1、10.2 事件的相互独立性 【知识点梳理】事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B， A与B， A与B也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B).【典型例题】题型一 相互独立事件的判断例1（2022广东佛山高二期末）对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，其中，则（）A事件A与B互斥B事件A与B相互独立C事件A与C互斥D事件A与C相互独立【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件求出，可判断A，C；
2、计算概率结合相互独立事件的意义判断B，D作答.【详解】因，由已知得：，即事件A与B互斥，A正确；因，事件A与B不独立，B不正确；因，由已知得：，即事件A与C不互斥，C不正确；因，有，事件A与C相互独立，D正确.故选：AD解题技巧（独立事件的判断）对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥，一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然AA为一个必然事件A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响例2（2022湖南高二课时练习）一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为
3、红、黄、蓝的3个球试分别判断（1）（2）中的A，B是否为相互独立事件(1)“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B.(2)“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件A，“从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件B.【答案】(1)A，B为相互独立事件；(2)A，B不是相互独立事件.【解析】【分析】根据古典概型的列举法求P(A)、P(B)、P()，进而判断P()P(A)P(B)是否成立，即可判断A，B是否为相互独立事件.(1)记红、黄、蓝色球的号码分别为1, 2, 3，所以样本空间1(1,1)，(1,
4、2)， (1,3)，(2,1)， (2,2)， (2,3)， (3,1)， (3,2)， (3,3)，又A(1,1)， (1,2)， (1,3)，B(1,2)， (2,2)，(3,2)，则P(A)，P(B).又(1,2)，则P()，从而P()P(A)P(B)因此，A，B为相互独立事件(2)记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3，所以样本空间2(1,2)，(1,3)， (2,1)， (2,3)，(3,1)，(3,2)，又A(1,2)， (1,3)，B(1,2)，(3,2)，则P(A)， P(B).又(1,2)，则P()，此时P()P(A)P(B)，因此，A，B不是相互独立事件题型二 相互独立事件
5、同时发生的概率例3（2022湖南高二课时练习）某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目据预测，三个项目成功的概率分别为，且三个项目是否成功相互独立(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由互斥事件和独立事件的概率公式计算，记农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植成功分别是事件，恰有两个项目成功拆成三个互斥事件和：；（2）利用对立事件的概率公式计算：至少有一个项目成功的对立事件是三个项目都不成功(1)记农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植成功分别是事件，则，恰有两个项目成功为事件，则；(2)记至少有一个项目成功为
6、事件，解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解例4（2022贵州遵义高一期末）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合
7、格产品，不可以出厂设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立(1)求产品需要进行第2个过程的概率；(2)求产品不可以出厂的概率【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；(1)解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，在第1个过程中，2位质检员检验结果为
8、合格的概率，故(2)解：记事件B为“产品不可以出厂”在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，故例5（2022云南玉溪高二期末）某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么(1)甲乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？(2)甲乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.【答案】(1)甲获得录取的可能性大
9、；(2).【解析】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求出甲乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.（2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.(1)记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则，即，所以甲获得录取的可能性大.(2)记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则.【同步练习】一、单选题1（2021湖南宁乡市教育研究中心高一期末）某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假
10、设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式，列出方程组，即可求得的值.【详解】因为三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，所以，即，解得.故选: D.2（2022浙江台州市书生中学高二开学考试）已知A，B是相互独立事件，且，则（）A0.9B0.12C0.18D0.7【答案】C【解析】【分析】由对立事件概率公式求出，再根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.【详解】解：因为，
11、所以，又A，B是相互独立事件，且，所以，故选：C.3（2022北京八中高二期末）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【详解】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：故选：B4（2022北京平谷高二期末）甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A0.72B0.26C0.7D0.98【答案】D【解析】【分析】利用对立事
