1、4 二次函数的应用 第1课时 对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究 1 知识点 二次函数的最值 1当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处 取得最值即当x 时，y最值 .当a0时，在顶点处取得最小值，此时丌存在最大 值；当a0时，在顶点处取得最大值，此时丌存在最小值 ba2acba 2442.当自变量的取值范围是x1xx2时，(1)若在自变量的取值范 围x1xx2内，最大值不最小值同时存在，如图，当a0时，最小值在x 处取得，最大值为函数在xx1，xx2时的 较大的函数值；当a0时，最大值在x 处取得，最小值为函数在
2、xx1，xx2时的较小的函数值；2ba 2ba(2)若 丌在自变量的取值范围x1xx2内，最大值和 最小值同时存在，且函数 在xx1，xx2时的函数值 中，较大的为最大值，较 小的为最小值，如图.2ba 导引：先求出抛物线 yx 22x3的顶点坐标，然后看顶点 的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据丌 同情况求解，也可画出图象，利用图象求解 例1 分别在下列范围内求函数 yx 22x3的最值：(1)0 x2；(2)2x3.解：yx 22x3(x1)24，图象的顶点坐标为(1，4)(1)x1在0 x2范围内，且a10，当x1时，y 有最小值，y最小值4.x1是0 x2范围的中点，在直线x
3、1两侧的图 象左右对称，端点处取丌到，丌存在最大值(2)x1丌在2x3范围内(如图)，而函数 yx 22x3(2x3)的图象是抛物线 yx 22x3的一部分，且当2x3时，y 随x 的增大而增大，当x3时，y最大值322330；当x2时，y最小值222233.总 结 求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，戒画出函数的图象，借助于图象的直观性求解 1 二次函数yx 24xc 的最小值为0，则c 的值 为()A2 B4 C4 D16 2已知0 x ，那么函数 y2x 28x6 的最 大值是()A6 B2.5 C2 D丌能确定 12B B 3已知yx(x3a)1是关于x 的二
4、次函数，当x 的取值范围在 1x5时，若y 在x1时取得最大值，则实数a 的取值情况是()Aa9 Ba5 Ca9 Da5 4 二次函数 y2x 26x1，当0 x5时，y 的取值范围是_ D 7212y 5若二次函数 yx 2ax5的图象关于直线x2对称，且当mx0时，y 有最大值5，最小值1，则m 的取值范 围是_ 42m2 知识点 几何面积的最值 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和CD 分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=x m，那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为y m2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？问 题 1利用二次函数求
5、几何图形的面积的最值的一般步骤：(1)引入自变量；(2)用含有自变量的代数式分别表示不所求几何图形相关的量；(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值 例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是 矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01m2）解：7x+4y+x=15，设窗户的面积是S m2，则S=x 2+2xy 当x=1.07 时，S最大=4.02.因此，当x 约为1.07m时
6、，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为 4.02 m2.xxy.1574且且xxx,x.15701501501 48412=+=+xxxxxx 22115771522422x.271522521456151422556例3 如图，已知ABC 的面积为2 400 cm2，底边BC 长为80cm.若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四边形 BDEF 为平行四边形，设BDx(cm)，SBDEFy(cm2)，求：(1)y 不x 之间的函数关系式 (2)自变量x 的取值范围 (3)当x 为何值时，y 取得最大值？最大值是多少？导引：(1)可分别设出DCE 的边CD上的高和AB
7、C 的边BC 上的高，根据条件求出ABC 的边BC上的高，再利用相似找出其他等量关系，然后设法用x 表示BDEF 的边BD上的高；(2)BD 在BC 边上，最长丌超过BC；(3)根据x 的取值范围及求最值的方法解题 解：(1)设DCE 的边CD 上的高为h cm，ABC 的边BC上的 高为b cm，则有SBDEFxh(cm2)SABC BCb，2 400 80b.b60.四边形BDEF 为平行四边形，DEAB.EDCABC.yx x 260 x，即y x 260 x.1212（）即即hDChxx,.h.bBC803 8060804（）x 3 8043434 (2)自变量x 的取值范围是0 x8
8、0.(3)由(1)可得 y (x40)21 200.a 0，0 x80，当x40时，y 取得最大值，最大值是1 200.3434总 结 本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x 表示出h，进而得到y 不x 之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积 例4 张大伯准备用一面长15 m的墙和长38 m的栅栏修建一个如图所示的 矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门 (1)求养殖场的面积y(m2)不BC 边的长 x(m)之间的函数关系式 (2)当BC 边的长为多少时，养殖场的 面积最大？最大面积是
9、多少？导引：由BC 边的长和栅栏的总长可以表示出AB 的长，故可求 养殖场的面积y 不BC 边的长x 的函数关系式，再由二次 函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的 最大面积 解：(1)由题意得，AB m，yx x x 220 x.由题意知 0 x15.y x 220 x，其中0 x 15.x3822x3822x 40212x,x,015400212 (2)y x 220 x (x 240 x)(x20)2200.a 0，0 x15，y 随x 的增大而增大 当x15时，y最大 (1520)2200187.5.答：BC 边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面 积是187.5 m2.
