1、2021-2022 学年贵州省黔东南州九年级学年贵州省黔东南州九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题： （每题一、选择题： （每题 4 分，分，10 个小题共个小题共 40 分）分） 1 （4 分）方程 x23x 的解为（ ） A0 B3 C3 D0，3 2 （4 分） 如图， O 的半径为 5， 弦 AB 的长为 8， M 是弦 AB 上的动点， 则线段 OM 长的最小值为（ ） A2 B3 C4 D5 3 （4 分）若将函数 y2x2的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，可得到的抛物线是（ ） Ay2（x1）23 By2（x1）2+3 Cy2（x+1）23 Dy2（x
2、+1）2+3 4 （4 分）如图，将 RtABC（其中B35，C90）绕点 A 按顺时针方向旋转到AB1C1的位置，使得点 C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A55 B70 C125 D145 5 （4 分）若函数 ymx2+2x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点，则常数 m 为（ ） Am0 Bm1 Cm1 Dm0 或 m1 6 （4 分）半径为 2cm 的圆内接正六边形的面积等于（ ） A4 B5 C D6 7 （4 分）某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为 110 号共 10 道综合素质测试题供选手随机抽取作答 在某场比赛中， 前两位选手已分别抽走了 2 号、
3、7 号题， 第 3 位选手抽中 8 号题的概率是 （ ） A B C D 8 （4 分）已知一次函数 ykx+b（k、b 是常数，且 k0）的图象如图所示，则关于 x 的方程 x2+x+kb0的根的情况是（ ） A没有实数根 B有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 9 （4 分）二次函数 y2x28x+m 的图象上有两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，若 x12x2，且|x1+2|x2+2|，则（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1、y2的大小不确定 10 （4 分）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6m 的正三角形 ABC，粮堆母线 AC 的
4、中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）m A3 B3 C3 D4 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 4 分，分，10 个小题共个小题共 40 分）分） 11 （4 分）点 P（3，2）关于原点中心对称的点的坐标是 12 （4 分）已知关于 x 的方程 x2kx60 的一个根为 x3，则实数 k 的值为 13 （4 分）若关于 x 的方程 x26x+k0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 14 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，CACB2分别以 A、B、C 为圆心，以AC 为半径画弧，三条弧
5、与边 AB 所围成的阴影部分的面积是 （保留 ） 15 （4 分）抛物线 yx2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于 x 的方程x2+bx+c3 的解是 16 （4 分）抛物线 yx22x+3 关于原点中心对称的抛物线的解析式为 17 （4 分）如图，若 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD55，则BCD 18 （4 分）已知：如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC4，若以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，DEAB，DE 与 AC 相交于点 E，则 DE 19 （4 分）如图，是一个半径为 6cm，面积为 12cm2的扇形纸片，现需要一个半径 Rcm 的圆形纸片，使两张纸片
6、刚好能组合成圆锥体，则 R cm 20 （4 分）如图，把抛物线 y12x2平移得到抛物线 l，抛物线 l 经过点 A（6，0）和原点 O（0，0） ，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y12x2交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 三、解答题： （三、解答题： （6 个小题共个小题共 70 分）分） 21 （8 分）解方程： （1）x27x+120； （2）x（2x5）4x10 22 （12 分）如图，两个转盘 A、B 都被分成 3 个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘 A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边
7、的扇形） （1）用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果 （2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为 7”的频数和频率如下表： 转动转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450 “和为 7”出现的频数 2 7 10 16 34 50 59 80 110 150 “和为 7”出现的频率 0.2 0.35 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 请你根据上表数据，估计“和为 7”的概率是多少？ （3）根据（1） （2） ，若 0 xy，试求出 x 和 y 的值 23 （
8、12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 F 是 BA 延长线上一点，连接 DF，ADF 绕点 A 旋转一定角度后得到ABE，若 AF3，AB7 （1）直接写出旋转角的度数； （2）求 DE 的长度； （3）求证：直线 BEDF 24 （12 分）如图，在 RtABC 中，B90，BAC 的平分线交 BC 于 D，E 为 AB 上一点，DEDC，以 D 为圆心，DB 的长为半径画圆 （1）求证：AC 是D 的切线； （2）若 AB12，BC9求D 的半径 25 （12 分）某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元