12、件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选：D5（2022全国高三专题练习）2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成
13、功的概率为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式计算作答.【详解】试验任务成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，事件，互斥，所以试验任务成功的概率.故选：D6（2022浙江高三期末）根据2021年某地统计资料，该地车主购买甲种保险的概率为0.4，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买，设各车主购买保险相互独立，则估计该地100位车主中甲乙两种保险都不购买的车主平均有（）人A40B30C20D10【答案】B【解析】【分析】根据题意得该地
14、车主中，甲乙两种保险都不购买的概率为，进而根据概率估计求解即可.【详解】解：根据题意得，该地车主中，甲乙两种保险都不购买的概率为，所以该地100位车主中甲乙两种保险都不购买的车主平均有人.故选：B7（2022北京海淀高一期末）米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲乙丙丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据对立事件和独立事件求概率的方
15、法即可求得答案.【详解】由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.故选：C.8（2021全国高三专题练习）如图，“红旗-9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统，其杀伤空域大，抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强，导引系统先进（有两级指挥管制体制），最高速度4.2马赫，最大射程为200公里，射高0.5至30公里，主要攻击高空敌机或导弹，是我国高空防空导弹的杰出代表.现假设在一次实战对抗演习中，单发红旗-9防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为0.8，则两发齐射（是否成功拦截互不干扰），敌方高速飞行器被拦截的概率为（）A0.96B0.88C1.6D0.64【答案】A【解析】【
16、分析】根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；【详解】解：依题意敌方高速飞行器被拦截的概率为故选：A二、多选题9（2022重庆八中高三阶段练习）一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A事件M发生的概率为B事件M与事件N互斥C事件M与事件N相互独立D事件发生的概率为【答案】AC【解析】【分析】A应用互斥事件加法求概率；B由互斥事件的定义，结合题设描述判断；C判断是否成立即可；D应用对立事件的概率求法求发生的概率即可判断.【详解】由题设知：，A正确；由
17、：“第一次向下的数字为3或4”与：“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，B错误；因为，而，故，即事件M与事件N相互独立，C正确；，表示“第一次向下的数字为1或2”且“两次向下的数字之和为奇数”，故，所以，D错误.故选：AC.10（2022辽宁丹东高一期末）已知事件A，B相互独立，且，则（）ABCD【答案】ACD【解析】【分析】结合条件逐项分析即得.【详解】事件A，B相互独立，且，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD.11（2022全国高一）抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数
18、之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（）ABB，D为对立事件CA，C为互斥事件DA，D相互独立【答案】BC【解析】【分析】根据题意，写出各事件包含的基本事件，再依次讨论求解即可.【详解】解：根据题意，事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，所以对于A选项，由于事件中的元素均不在事件中，故错误；对于B选项，事件与事件互斥，且并集为必然事件，故B，D为对立事件，正确；对于C选项，显然事件与事件是不可能同时发生，为不可能事件，故A，C为互斥事件，正确；对于D选项，由题知，事件包含的基本事件有，显然，故错误.故选：BC12（202
19、1全国高一课时练习）“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目，他们各自独立地解决项目的概率都是.现在李某单独研究项目，且这个人组成的团队也同时研究项目，且这个人研究项目的结果相互独立.设这个人团队解决项目的概率为，若，则的可能取值是（）ABCD【答案】CD【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式求出，然后解指数不等式即可求出的可能取值.【详解】依题意，这个人组成的团队不能解决项目M的概率为,这个人团队解决项目的概率为，,.故选：CD三、填空题13（2022广西北海高一期末）已
20、知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为_.【答案】#0.15【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，甲和丙被录取的概率为，乙和丙被录取的概率为则他们三人中恰有两人被录取的概率为，故答案为：.14（2022湖南长沙高三阶段练习）已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果
21、A与B互斥，令；如果A与B相互独立，令，则_.【答案】0.4#25【解析】【分析】利用互斥事件的概念及独立事件概率公式即得.【详解】A与B互斥，,A与B相互独立，.故答案为：.15（2022全国高一）一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间红，黄，蓝，绿，设事件红，黄，事件红，蓝，事件黄，绿，则下列判断：E与F是互斥事件；E与F是独立事件；F与G是对立事件；F与G是独立事件其中正确判断的序号是_（请写出所有正确判断的序号）【答案】【解析】【分析】由对立和互斥事件的定义判断；由独立事件的性质判断.【详解】红，则E与F不是互斥事件；且
