1、23.2 事件的独立性事件的独立性 学习目标 1.了解两个事件相互独立的概念.2.能利用独立事件同时发生的概率公式解决一 些简单的实际问题 知识点一 事件的独立性 甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球，2 个黑球从这两个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A“从甲箱里摸出白球”，事件 B“从乙箱里摸出白球” 思考 1 事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？ 答案 不影响 思考 2 P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ 答案 P(A)3 5，P(B) 1 2， P(AB)32 54 3 10. 思考 3 P(AB)与 P(A)，P(B)有什么关系？ 答案 P(AB
2、)P(A)P(B) 梳理 事件独立的定义 一般地，若事件 A，B 满足 P(A|B)P(A)，则称事件 A，B 独立 知识点二 事件独立的性质 思考 1 若 A，B 独立，P(AB)与 P(A)P(B)相等吗？ 答案 相等因为 P(AB)P(A|B)P(B)P(A)P(B) 思考 2 若 A，B 独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 相互独立吗？ 答案 独立 梳理 事件独立的性质及 P(AB)的计算公式 性质 (1)若 A，B 独立，且 P(A)0，则 B，A 也独立，即 A 与 B 相互独立 (2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个 事件 A，B 相
3、互独立的充要条件是 P(AB)P(A)P(B) 概率计算 公式 (1)若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生 的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)P(A)P(B) (2)推广：若事件 A1，A2，An相互独立，则这 n 个事件同时发生的 概率 P(A1A2An)P(A1) P(A2) P(An) 结论 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互 独立 1不可能事件与任何一个事件相互独立( ) 2必然事件与任何一个事件相互独立( ) 3如果事件 A 与事件 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)( ) 4“P(AB)P(A)
4、P(B)”是“事件 A，B 相互独立”的充要条件( ) 类型一 事件独立性的判断 例 1 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、乙两组中各选 1 名同学参 加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球” 与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”； (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点” 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 解 (1)“从
5、甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一事 件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件 (2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为5 8，若这一事件发生了，则“从剩 下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为4 7，若前一事件没有发生，则后一事 件发生的概率为5 7.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是 相互独立事件 (3)记 A：出现偶数点，B：出现 3 点或 6 点，则 A2,4,6，B3,6，AB6， 所以 P(A)3 6 1 2，P(B) 2 6 1 3， P(AB)1 6， 所以 P
6、(AB)P(A)P(B)， 所以事件 A 与 B 相互独立 反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响 (2)公式法：检验 P(AB)P(A)P(B)是否成立 (3)条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A)P(B)判断 跟踪训练 1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A一个家庭 中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论 A 与 B 的 独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情
7、形为 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为1 4. 这时 A(男，女)，(女，男)， B(男，男)，(男，女)，(女，男)， AB(男，女)，(女，男)， 于是 P(A)1 2，P(B) 3 4，P(AB) 1 2. 由此可知 P(AB)P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独立 (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 (男，男，男)，(男，男， 女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女， 女) 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为1 8， 这时 A 中含有
8、 6 个基本事件， B 中含有 4 个基本 事件，AB 中含有 3 个基本事件 于是 P(A)6 8 3 4，P(B) 4 8 1 2，P(AB) 3 8， 显然有 P(AB)3 8P(A)P(B)成立， 从而事件 A 与 B 是相互独立的 类型二 求相互独立事件的概率 例 2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概 率分别为 0.8,0.7，0.9，假设这三列火车是否正点到达互不影响求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个独立事件同时发生的概率 解 用 A
9、，B，C 分别表示“这三列火车正点到达”的事件， 则 P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9， 所以 P( A )0.2，P( B )0.3，P( C )0.1. (1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为 P1P( A BC)P(A B C)P(AB C ) P( A )P(B)P(C)P(A)P( B )P(C)P(A)P(B)P( C ) 0.20.70.90.80.30.90.80.70.1 0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P21P( A B C ) 1P( A )P( B )P( C ) 10.20.30.10.994
10、. 引申探究 1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率 解 恰有一列火车正点到达的概率为 P3P(A B C )P( A B C )P( A B C) P(A)P( B )P( C )P( A )P(B)P( C )P( A )P( B )P(C) 0.80.30.10.20.70.10.20.30.9 0.092. 2若一列火车正点到达计 10 分，用 X 表示三列火车的总得分，求 P(X20) 解 事件“X20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到 达”， 所以 P(X20)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C) 10.80.70.90.496. 反思与感悟
11、明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发 生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义 一般地，已知两个事件 A，B，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，那么： (1)A，B 中至少有一个发生为事件 AB. (2)A，B 都发生为事件 AB. (3)A，B 都不发生为事件 A B . (4)A，B 恰有一个发生为事件 A B A B. (5)A，B 中至多有一个发生为事件 A B A B A B . 跟踪训练 2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为1 3和 1 4，求两人破译时，以下 事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率； (2)恰有一人能破译的概