9、的价格出售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱 （1）求平均每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱） （x50）之间的函数关系式 （2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式 （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 26 （14 分）已知：如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得以 P、B、C 为顶点的三角形为直角三角
10、形，若存在，请求点 P 坐标；若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题： （每题一、选择题： （每题 4 分，分，10 个小题共个小题共 40 分）分） 1 （4 分）方程 x23x 的解为（ ） A0 B3 C3 D0，3 【分析】 先把方程化为一般式， 再利用因式分解法把方程转化为 x0 或 x30， 然后解一次方程即可 【解答】解：x23x0， x（x3）0， x0 或 x30， 所以 x10，x23 故选：D 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 2 （4 分） 如
11、图， O 的半径为 5， 弦 AB 的长为 8， M 是弦 AB 上的动点， 则线段 OM 长的最小值为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据垂线段最短知，当 OMAB 时，OM 有最小值根据垂径定理和勾股定理求解 【解答】解：根据垂线段最短知，当 OMAB 时，OM 有最小值， 此时，由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点， 连接 OA，AMAB4， 由勾股定理知，OM3 故选：B 【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解 3 （4 分）若将函数 y2x2的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，可得到的抛物线是（ ） Ay2（x1）23 By2（x1）2+3 Cy2（x+1
12、）23 Dy2（x+1）2+3 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0） ，向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，那么新抛物线的顶点为（1，3） ； 可设新抛物线的解析式为 y（xh）2+k，代入得：y2（x+1）2+3， 故选：D 【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标 4 （4 分）如图，将 RtABC（其中B35，C90）绕点 A 按顺时针方向旋转到AB1C1的位置，使得点 C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
13、 A55 B70 C125 D145 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出BAC，然后求出BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角BAB1即为旋转角 【解答】解：B35，C90， BAC90B903555， 点 C、A、B1在同一条直线上， BAB180BAC18055125， 旋转角等于 125 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确每对对应点与旋转中心连线所成的角为旋转角是解题的关键 5 （4 分）若函数 ymx2+2x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点，则常数 m 为（ ） Am0 Bm1 Cm1 Dm0 或 m1 【分析】m0 时，
14、函数是一次函数，与 x 轴有一个交点；m0，则函数为二次函数由抛物线与 x 轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于 0，且 m 不为 0，即可求出 m 的值 【解答】解：当 m0 时， 二次函数 ymx2+2x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点， 44m0，且 m0， 解得：m1 当 m0 时 y2x+1 与 x 轴只有一个交点， 综上所述，m0 或 m1， 故选：D 【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点，抛物线与 x 轴的交点个数由根的判别式的值来确定 6 （4 分）半径为 2cm 的圆内接正六边形的面积等于（ ） A4 B5 C D6 【分析】设 O 是正六边形的中心，AB 是正六边
15、形的一边，OC 是边心距，则OAB 是正三角形，OAB的面积的六倍就是正六边形的面积 【解答】解：如图所示： 设 O 是正六边形的中心，AB 是正六边形的一边，OC 是边心距， AOB60，OAOB2cm， 则OAB 是正三角形， ABOA2cm， OCOAsinA2（cm） ， SOABABOC2（cm2） ， 正六边形的面积66（cm2） 故选：C 【点评】 本题考查了正多边形和圆， 理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键 7 （4 分）某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为 110 号共 10 道综合素质测试题供选手随机抽取作答 在某场比赛中， 前两位选手已分别
16、抽走了 2 号、 7 号题， 第 3 位选手抽中 8 号题的概率是 （ ） A B C D 【分析】先求出题的总号数及 8 号的个数，再根据概率公式解答即可 【解答】解：前两位选手抽走 2 号、7 号题，第 3 位选手从 1、3、4、5、6、8、9、10 共 8 位中抽一个号，共有 8 种可能， 每个数字被抽到的机会相等，所以抽中 8 号的概率为 故选：B 【点评】考查概率的求法，关键是真正理解概率的意义，正确认识到本题是八选一的问题，不受前面叙述的影响 8 （4 分）已知一次函数 ykx+b（k、b 是常数，且 k0）的图象如图所示，则关于 x 的方程 x2+x+kb0的根的情况是（ ） A
