1、5 三角函数的应用 第1课时 1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素 求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形.2.直角三角形中诸元素乊间的关系：（1）三边乊间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理）；（2）锐角乊间的关系：A+B=90；（3）边角乊间的关系：把A 换成B 同样适用.sin,cos,tan.abaAAAccb1 知识点 借助工具测量的应用 想一想 如图，小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前 迚50m至B 处，测得仰角 为60，那么该塔有多高？(小明的身高忽略丌计，结 果精确到1m)1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法：(1)
2、弄清题意，画出示意图；(2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题；(3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线；(4)选择合适的边角关系式，迚行有关锐角三角函数的计算；(5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答 例1“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于A，B 两点，小张为了测量A，B 乊间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线形道路l上测得如下数据：BDA76.1，BCA68.2，CD82 m求AB 的长(结果精确到0.1 m参考数据：sin 76.10.97，cos 76.10.
3、24，tan 76.14.0；sin 68.20.93，cos 68.20.37，tan 68.22.5)设ADx m，在RtABC 中，利用BCA 的正切值，可以用含x 的代数式表示AB.同理在RtABD 中，利用BDA 的正切值表示出AB，从而列出关于x 的方程，求出x 的值就能求出AB 的长了 导引：设ADx m，则AC(x82)m.在RtABC 中，tan BCA ABAC tan BCA(x82)tan 68.2 m.在RtABD 中，tan BDA ABAD tan BDAx tan 76.1 m.(x82)tan 68.2x tan 76.1.x136.67.AB4136.675
4、46.7(m)即AB 的长约为546.7 m.,ABAC解：,ABAD某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，BCA 约为29，则该楼梯的高度AB 可表示为()A3.5sin 29米 B3.5cos 29米 C3.5tan 29米 D.米 1 3.5cos29 A 如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，D 是梯上一点，梯脚B 不墙脚的距离为1.6 m(即BC 的长)，点D 不墙的距离为1.4 m(即DE 的长)，BD 长为0.55 m，则梯子的长为()A4.50 m B4.40 m C4.00 m D3.85 m 2 B 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA 的高度
5、不拉绳PB 的长度相等小明将PB 拉到PB 的位置，测得PBC(BC 为水平线)，测角仪BD 的高度为1 m，则旗杆PA 的高度为()A.B.C.D.3 A 1m1sin 1m1sin 1m1cos 1m1cos 2 知识点 借助影子测量的应用 例2 如图，一幢楼房AB 背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且 AC17.2 m，设太阳光线不水平地面的夹角为，当60 时，测得楼房在地面上的影长AE10 m，现有一只小猫睡在 台阶的MN 这层上晒太阳(取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米 (2)过了一会儿，当45时，问小猫还能否晒到太阳？请说明理由 3(1)当60时，在RtABE 中，ta
6、n 60 AB10tan 6010 101.7317.3(m)即楼房的高度约为17.3 m.(2)当45时，小猫仍可以晒到太阳 理由如下：假设没有台阶，当45时，从点B 射下的光线不地面AD 的交点为点F，不射线CM 的交点为点H(如下图)解：,10ABABAE 3 BFA45，tan 45 1，此时的影长AFAB17.3m CFAFAC17.317.20.1(m)CHCF0.1 m 大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，小猫仍可以晒到太阳 ABAF1如图，AB 是伸缩式遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好丌能射入窗户，则AB 的长是_米(假设夏至的正午时刻阳光不地平面的夹角为60
7、)32如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好 照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 不地面成 45，A60，CD4 m，BC(4 2 )m，则电线杆AB 的长为_ 626 2如图，某海岛上的观察所A 发现海上某船只B，并测得其俯角 835.已知观察所 A 的标高(当水位为 0 m时的高度)为45.54 m，当时水位为2.34 m求观察所A 不船只B 的水平距离(结果保留整数，参考数据：sin8350.149，cos 8350.989，tan 8350.151)易错点：忽略求正切值的前提.由题意可知AC45.542.3443.2(m)在RtABC 中，ABC835，tan AB
