1、22.2 事件的相互独立性1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念2能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题1相互独立的概念设 A，B 为两个事件，若 P(AB)P( A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立2相互独立的性质若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B，A 与 B，A 与 B 也都相互独立注意 事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)P(A) P(B)(1)充分性：由定义知 P(AB)P(A)P(B) 时，事件 A，B 相互独立 (2)必要性：由 A，B 相互独立得 P(B|A)P( B)，所以 P(AB)P( A)P(B|A)P (A)P
2、(B)判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立( )(2)必然事件与任何一个事件相互独立( )(3)“P(AB)P(A)P(B)”是“事件 A，B 相互独立”的充要条件 ( )答案：(1) (2) (3) 若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)P( F) ，则 P(EF) 的值等于( )14A0 B. C. D.116 14 12答案：B下列事件 A，B 是相互独立事件的是( )A一枚硬币掷两次，A 表示 “第一次为正面” ，B 表示“第二次为反面”B袋中有 2 个白球，2 个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A 表示“第一次摸到白球” ，B 表示
3、“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A 表示“出现点数为奇数 ”，B 表示“出现点数为偶数”DA 表示“一个灯泡能用 1 000 小时” ，B 表示“一个灯泡能用 2 000 小时”答案：A探究点 1 相互独立事件的判断判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？(1)掷一枚骰子一次，事件 M：“出现的点数为奇数” ，事件 N：“出现的点数为偶数” ；(2)掷一枚骰子一次，事件 A：“出现偶数点” ；事件 B： “出现 3 点或 6 点” ；(3)袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件 M：“第一次摸到白球” ，事件 N：“第二次摸到白球 ”【解】 (1
4、)二者不可能同时发生，所以 M 与 N 是互斥事件 (2)基本事件 1，2，3，4 ，5，6，事件 A2 ，4 ，6，事件 B 3，6 ，事件 AB6 ， P(A) ，P (B) ，12 13P(AB) ，即 P(AB)P(A) P(B)，16 12 13故事件 A 与事件 B 相互独立，A，B 不是互斥事件(3)事件 M 是否发生对事件 N 发生的概率没有影响，故 M 与 N 是相互独立事件判断两个事件是否独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断 ，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；(2)定义法：通过式子 P(AB)P(A)P( B)来判
5、断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B 相互独立，这是定量判断. 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A一个家庭中既有男孩又有女孩， B 一个家庭中最多有一个女孩 对下述两种情形，讨论 A与 B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩(2)家庭中有三个小孩解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 (男，男) ，(男，女)，( 女，男)，(女，女)，它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为 .14这时 A(男，女)，(女，男) ，B(男，男) ，(男，女)，(女，男)，AB( 男，女)，(女，男) ，于是 P(A) ，P(B) ，P(AB) .12 34 12由
6、此可知 P(AB)P(A )P(B)，所以事件 A，B 不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 (男，男，男) ，(男，男，女)，(男，女，男) ，(男，女，女)，(女，男，男) ，(女，男，女) ，(女，女，男)，( 女，女，女)由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为 ，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基18本事件，AB 中含有 3 个基本事件于是 P(A) ，P(B) ，P(AB) ，68 34 48 12 38显然有 P(AB) P(A )P(B)成立38从而事件 A 与 B 是相互独立的探究点 2 相互独立事件同时发生的概率甲、乙 2
7、个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 和 ，求：13 14(1)2 个人都译出密码的概率；(2)2 个人都译不出密码的概率；(3)至多 1 个人译出密码的概率【解】 记“甲独立地译出密码”为事件 A， “乙独立地译出密码“为事件 B，A 与 B 为相互独立事件，且 P(A) ，P( B) .13 14(1)“2 个人都译出密码”的概率为：P(AB)P( A)P(B) .13 14 112(2)“2 个人都译不出密码”的概率为：P( )P ( )P( )1P( A)1P(B) (1 )(1 ) .A B A B 13 14 12(3)“至多 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人