17、没有实数根 B有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 【分析】先利用一次函数的性质得 k0，b0，再计算判别式的值得到b24（k1） ，于是可判断0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：由一次函数的图象可知 k0，b0， 1241（kb）14（kb）0， 方程 x2+x+kb0 有两个不相等的实数根 故选：D 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根也考查了一次函数图象
18、 9 （4 分）二次函数 y2x28x+m 的图象上有两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，若 x12x2，且|x1+2|x2+2|，则（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1、y2的大小不确定 【分析】先求出抛物线的对称轴为直线 x2，然后比较点 A、B 到对称轴的距离，从而得到 y1与 y2的大小关系 【解答】解：函数 y2x28x+m 的对称轴为直线 x2， |x1+2|x2+2|， 即|x1（2）|x2（2）|， 点 A 到直线 x2 的距离大于点 B 到直线 x2 的距离， 而抛物线的开口向下， y1y2 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次
19、函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质 10 （4 分）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6m 的正三角形 ABC，粮堆母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在 B 处，它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（ ）m A3 B3 C3 D4 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题根据圆锥的轴截面是边长为 6cm 的等边三角形可知，展开图是半径是 6 的半圆点 B是半圆的一个端点，而点 P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点 B 和 P 在展开图中的距离
20、，就是这只小猫经过的最短距离 【解答】解：圆锥的底面周长是 6，则 6， n180，即圆锥侧面展开图的圆心角是 180 度 则在圆锥侧面展开图中 AP3，AB6，BAP90 度 在圆锥侧面展开图中 BPm 故小猫经过的最短距离是 3m 故选：C 【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 4 分，分，10 个小题共个小题共 40 分）分） 11 （4 分）点 P（3，2）关于原点中心对称的点的坐标是 （3，2） 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y）
21、，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆 【解答】解：平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） ， 点 P（3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，2） 故答案为： （3，2） 【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题 12 （4 分）已知关于 x 的方程 x2kx60 的一个根为 x3，则实数 k 的值为 1 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解 【解答】 解： x3 是方程的根， 由一元二次方程的根的定义， 可得 323k60， 解此方程得到 k1 【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出 k 的值 13
22、 （4 分）若关于 x 的方程 x26x+k0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 k9 【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出364k0，解不等式即可得出结论 【解答】解：关于 x 的方程 x26x+k0 有两个实数根， （6）241k364k0， 解得：k9 故答案为：k9 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是由方程有实数根得出关于 k 的一元一次不等式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的个数结合根的判别式得出不等式（或方程）是关键 14 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，CACB2分别以 A、B、C 为圆心，以AC 为半
23、径画弧，三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积是 （保留 ） 【分析】三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积三角形的面积三个小扇形的面积 【解答】解：2222 【点评】本题的关键是理解阴影部分的面积三角形的面积三个小扇形的面积 15（4 分） 抛物线 yx2+bx+c 的部分图象如图所示， 则关于 x 的方程x2+bx+c3 的解是 2 或 0 【分析】求出抛物线 yx2+bx+c 与直线 y3 的交点坐标即可 【解答】解：由题意抛物线 yx2+bx+c 与直线 y3 的交点坐标为（0，3）或（2，3） ， 一元一次方程 yx2+bx+c3 的解为2 或 0， 故答案为：2 或 0， 【点