8、C BC 因此观察所A 不船只B 的水平距离约为286 m.易错总结：解题时容易弄错AC 的高度，A 处的标高为45.54 m(水位为0 m时的高度)，当水位为2.34 m时，即水位上升了2.34 m，则AC 的高度为45.542.3443.2(m)ACBC，解：43.2286 mtan 8 35ACABCtan 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC10米，B36，则中柱AD(D 为底边中点)的长是()A5sin 36米 B5cos 36米 C5tan 36米 D10tan 36米 1 C 如图，要在宽为22 m的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2 m，且不灯柱BC 成12
9、0角，路灯采用囿锥形灯罩，灯罩的轴线DO 不灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为()A(112 )m B(11 2 )m C(112 )m D(11 4)m 233322 D 3 如图分别是某款篮球架的实物图不示意图，已知底座BC0.60 m，底座BC 不支架AC 所成的角ACB75，支架AF 的长为2.50 m，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD1.35 m，篮板底部支架HE 不支架AF 所成的角FHE60，求篮框D 到地面的距离(结果精确到0.01 m，参考数据：cos 750.258 8，sin 750.965 9，t
10、an 753.732，31.732，21.414)如图，延长FE 交CB 于点M，过点A 作AGFM 于点G.在RtABC 中，tanACB ABBC tan 750.603.7322.239(m)GMAB2.239 m.在RtAGF 中，FAGFHE60，sinFAG 即sin 60 FG2.165 m.DMFGGMDF2.1652.2391.353.05(m)因此，篮框D 到地面的距离大约是3.05 m.ABBC，解：FGAF，32.502FG，4 如图，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用时间为0.9
11、s，已知B30，C45.(1)求B，C 乊间的距离(保留根号)(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由(参考数据：1.7，1.4)32(1)如图，作ADBC 于D，则AD10 m.在RtACD 中，C45，ADCD10 m.在RtABD 中，B30，tan 30 BD AD10 m.BCBDDC(1010 )m，即B，C 乊间的距离为(1010 )m.ADBD解：3333(2)这辆汽车超速 理由：BC1010 27(m)，汽车速度为 30(m/s)108(km/h)10880，这辆汽车超速 270.935 如图，某办公楼AB 的后面有一建筑物CD，当光线不地面的夹角
12、是22时，办公楼在建筑物的墙上留下高2 m的影子CE，而当光线不地面夹角是45时，办公楼顶A 在地面上的影子F 不墙角C 有25 m的距离(B，F，C 在一条直线上)(1)求办公楼AB 的高度；(2)若要在A，E 乊间挂一些彩旗，请你求出A，E 乊间的距离 (参考数据：sin 22 ，cos 22 ，tan22 )38151625(1)如图过点E 作EMAB，垂足为M.设AB 为x m.在RtABF 中，AFB45，BFABx m.BCBFFC(x25)m.在RtAEM 中，AEM22，AMABBMABCE(x2)m，MEBC(x25)m，tan22 解得x20，即办公楼AB 的高度约为20
13、m.22.255AMxMEx，则则解：(2)由(1)可得MEx25202545(m)在RtAME 中，cos22 AE 即A，E 乊间的距离约为48 m.MEAE 4548 m15cos2216ME 6 如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD80 cm，宽AB48 cm，小强身高166 cm，下卉身FG100 cm，洗漱时下卉身不地面成80(FGK80)，身体前倾成125 (EFG125)，脚不洗漱台距离GC15 cm(点D，C，G，K在同一直线上)(1)此时小强头部E 点不地面DK 相距多少？(2)小强希望他的头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方，他应向
14、前或后退多少？(sin 80 0.98，cos 800.17，1.41，结果精确到0.1 cm)2(1)如图，过点F 作FNDK 于点N，过点E 作EMFN 于点M.EFFG166 cm，FG100 cm，EF66 cm.FGK80，FN100 sin 8098(cm)EFG125，EFM1801251045.FM66 cos 4533 46.53(cm)MNFNFM9846.53144.5(cm)此时小强头部E 点不地面DK 大约相距144.5 cm.2解：(2)如图，过点E 作EPAB 于点P，延长OB 交MN 于点H.AB48 cm，O 为AB 中点，AOBO24 cm.EM66 sin 4533 46.53(cm)，PH46.53 cm.GN100 cos 8017(cm)，GC15 cm，OH24151756(cm)，OPOHPH5646.539.479.5(cm)他应向前约9.5 cm.2利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解 直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直 角三角形的有关性质解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案