8、都译出密码 ”，所以至多 1 个人译出密码的概率为：1P(AB)1P(A )P(B)1 .13 14 1112变问法 在本例条件下，求：(1)恰有 1 个人译出密码的概率；(2)至少 1 个人译出密码的概率解：(1)“恰有 1 个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出 ，且两个事件为互斥事件，所以恰有 1 个人译出密码的概率为：P(A B)P(A )P( B)B A B A P(A )P( ) P( )P(B)B A (1 )(1 ) .13 14 13 14 512(2)“至少 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都未译出密码 ”，所以至少 1 个人译出密码的概率为
9、：1P( )1 P( )P( )1 .A B A B 23 34 12相互独立事件概率的求解方法(1)应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤：确定各事件是相互独立的；确定各事件会同时发生；先求每个事件发生的概率，再求其积(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法，即三个公式的联用：P(AB)P(A)P (B)(A，B 互斥) ，P(A)1P( A)，P(AB )P(A) P(B)(A，B 相互独立) 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人 100 m 跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称
10、为合格) 的概率分别为 ，若对这三名短跑运动员的253413100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大解：记“甲、乙、丙三人 100 m 跑成绩合格”分别为事件 A，B，C，显然事件 A，B，C相互独立，则 P(A) ，P(B) ，P(C) .25 34 13设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k0，1，2，3) ，(1)三人都合格的概率：P3P( ABC)P(A )P(B)P(C) .25 34 13 110(2)三人都不合格的概率：P0P( A B C)P(A )P(B)P(C) .35 14 23 110(3)恰有两人
11、合格的概率：P2P( AB C)P(A BC)P(ABC) .25 34 23 25 14 13 35 34 13 2360恰有一人合格的概率：P11P 0P 2P 31 .110 2360 110 2560 512综合(1)(2)(3)可知 P1 最大所以出现恰有 1 人合格的概率最大探究点 3 相互独立事件的综合应用在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众要彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有
12、偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列【解】 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手” ，B 表示事件 “观众乙选中 3 号歌手” ，则 P(A) ，23P(B) .35因为事件 A 与 B 相互独立，所以观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B)P(A )P(B)P(A )1P(B) .23 25 415(或 P(A B) )415(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手” ，则 P(C) ，35因为 X 可
13、能的取值为 0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 P(X0) P(A B C) ，13 25 25 475P(X1)P(A )P( B )P(A BC ) ，B C A C 23 25 25 13 35 25 13 25 35 2075P(X2)P(A B C)P( BC)P(A C)A B ，23 35 25 13 35 35 23 25 35 3375P(X3)P(ABC) ，23 35 35 1875所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 475 2075 3375 1875概率问题中的数学思想(1)正难则反灵活应用对立事件的概率关系( P(A)P( A)1)简化问题，是求解概率问题
14、最常用的方法(2)化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率， 即寻找所求事件与已知事件之间的关系 “所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件) (3)方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系， 建立方程( 组)，通过解方程(组) 使问题获解一个箱子中原来装有大小相同的 5 个小球，其中 3 个红球，2 个白球，规定：进行一次操作是指“从箱子中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱子中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱子中” (1)求进行第二次操作后，箱子中红球个数为 4 的概率；(2)求进行第二次操作
15、后，箱子中红球个数 的分布列解：(1)进行第二次操作后，箱子中红球个数为 4 的对应事件为两次操作恰好一次白球一次红球，所以概率为：P .35 25 25 45 1425(2)由题意进行第二次操作后，箱子中红球个数 的可能取值为 3，4，5，P(3) ，35 35 925P(4) ，35 25 25 45 1425P(5) ，25 15 225所以箱子中红球个数 的分布列为： 3 4 5P 925 1425 2251(2018云南曲靖一中期中) 某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为 0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为 0.5，则问题由乙答对的概率为( )A0.2 B0.8 C0.4 D