24、评】本题考查抛物线与 x 轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型 16 （4 分）抛物线 yx22x+3 关于原点中心对称的抛物线的解析式为 yx22x3 【分析】求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可 【解答】解：抛物线 yx22x+3（x1）2+2 所以其顶点（1，2）关于原点对称的点的坐标为（1，2） ， 所以，抛物线为 y（x+1）22x22x3，即 yx22x3 故答案为：yx22x3 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质抛物线关于原点成中心对称的抛物线的开口方向相反 17 （4 分）如图，若
25、 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD55，则BCD 35 【分析】连接 AD首先证明ADB90，求出A 即可解决问题 【解答】解：连接 AD AB 是直径， ADB90， ABD55， A905535， BCDA35， 故答案为 35 【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 18 （4 分）已知：如图，等腰三角形 ABC 中，ABAC4，若以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，DEAB，DE 与 AC 相交于点 E，则 DE 2 【分析】作出辅助线，根据半圆或直径所对的圆周角为 90，判断出 D 为 BC 的中点，进
26、而判断出 DE为ABC 的中位线，根据中位线定理即可解答 【解答】解：连接 AD， AB 为直径， ADB90， 又ABAC， D 为 BC 的中点， 又DEAB， DE 为ABC 的中位线， DEAB42 【点评】本题重点考查了直径所对的圆周角为直角和中位线定理 19 （4 分）如图，是一个半径为 6cm，面积为 12cm2的扇形纸片，现需要一个半径 Rcm 的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则 R 2 cm 【分析】根据扇形面积公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案 【解答】解：设扇形纸片的弧长为 lcm， 则l612， 解得：l4， 2R4， 解得：R2， 故答案为：2
27、 【点评】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键 20 （4 分）如图，把抛物线 y12x2平移得到抛物线 l，抛物线 l 经过点 A（6，0）和原点 O（0，0） ，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y12x2交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 324 【分析】连接 OQ、OP，如图，先利用交点时写出平移后的抛物线 m 的解析式，再用配方得到顶点式 y12（x+3）2108，则 P 点坐标为（3，108） ，抛物线 m 的对称轴为直线 x3，于是可计算出 Q点的坐标为（3，108） ，所以点 Q 与 P 点关于 x 轴对称，于是
28、得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算 【解答】解：如图，连接 OQ、OP， 平移后的抛物线解析式为 y12（x+6） x12（x+3）2108， 所以 P 点坐标为（3，108） ， 抛物线的对称轴为直线 x3， 当 x3 时，y12x2108，则 Q 点的坐标为（3，108） ， 由于抛物线 y12x2向左平移 3 个单位，再向下平移 108 个单位得到抛物线 y12（x+3）2108， 所以图中阴影部分的面积SOPQ3（108+108）324 故答案为：324 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可
29、利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 三、解答题： （三、解答题： （6 个小题共个小题共 70 分）分） 21 （8 分）解方程： （1）x27x+120； （2）x（2x5）4x10 【分析】 （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 x 的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 x 的一元一次方程，再进一步求解即可 【解答】解： （1）x27x+120， （x3） （x4）0， 则 x30 或 x40， 则 x13，x24
30、； （2）x（2x5）4x10， x（2x5）2（2x5）0， 则（2x5） （x2）0， 2x50 或 x20， 解得 x1，x22 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法 22 （12 分）如图，两个转盘 A、B 都被分成 3 个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘 A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形） （1）用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果 （2）
31、小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为 7”的频数和频率如下表： 转动转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450 “和为7”出现的频数 2 7 10 16 34 50 59 80 110 150 “和为7”出现的频率 0.2 0.35 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 请你根据上表数据，估计“和为 7”的概率是多少？ （3）根据（1） （2） ，若 0 xy，试求出 x 和 y 的值 【分析】 （1）由于是两步操作，适合用列表法或树状图法； （2）用“和为 7”的频率估计概率； （3）根据和为
32、7 的概率估算出表中和为 7 的数字的个数，再推出 x、y 的值 【解答】解： （1）列表为： A x 2 3 B y （x，y） （2，y） （3，y） 4 （x，4） （2，4） （3，4） 5 （x，5） （2，5） （3，5） （2）由于出现“和为 7”的频率稳定在 0.33 附近，故出现“和为 7”的概率为 （3） “和为 7”的概率为，表中共九种情况，和为 7 的情况有 93 种，由于 2、5；3、4；之和为7，所以 x、5；x、4；x、y；2、y；3、y 中有一组为 7 即可； 又由于 0 xy，所以 x+57，x2，y3，6，7，8，9 x+47，x3，y6，7，8，9 x+y
