1、10.2 事件的相互独立性事件的相互独立性 A 组 素养自测 一、选择题 1抛掷 3 枚质地均匀的硬币，A“既有正面向上又有反面向上”，B“至多有一个反面向上”，则 A 与 B 的关系是( ) A互斥事件 B对立事件 C相互独立事件 D不相互独立事件 2 某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为 0.9， 则他连续做对第 1 题和第 2 题的概率是( ) A0.64 B0.56 C0.81 D0.99 3 事件 A， B 是相互独立的， P(A)0.4， P(B)0.3， 下列四个式子： P(AB)0.12； P( AB)0.18；P(A B )0.28；P( A B )0.42其中正确的有
2、( ) A4 个 B2 个 C3 个 D1 个 4甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A12 B35 C23 D34 5(多选)设 M，N 为两个随机事件，给出以下命题正确的是( ) A若 P(M)12，P(N)13，P(MN)16，则 M，N 为相互独立事件 B若 P( M )12，P(N)13，P(MN)16，则 M，N 为相互独立事件 C若 P(M)12，P( N )13，P(MN)16，则 M，N 为相互独立事件 D若 P(M)12，P(N)13，P( M N )56，则
3、M，N 为相互独立事件 二、填空题 6有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2 人试图独立地在半小时内解决它，则 2 人都未解决的概率为_，问题得到解决的概率为_. 7 已知 A， B 是相互独立事件， 且 P(A)12， P(B)34， 则 P(AB)_； P(AB)_. 8甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是 0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是_，三人中至少有一人达标的概率是_. 三、解答题 9在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，没有平局.在每一场
4、比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13. (1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； (2)求在该次比赛中甲队至少得 3 分的概率. 10在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误的概率是112，乙、丙两人都回答正确的概率是14.设每人回答问题正确与否是相互独立的. (1)求乙答对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. B 组 素养提升 一、选择题 1 如图所示， A， B， C 表示 3 个开关， 若在某段时间内， 它们正常工作的概率分别为 0.9,0.
5、8,0.7，则该系统的可靠性(3 个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( ) A0.504 B0.994 C0.496 D0.064 2某机械零件由 2 道工序组成，第一道工序的废品率为 a，第二道工序的废品率为 b，假设这两道工序生产出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为( ) Aabab1 B1ab C1ab D12ab 3某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为( ) A215 B25 C35 D1315 4甲、乙两名同学参加学校“吉祥物设计”大赛，甲
6、能获得一等奖的概率是13，乙能获得一等奖的概率是34，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响，则甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为( ) A512 B16 C56 D14 二、填空题 5某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于_. 6已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_. 三、解答题 7台风
7、在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的概率. 8某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的 100 米跑的成绩进行一次检验，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大. 参考答案 A 组
8、素养自测 一、选择题 1 【答案】C 【解析】由于 A 中的事件发生与否对于 B 中的事件是否发生不产生影响，故 A 与 B 是相互独立的. 2 【答案】C 【解析】设 Ai表示“第 i 题做对”，i1,2，由题意知，A1，A2相互独立，则 P(A1A2)P(A1)P(A2)0.90.90.81 3 【答案】A 【解析】事件 A，B 是相互独立的，由 P(A)0.4，P(B)0.3 知：在中，P(AB)P(A)P(B)0.40.30.12，故正确；在中，P( A B)P( A )P(B)0.60.30.18，故正确；在中，P(A B )P(A)P( B )0.40.70.28，故正确；在中，P
9、(A B)P( A )P( B )0.60.70.42，故正确. 4 【答案】D 【解析】甲要获得冠军共分为两种情况： (1)第一场取胜，这种情况的概率为12. (2)第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为121214，则甲获得冠军的概率为121434. 5 【答案】ABD 【解析】在 A 中，若 P(M)12，P(N)13，P(MN)16，则由相互独立事件乘法公式知 M，N为相互独立事件，故 A 正确；在 B 中，若 P( M )12，P(N)13，P(MN)16，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M，N 为相互独立事件，故 B 正确；在 C 中，若P(M)12，P( N