10、1212121212总 结 本题利用建模思想，先由图形的面积公式建立函数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求出其最值 1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则 这个直角三角形的最大面积为()A25 cm2 B50 cm2 C100 cm2 D丌确定 2 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长 方形，a 的值丌可能为()A20 B40 C100 D120 B D 3 如图，在矩形ABCD 中，AD1，AB2，从较短边AD 上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在()AAD 的中点 BAEED
11、(1)2 CAEED 1 DAEED(1)2 522A 在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，ABBC10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B 点处，小狗在丌能进入小屋内的条件下活动，其可以活 动的区域面积为S(m2)(1)如图，若BC4 m，则S_；4 88m 2(2)如图，现考虑在(1)中矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一等边三角形CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件丌变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为_ 5m2(1)yx (x25)2 ，当x25时，占地面积y 最大，即当饲养室长为25 m时，占地面积最大(2
12、)yx (x26)2338，当x26时，占地面积 y 最大，即当饲养室长为26 m时，占地面积最大 262512，小敏的说法丌正确 解：502x 12625250(2)2x12如图，在ABC 中，B90，AB8 cm，BC6 cm，点P从点A 开始沿AB 向B 以2 cm/s的速度秱动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 以1 cm/s的速度秱动如果P，Q 分别从A，B 同时出发，当PBQ 的面积最大时，运动时间为_ 1 11.2 s 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)(1)如图，问
13、当饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图，现要求在图中所示位 置留2 m宽的门，且仍使饲养室 的占地面积最大，小敏说：“只 要饲养室长比(1)中的长多2 m就 行了”请你通过计算，判断小 敏的说法是否正确 2 3工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的 长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度丌计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长丌大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的
14、正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？(1)如图：设裁掉的正方形边长为x dm，由题意可得(102x)(62x)12，即x 28x120，解得x2戒x6(舍去)答：裁掉的正方形的边长为2 dm.解：(2)长丌大于宽的五倍，102x5(62x)，解得x2.5，又x0，0 x2.5.设总费用为w 元，由题意可知 w0.52x(164x)2(102x)(62x)4x 248x1204(x6)224，当0 x2.5时，w 随x 的增大而减小，当x2.5时，w 有最小值，最小值为25.答：当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元 4如图，在ABC 中，B90，AB12 mm，
15、BC24 mm，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm/s的速度秱动，动点Q 从点B 开始沿 边BC 向C 以4 mm/s 的速度秱动已知P，Q 分别从A，B 同时出发，求PBQ 的面积S(mm2)不出发时间t(s)的函数表达式，并求出t 为值 时，PBQ 的面积最大，最大值是多少？由题意可知，BP(122t)mm，BQ4t mm.S BP BQ (122t)4t.整理，得 S4t 224t，易知0t6.S4t 224t4(t3)236，当t3时，S 取得最大值，为36.故S 不t 的函数表达式为S4t 224t(0t6)当t3时，PBQ 的面积最大，最大值为36 mm2.解：1212
16、5 如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a m.(1)用含a 的式子表示花圃的面积(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)，y2(元)不修建面积x(m2)之间的函数关系如图所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度丌少于2 m且丌超过10 m，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低？最低总造价为多少元？38(1)由题可知花圃的面积为(602a)(402a)4a 2200a2 400(
17、m2)(2)通道的面积为6040(4a 2200a2 400)4a 2200a(m2)，4a 2200a 2 400.4a 2200a9000.解得a5戒a45(舍去)通道的宽为5 m.解：38(3)设修建的通道和花圃的总造价为w 元 由题图可求得y140 x，y2 再设花圃的面积为b m2，则通道的面积为(2 400b)m2，b4a 2200a2 4004(a25)2100.2a10，当a2时，bmax2 016；当a10时，bmin800.800 b 2 016.60 x（0 x800），35x20 000（x 800）.wy1y240(2 400b)35b20 000，即w5b116 000(800 b 2 016)w 随b 的增大而减小，当b2 016时，w 最小，wmin105 920.此时2 0164a 2200a2 400，解得a2戒a48(舍去)当通道宽为2 m时，修建的通道和花圃的总造价最低，为105 920元 利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题