33、7，x1，y6； 2+y7，y5，x4，1； 3+y7，y4，x1 由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有成立， x1，y6 【点评】此题考查了利用频率估计概率；解题的关键是要熟悉列表法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率 23 （12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 F 是 BA 延长线上一点，连接 DF，ADF 绕点 A 旋转一定角度后得到ABE，若 AF3，AB7 （1）直接写出旋转角的度数； （2）求 DE 的长度； （3）求证：直线 BEDF 【分析】 （1）根据旋转角度的定义与正方形的性质便可得解； （2
34、）根据旋转的性质可得 AEAF，ADAB，然后根据 DEADAE 计算即可得解； （3）根据旋转可得ABE 和ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BEDF，全等三角形对应角相等可得ABEADF，然后求出ABE+F90，判断出 BEDF 【解答】 （1）解：由题意知，旋转角度为BAD90； （2）解：ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到ABE， AEAF3，ADAB7， DEADAE734； （3）证明：ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到ABE， ABEADF， BEDF，ABEADF， ADF+F1809090， ABE+F90， BHF90， BEDF 【点评】本题考查了旋转的
35、性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键 24 （12 分）如图，在 RtABC 中，B90，BAC 的平分线交 BC 于 D，E 为 AB 上一点，DEDC，以 D 为圆心，DB 的长为半径画圆 （1）求证：AC 是D 的切线； （2）若 AB12，BC9求D 的半径 【分析】 （1）过点 D 作 DFAC 于 F，求出 BDDF 等于半径，得出 AC 是D 的切线 （2） 根据勾股定理求出 AC15， 然后根据切线长定理可得 AFAB12， 利用勾股定理即可求出半径 【解答】 （1）证明：过点 D 作 DFAC 于 F； AB 为D 的切
36、线， B90， ABBC， AD 平分BAC，DFAC， BDDF， AC 与D 相切； （2）解：AB12，BC9， AC15， AC 与D 相切，AB 与D 相切， ABAF12， CFACAF15123， DCBCBD9DF， 在 RtDCF 中，根据勾股定理得： DF2+FC2DC2， DF2+32（9DF）2， DF4 D 的半径为 4 【点评】本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等 25 （12 分）某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以
37、50 元的价格出售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱 （1）求平均每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱） （x50）之间的函数关系式 （2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式 （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为 y903（x50） ，然后根据销售利润销售量（售价进价） ，列出平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性
38、求得最大利润 【解答】解： （1）由题意得： y903（x50） 化简得：y3x+240（x50） ； （3 分） （2）由题意得： w（x40）y （x40） （3x+240） 3x2+360 x9600； （3 分） （3）w3x2+360 x9600 a30， 抛物线开口向下 当时，w 有最大值 又 x60，w 随 x 的增大而增大 当 x55 元时，w 的最大值为 1125 元 当每箱苹果的销售价为 55 元时，可以获得 1125 元的最大利润 （4 分） 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数
39、模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值） ，也就是说二次函数的最值不一定在 x时取得 26 （14 分）已知：如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得以 P、B、C 为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求点 P 坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）把 A，B 两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出 b，c 的值即可； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴，顶点坐标；
40、 （3）分三种情形：B 是直角顶点，C 是直角顶点，P 是直角顶点，分别求解即可 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点， ， ， 抛物线的解析式为 yx22x3； （2）yx22x3（x1）24， 抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1，4） ； （3）如图， B（3，0） ，C（0，3） ， OBOC3， OBCOCB45， 当P1BC90时，P1BO45，可得 P1（1，2） 当P2CB90时，同法可得 P2（1，4） ， 当CPB90时，设 BC 的中点为 J，P（1，m） ， 则有 PJBC， J（，） ， （1）2+（m+）2（）2， 解得 m， P3（1，+） ，P4（1，） ， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（1，2）或（1，4）或（1，+）或（1，） 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型