16、0.3解析：选 D.由相互独立事件同时发生的概率可知 ，问题由乙答对的概率为P0.60.50.3，故选 D.2甲、乙两班各有 36 名同学，甲班有 9 名三好学生，乙班有 6 名三好学生，两班各派 1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )A. B. C. D.524 512 124 38解析：选 C.两班各自派出代表是相互独立事件 ，设事件 A、B 分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件 AB 为两班派出的都是三好学生，则 P(AB)P(A) P(B) .936 636 1243某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率
17、：(1)第 3 次拨号才接通电话；(2)拨号不超过 3 次而接通电话解：设 Ai 第 i 次拨号接通电话 ，i 1，2，3.(1)第 3 次才接通电话可表示为 A1A 2A 3，于是所求概率为 P(A1 A2A 3) .910 89 18 110(2)拨号不超过 3 次而接通电话可表示为 A1A 1 A2A 1A 2A 3，于是所求概率为 P(A1A 1A 2A 1A 2A 3)P(A 1)P(A 1A2)P(A 1A 2A 3) .110 910 19 910 89 18 310知识结构 深化拓展1.互斥事件与相互独立事件的区别2与相互独立事件 A，B 有关的概率计算公式相互独立事件 互斥事
18、件条件事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件 A，B 同时发生，记作：AB互斥事件 A，B 中有一个发生，记作：AB( 或 AB)计算公式 P(AB)P( A)P(B) P(AB)P (A)P(B )事件 A，B 的各种情形 概率计算公式A， B 同时发生 P(AB)P (A)P(B)A， B 都不发生P(A B)P( A)P(B)1P(A)1P( B)1P (A)P( B)P(A)P(B)A，B 至少有一个不发生 P1P (AB)1P( A)P(B)A，B 至少有一个发生P1P (A B)1P( A)P(B)P(A )P(B
19、)P(A)P (B)A，B 恰好有一个发生PP( A BAB) P(A)P (B) P(A)P(B)P(A )P(B)2P (A)P(B), A 基础达标1(2018广州综合测试)投掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A， “骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是( )A. B.512 12C. D.712 34解析：选 C.因为 P(A) ，P(B) ，12 16所以 P( ) ， P( ) .A 12 B 56又 A，B 为相互独立事件，所以 P( ) P( )P( ) .A B A B 12 56 512所以 A，B 中至少有
20、一件发生的概率为1P( )1 .A B 512 7122把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件是独立事件的组数为( )A掷出偶数点 ，B 掷出奇数点 ；A掷出偶数点 ，B 掷出 3 点 ；A掷出偶数点 ，B 掷出 3 的倍数点 ；A掷出偶数点 ，B 掷出的点数小于 4；A1 B2C3 D4解析：选 A.P(A ) ，P(B) ，P(AB)0，12 12所以 A 与 B 不独立P(A ) ，P(B) ，P(AB)0，A 与 B 不独立12 16P(A ) ，P(B) ，P(AB) ，12 13 16P(AB)P( A)P(B)，所以 A 与 B 独立P(A ) ，P(B) ，P(AB)
21、，12 12 16P(A)P(B)P (AB)，所以 A 与 B 不独立3某种开关在电路中闭合的概率为 p，现将 4 只这种开关并联在某电路中(如图所示) ，若该电路为通路的概率为 ，则 p( )6581A. B.12 13C. D.23 34解析：选 B.因为该电路为通路的概率为 ，所以该电路为不通路的概率为 1 ，只有当6581 6581并联的 4 只开关同时不闭合时该电路不通路，所以 1 (1p) 4，解得 p 或 p (舍6581 13 53去)故选 B.4从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一13 12个球，则 等于( )23A2 个球不都是红
22、球的概率B2 个球都是红球的概率C至少有 1 个红球的概率D2 个球中恰有 1 个红球的概率解析：选 C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件 A、B，则 P(A) ，P (B) ，由于13 12A、B 相互独立，所以 1P (A)P(B)1 .根据互斥事件可知 C 正确23 12 235(2018重庆外国语学校高二期末) 已知 A，B 是相互独立事件，若 P(A)0.2，P( ABABAB )0.44，则 P(B)( )A0.3 B0.4C0.5 D0.6解析：选 A.因为 A，B 是相互独立事件 ，所以 A，B 和 A，B 均相互独立因为 P(A)0.2，P( ABABAB )0.44，所
23、以 P(A)P(B)P( A)P(B)P(A)P (B)0.44，所以 0.2P(B)0.8P(B) 0.21P(B )0.44，解得 P(B)0.3.6某自助银行设有两台 ATM 机在某一时刻这两台 ATM 机被占用的概率分别为 ，则1312客户此刻到达需要等待的概率为_解析：客户需要等待意味着这两台 ATM 机同时被占用，故所求概率为 P .13 12 16答案：167事件 A，B ，C 相互独立，如果 P(AB) ，P(BC ) ，P(A B C) ，则 P(B)16 18 18_，P(AB )_ 解析：因为 P(AB )P(AB )P(C)C P(C) ，16 18所以 P(C) ，