22、，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，则F与G不是独立事件故答案为：16（2021湖北大冶市第一中学高二阶段练习）李雷韩梅梅两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止.设李雷在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.则概率P的值为_【答案】#0.75【解析】【分析】当甲连胜2局或者乙连胜2局时,第二局比赛结束，计算比赛2局停止的概率求出P 即可.【详解】依题意,当李雷连胜2局或者韩梅梅连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止，解得或（舍去）故答案为：四、解答题17（2022全国高二课时练习）假设5名工
23、人独立地工作每名工人在1h内平均有12min需要用电（即任时刻需要用电的概率为）.(1)求在同一时刻恰有3名工人需要用电的概率；(2)如果在同一时刻最多只能供给3名工人所需的电力，求超过负荷的概率【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式可得可求；（2）超过负荷的概率可求(1)解：在同一时刻恰有3名工人需要电力的概率.(2)解：超过负荷的概率18（2022湖南高二课时练习）已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，甲、乙两人投篮是否投中相互独立(1)若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？(2)若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？(3
24、)若乙投篮两次，则至少投中一次的概率为多少？【答案】(1)0.56(2)0.42(3)0.96【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）设事件D表示“甲投篮两次，恰好投中一次”，则，根据互斥事件及相互独立事件的概率公式计算可得；（3）根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；(1)解：记“甲投篮一次命中”为事件A，“乙投篮一次命中”为事件B，A与B为相互独立事件，且，.设事件C表示“甲、乙投篮都命中”，则.因为A与B相互独立，所以，即甲、乙投篮都命中的概率为0.56.(2)解：设事件D表示“甲投篮两次，恰好投中一次”，则.易知与，与均相互独立，与互斥，因此.(3)解：
25、设事件E表示“乙投篮两次，至少投中一次”，则为“乙投篮两次，都没投中”，即，因此.19（2021湖北武汉高二期中）受疫情影响，食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种肉类产品销售前，食品安检部门安排3名检测人员分别对每箱肉类产品的三项不同指标同时进行独立检测，只有3人检测的结果都合格，这箱产品才能在该超市销售.已知每箱肉类产品3名检测人员检测合格的概率分别为，检测结果只有合格与不合格两种情况.现对，四箱产品进行检测.(1)求产品不能在该超市销售的概率；(2)若产品，能在超市销售，则分别获利200元，300元，400元，400元；若不能在超市销售，则分别亏损100元，150元，200元，2
26、00元，且四箱肉类产品能否在超市销售互不影响.在不考虑其他因素的前提下，这四箱肉类产品共获利不少于500元的概率是多少？【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求不能在该超市销售的概率.（2）由（1）知任意产品能在超市销售概率为，而获利不少于500元则能在超市销售的产品为共6种情况，由独立事件乘法公式、互斥事件加法公式即可求目标概率.(1)由题设，产品不能在该超市销售的概率为.(2)要使获利不少于500元，即能在超市销售的产品为共6种情况，由（1）知：任意产品能在超市销售概率为，所以共获利不少于500元的概率为.20（2022上海市控江中学高二期末
27、）已知甲射击的命中率为0.7乙射击的命中率为0.8，甲乙两人的射击互相独立求：(1)甲乙两人同时击中目标的概率；(2)甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率；(3)甲乙两人中恰有一人击中目标的概率【答案】(1)0.56(2)0.94(3)0.38【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率公式计算；（2）结合对立事件的概率公式、独立事件的概率公式计算（3）利用互斥事件与独立事件的概率公式计算(1)设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，甲乙两人同时击中目标的概率；(2)甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率为；(3)甲乙两人中恰有一人击中目标的概率为21（2022浙江省开化中学高一期末）已知甲、乙、丙三
28、人独自射击，命中目标的概率分别是、设各次射击都相互独立(1)若甲、乙、丙三人同时对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率；(2)若甲、乙两人各自对目标射击两次，求四次射击中恰有两次命中目标的概率【答案】(1)(2)【解析】【详解】解：（1）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C三人同时对同一目标射击，目标被击中为事件D可知，三人同时对同一目标射击，目标不被击中为事件有P()=1P()又由已知三人同时对同一目标进行射击，目标被击中的概率为（2）设“四次射击中恰有两次击中目标”为事件E则四次射击中恰有两次击中目标的概率为22（2021湖北省直辖县级单位高二阶段练习）有一种鱼的
29、身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.（）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水
30、池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.【答案】（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（）；（）.【解析】【分析】(1)由中位数排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数出现频率最高的数、极差最大数与最小数的差；百分比位数数据集中有n个数：当np为整数时，当np不为整数时；即可求出对应值；(2) （）记：“两鱼最终均在水池”； ：“两鱼最终均在水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（）记：“两鱼同时从第n个小孔通过”且鱼的游动独立，知，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥
31、事件，进而求得其概率【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为数据的众数为数据的极差为估计这批鱼该项数据的百分位数约为（2）（）记“两鱼最终均在水池”为事件，则记“两鱼最终均在水池”为事件，则事件与事件互斥，两条鱼最终在同一水池的概率为（）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件，依次类推；而两鱼的游动独立记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥即【点睛】本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生
