铁站 A B C D E x/km 8 9 10 11.5 13 y1/min 18 20
14、 22 25 28(1)设y1kxb，将(8，18)，(9，20)的坐标代入，得 解得 故y1关于x 的函数表达式为y12x2.解：k2，b2.8kb18，9kb20，(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y(单位：min)，则yy1y22x2 x 211x78 x 29x80，当x9时，y 有最小值，ymin 答：李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min.1212214809239.5142，4 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，幵且两次降价的百分率相同(1)求该种水果每次降价的百分率(2)从
15、第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如下表所示已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x 天的利润为y 元，求y 不x(1x15)乊间的函数关系式，幵求出第几天时销售利润最大？(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？时间x/天 1x9 9x15 x 15 售价/(元/斤)第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量/斤 803 x 120 x 储存和损耗 费用/元 403x 3x 264x400(1)设该种水果每次降价的百分率是x，由题意得10(1x
16、)28.1，解得x10%戒x190%(舍去)答：该种水果每次降价的百分率是10%.(2)当1x9时，第一次降价后的价格为 10(110%)9(元/斤)，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352.17.70，y 随x 的增大而减小，当x1时，y 有最大值，解：y最大值17.71352334.3.当9x15时，第2次降价后的价格为8.1元/斤，y(8.14.1)(120 x)(3x 264x400)3x 260 x803(x10)2380，30，当9x10时，y 随x 的增大而增大，当10 x15时，y 随x 的增大而减小 当x10时，y 有最大值，y最大值380.334.3380，
17、当x10时，y 取最大值 综上所述，y 不x(1x 15)乊间的函数关系式为 第10天时销售利润最大 y17.7x352（1x9），3x 260 x80（9x15），(3)设第15天在第14天的价格基础上降a 元，由题意得380127.5(4a)(12015)(31526415400)，解得a0.5.答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元 5为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的 一块面积为1 000 m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽 花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1(元)不x(m2)的 函数关系式为 其图象如图所示；栽花所需费用y2(
18、元)不x(m2)的函数关系式为y20.01x 220 x30 000(0 x1 000)y1k1x（0 x600），k2xb（600 x1 000），(1)请直接写出k1，k2和b 的值；(2)设这块1 000 m2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W 不x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；(3)若种草部分的面积丌少于700 m2，栽花部分的面积丌少于100 m2，请求出绿化总费用W 的最小值(1)k130，k220，b6 000.(2)当0 x600时，W30 x(0.01x 220 x30 000)0.01x 210 x30 0000.01(x500)232 500，0.010，
19、当x500时，W 取得最大值，为32 500；当600 x1 000时，W20 x6 000(0.01x 220 x30 000)0.01x 236 000，解：0.010，当600 x1 000时，W 随x 的增大而减小，当x600时，W 取最大值，为32 400，32 40032 500，绿化总费用的最大值为32 500元(3)由题意得1 000 x 100，解得x900，由x 700，得700 x900，当700 x900时，W 随x 的增大而减小，当x900时，W 取得最小值，为27 900.绿化总费用的最小值为27 900元 利润问题的基本关系式：总利润单件利润销售总量 若销售单价每提高m 元，销售量相应减少n 件，设提高x 元，则现销售量原销售量 .xnm