24、即 P(C) .又 P(BC)P(B)P( C) ，所以 P(B) ，34 14 18 12P(B) .又 P(AB) ，12 16则 P(A) ，所以 P(AB)P(A) P(B)(1 ) .13 13 12 13答案： 12 138有一批书共 100 本，其中文科书 40 本，理科书 60 本，按包装可分精装、平装两种，精装书 70 本，某人从这 100 本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取 1 本，恰是精装书，则这一事件的概率是_解析：设“任取一本书是文科书”为事件 A， “任取一本书是精装书”为事件 B，则 A，B是相互独立事件，所求概率为 P(AB)据题意可知 P(A) ，P (
25、B) ，所以40100 25 70100 710P(AB)P( A)P(B) .25 710 725答案：7259某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为 0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C，则 P(A)0.5，P (B)0.6，P( C) 0.9.(1)应聘者用方案一考试通过
26、的概率为p1P(ABC )P(ABC) P(ABC)P( ABC)0.50.60.10.50.60.90.50.40.90.50.60.90.75.(2)应聘者用方案二考试通过的概率为p2 P(AB) P(BC) P(AC)13 13 13 0.50.6 0.60.9 0.50.913 13 130.43.10如图所示的正方形被平均分成 9 个部分，向大正方形区域随机地投掷一点(每次都能投中)，记“投中最左侧 3 个小正方形区域 ”为事件 A， “投中最上面 3 个小正方形区域”为事件 B.(1)求 P(AB)，P(B|A)；(2)试判断事件 A 与事件 B 是否相互独立.解：(1)根据几何概
27、型，得 P(AB) ，P(A) ，所以 P(B|A) .19 13 P（AB）P（A）1913 13(2)根据几何概型，得 P(B) ，所以有 P(B|A)P(B) ，即 P(B) ，因而 P(A)P(B)13 P（AB）P（A）P(AB)由独立事件的定义，得事件 A 与事件 B 相互独立B 能力提升11设两个相互独立事件 A，B 都不发生的概率为 ，则 A 与 B 都发生的概率的取值范围是19( )A. B.0， 89 19， 59C. D.23， 89 0， 49解析：选 D.设事件 A，B 发生的概率分别为 P(A)x，P( B)y，则 P(A B)P( A)P(B)(1x )(1y)
28、，即 1xy xy 2 ，当且仅当 xy 时取“” ，所以 19 19 19 xy xy或 (舍去)，所以 0xy .所以 P(AB)P(A)P( B)xy .23 xy 43 49 0， 4912有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是_解析：设事件 A 为“其中一瓶是蓝色” ，事件 B 为“另一瓶是红色” ，事件 C 为“另一瓶是黑色” ，事件 D 为“另一瓶是红色或黑色 ”，则 DBC，且 B 与 C 互斥 ，又 P(A) ，P(AB ) ，P(AC ) ，45 15 25故 P(D|A)P( BC|
29、A)P(B |A)P (C|A) .P（AB）P（A） P（AC）P（A） 34答案：3413在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为 、，且三个项目是否成功互相独455623立(1)求恰有两个项目成功的概率；(2)求至少有一个项目成功的概率解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 (1 ) ，45 56 23 29只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为(1 ) ，45 56 23 445只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1 ) ，45 56 23 19所以恰有两个项目成功的
30、概率为 .29 445 19 1945(2)三个项目全部失败的概率为(1 )(1 )(1 ) ，45 56 23 190所以至少有一个项目成功的概率为 1 .190 899014(选做题) 一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：买饭时间(分) 1 2 3 4 5频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个学生开始买饭时计时(1)估计第三个学生恰好等待 4 分钟开始买饭的概率；(2)X 表示至第 2 分钟末已买完饭的人数，求 X 的分布列解：设 Y 表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得 Y 的分布列如表：Y 1
31、 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1(1)A 表示事件 “第三个学生恰好等待 4 分钟开始买饭” ， 则事件 A 对应三种情形：第一个学生买饭所需的时间为 1 分钟，且第二个学生买饭所需的时间为 3 分钟；第一个学生买饭所需的时间为 3 分钟，且第二个学生买饭所需的时间为 1 分钟；第一个和第二个学生买饭所需的时间均为 2 分钟所以 P(A)P(Y1)P(Y3)P( Y3)P( Y1)P( Y2)P (Y2) 0.10.30.30.10.40.40.22.(2)X 所有可能的取值为 0，1，2，X0 对应第一个学生买饭所需的时间超过 2 分钟，所以 P(X0)P(Y2)0.5，X 1 对应第一个学生买饭所需的时间为 1 分钟且第二个学生买饭所需的时间超过 1 分钟或第一个学生买饭所需的时间为 2 分钟，所以 P(X1)P(Y1)P(Y1)P( Y2)0.10.90.4 0.49，X2 对应两个学生买饭所需时间均为 1 分钟所以 P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01.所以 X 的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01