10、)13，P(MN)16，当 M，N 为相互独立事件时，P(MN)122313，故 C 错误；D若 P(M)12，P(N)13，P( M N )56，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M，N 为相互独立事件，故 D 正确. 二、填空题 6 【答案】23 【解析】甲、乙两人都未能解决的概率为112113122313，问题得到解决就是至少有 1 人能解决问题， P11323. 7 【答案】18 【解析】P(A)12，P(B)34，P(A)12，P(B)14.P(AB)P(A)P(B)121418，P(AB)P(A)P(B)121418. 8 【答案】0.24_ 0.96 【解析】由题
11、意可知三人都达标的概率为 P0.80.60.50.24；三人中至少有一人达标的概率为 P1(10.8)(10.6)(10.5)0.96 三、解答题 9解：(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件 A，则 P(A)1314113118. (2)甲队至少得 3 分有两种情况： 两场只胜一场； 两场都胜.设事件 B 为“甲两场只胜一场”，设事件 C 为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得 3 分”为 BC， 则 P(BC)P(B)P(C)1311414113131451211212. 10解：(1)记事件 A“甲答对这道题”，事件 B“乙答对这道题”，事件 C“丙答对这道题”.设乙答对这道题的概率 P(B
12、)x. 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此 A，B，C 是相互独立事件. 由题意，根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得 P( A B )P( A ) P( B )134(1x)112， 解得 x23，所以乙答对这道题的概率 P(B)23. (2)设事件 M“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”，丙答对这道题的概率 P(C)y. 根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得 P(BC)P(B) P(C)23y14，解得 y38. 甲、 乙、 丙三人都回答错误的概率 P( A B C )P( A ) P( B ) P( C )134123138596. 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错
13、误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以所求事件概率 P(M)15969196. B 组 素养提升 一、选择题 1 【答案】B 【解析】由题意可知，系统的可靠性为 1(10.9)(10.8)(10.7)10.0060.994 2 【答案】A 【解析】由题意，两道工序生产出正品的概率分别是 1a,1b，又这两道工序生产出废品是彼此无关的，故产品的合格率为(1a)(1b)abab1故选 A 3 【答案】D 【解析】记 E“甲组研发新产品成功”，F“乙组研发新产品成功”，由题设知 P(E)23，P( E )13，P(F)35，P( F )25，且事件 E 与 F，E 与
14、F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立. 记 H“至少有一种新产品研发成功”， 则 H E F ， 于是 P( H )P( E )P( F )1325215，故所求的概率 P(H)1P( H )12151315.故选 D 4 【答案】C 【解析】由于甲能获得一等奖的概率是13，乙能获得一等奖的概率是34，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响， 甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为 P111313456. 二、填空题 5 【答案】0.128 【解析】记“该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮”为事件 A，由题意，若该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四
15、个回答正确，第一个问题可对可错，故 P(A)10.20.80.80.128 6 【答案】16_ 23 【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、 乙都落入盒子的概率为121316， 甲、 乙两球都不落入盒子的概率为11211313，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 三、解答题 7解：设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件 A，B，C，不准确记为A，B，C，则 P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，P(A)0.2，P(B)0.3，P(C)0.1， 至少两颗预报准确的事件有 ABC，ABC，ABC，ABC，这四个事件两两互斥. 所以
16、至少两颗预报准确的概率为 PP(ABC)P(A BC)P( ABC)P(ABC)0.80.70.10.80.30.90.20.70.90.80.70.90.0560.2160.1260.5040.902 8解：设甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格分别为事件 A，B，C，显然事件 A，B，C 相互独立，则 P(A)25，P(B)34，P(C)13. 设恰有 k 人合格的概率为 pk(k0,1,2,3). (1)三人都合格的概率： p3P(ABC)P(A)P(B)P(C)253413110. (2)三人都不合格的概率： p0P( A B C )P( A )P( B )P( C )351423110. (3)恰有两人合格的概率： p2P(AB C )P(A B C)P( A BC)2534232514133534132360. 恰有一人合格的概率： p11p0p2p3111023601102560512. 综合(1)(2)可知 p1最大. 所以出现恰有一人合格的概率最大.