12、率； (3)至多有一人能破译的概率 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个独立事件同时发生的概率 解 记事件 A 为“甲独立地破译出密码”，事件 B 为“乙独立地破译出密码” (1)两个人都破译出密码的概率为 P(AB)P(A)P(B)1 3 1 4 1 12. (2)恰有一人破译出密码分为两类： 甲破译出乙破译不出， 乙破译出甲破译不出， 即 A B A B， P(A B A B)P(A B )P( A B) P(A)P( B )P( A )P(B) 1 3 11 4 11 3 1 4 5 12. (3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码， 其概率为 1P(AB)1
13、 1 12 11 12. 类型三 相互独立事件的综合应用 例 3 在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出 最受欢迎歌手 各位观众要彼此独立地在选票上选 3 名歌手， 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷， 他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏 爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手 (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率； (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的概率分布 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与概率分布
14、 解 (1)设事件 A 表示“观众甲选中 3 号歌手”，事件 B 表示“观众乙选中 3 号歌手”， 则 P(A)C 1 2 C23 2 3，P(B) C24 C35 3 5. 因为事件 A 与 B 相互独立， 所以观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B )P(A)P( B )P(A)1 P(B)2 3 2 5 4 15. 或PA B C 1 2C 3 4 C23C35 4 15 (2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”， 则 P(C)C 2 4 C35 3 5， 因为X可能的取值为 0,1,2,3， 且取这些值的概率分别为P(X0)P( A B C )1
15、3 2 5 2 5 4 75， P(X1)P(A B C )P( A B C )P( A B C) 2 3 2 5 2 5 1 3 3 5 2 5 1 3 2 5 3 5 20 75 4 15， P(X2)P(AB C )P(A B C)P( A BC) 2 3 3 5 2 5 2 3 2 5 3 5 1 3 3 5 3 5 11 25， P(X3)P(ABC)2 3 3 5 3 5 6 25. 所以 X 的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 4 75 4 15 11 25 6 25 反思与感悟 概率问题中的数学思想 (1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P( A )1)简
16、化问题，是求解概率问题最 常用的方法 (2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的 关系 “所求事件”分几类(考虑加法公式， 转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式， 转化为相互独立事件) (3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问 题获解 跟踪训练 3 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中 的 6 道题，乙能答对其中的 8 道题规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试， 至少答对 2 道题才算合格 (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙
17、两人至少有一人考试合格的概率 解 (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A，B，则 P(A)C 2 6C 1 4C 3 6 C310 6020 120 2 3， P(B)C 2 8C 1 2C 3 8 C310 5656 120 14 15. 所以甲考试合格的概率为2 3，乙考试合格的概率为 14 15. (2)方法一 因为事件 A，B 相互独立， 所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P( A B )P( A )P( B ) 12 3 114 15 1 45. 则 1P( A B )1 1 45 44 45. 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44 45. 方法二 因为事件 A，B 相
18、互独立， 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 PP(A B )P( A B)P(AB) P(A)P( B )P( A )P(B)P(A)P(B) 2 3 1 15 1 3 14 15 2 3 14 15 44 45. 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44 45. 1甲、乙两水文站同时做水文预报，若甲站、乙站各自预报准确的概率分别为 0.8 和 0.7， 那么在一次预报中，甲、乙预报都准确的概率为_ 考点 相互独立事件的定义 题点 独立事件与互斥事件的区别 答案 0.56 解析 P(AB)P(A)P(B)0.80.70.56. 2打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10
19、 次可中靶 7 次，若两人同时射击，则他们同 时中靶的概率是_ 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个独立事件同时发生的概率 答案 14 25 解析 设事件 A 为“甲站预报准确”，事件 B 为“乙站预报准确”，P甲 8 10 4 5，P 乙 7 10， 所以 PP甲P乙14 25. 3甲袋中有 8 个白球，4 个红球；乙袋中有 6 个白球，6 个红球从每袋中任取一个球，则 取得同色球的概率为_ 答案 1 2 解析 设事件 A 为“从甲袋中任取一个球，取得白球”，事件 B 为“从乙袋中任取一个球， 取得白球” 由题意得 P(A)2 3，P( A ) 1 3，P(B) 1 2，P(
20、B ) 1 2， 事件 A 与 B 相互独立， 事件 A 与 B 相互独立 从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为 P(AB)( A B )P(AB)P( A B ) P(A)P(B)P( A )P( B ) 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2. 4在某道路的 A，B，C 三处设有交通灯，这三盏灯在 1 分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒， 35 秒， 45 秒， 某辆车在这段道路上匀速行驶， 则三处都不停车的概率为_ 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个独立事件同时发生的概率 答案 35 192 解析 由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 5 12， 7 12， 3
21、4，则在这段道路上三处都不停 车的概率 P 5 12 7 12 3 4 35 192. 5甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是 p1，乙解决这个问题的概率 是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是_ 答案 p1(1p2)p2(1p1) 解析 恰好有 1 人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决这两个事件显然是互斥 的所以恰好有 1 人解决这个问题的概率为 p1(1p2)p2(1p1) 1相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即 AB 概率公式 A 与 B 相互独立等价于 P(AB) P(A)P(B) 若 A 与 B 互斥， 则 P(AB)P(A)P(B)，反 之不成立 2.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)P(A)P(B)， 即两个相互独立事件同时发生的概率等于 每个事件发生的概率的积.
