1、 第第 1 章全等三角形解答题专练章全等三角形解答题专练 一解答题（共一解答题（共 22 小题）小题） 1如图，ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，满足 CDAB，过点 C 作 CEAB 且 CEBC，连接 DE 并延长，分别交 AC、AB 于点 F、G （1）求证：ABCDCE； （2）若B50，D22，求AFG 的度数 2已知：如图，ABCDCB，12求证 ABDC 3 （2022 秋浦口区校级月考）如图，12，ABAE，ACAD求证：BCED 4 （2022 秋建邺区校级月考）已知：如图，D 是ABC 边 BC 上一点，点 E 在 BC 的延长线上，EFAD于 F，且 EF 平分AE
2、B，BEAC求证： （1）EDEA； （2）AD 是ABC 的角平分线 5如图，ACDF，ABDE，DA求证：BECF 6 （2022 秋南京期中）如图，AB 与 CD 交于点 O，ADCB，AC 求证：OBOD 7 （2021 秋玄武区校级期末）如图，AC、BD 相交于点 O，ABDC，BCE、F 分别为 OB、OC的中点求证OEFOFE 8如图，CAAB，垂足为点 A，AB12 米，AC6 米，射线 BMAB，垂足为点 B，动点 E 从 A 点出发以 2 米/秒沿射线 AN 运动，点 D 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持 EDCB，当点 E 经过多少秒时，由点 D
3、、E、B 组成的三角形与BCA 全等？ 9 （2022 秋溧水区期中）如图，ABCABC，AD 和 AD分别是ABC 和ABC的角平分线 （1）求证：ADAD； （2）把第（1）小题中的结论用文字语言描述： ； （3）写出一条其他类似的结论： 10 （2022 秋玄武区期中）如图，点 C、F 在 BE 上，BFCE，ACDF，AD，判断线段 AB，DE 的数量关系和位置关系，并说明理由 11 （2022 秋玄武区期中）如图，在ABC 中，D，E 是 BC 边上两点，ABAC，BAECAD求证：BDCE 12 （2022 春建邺区校级期末）已知：如图，AD、BF 相交于 O 点，OAOD，ABD
4、F，点 E、C 在 BF上，BECF （1）求证：ABODFO； （2）判断线段 AC、DE 的关系，并说明理由 13 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BADCAE 求证：ABDACE 14 （2021 秋玄武区校级期末）如图，在 RtABC 和 RtEFD 中，ABC90，EFD90，ACED，ACED，垂足为 M连接 EA，连接 EC 并延长交 AB 的延长线于点 G （1）求证ABCEFD； （2）若G45，求证：EAED 15 （2022 秋浦口区校级月考）如图在ABC 中，ABC60AD，CE 分别平分BAC，ACB （1）求EOD 的
5、度数； （2）求证：ODOE 16 （2022 秋秦淮区校级月考）已知，如图，点 B、C、F、E 在同一条直线上，ABDE，BFCE，BE求证：ACDF 17已知：如图，A，F，E，B 四点共线，ACCE，BDDF，AFBE，ACBD请问 BC 和 AD 有怎样的关系？说明理由 18 （2021 秋浦口区校级月考）如图，点 C、E、F、B 在同一直线上，CEBF，ABCD，ABCD （1）求证AD； （2）若 ABBE，B40，求D 的度数 19 【问题背景】 如图 1：在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF60，试探究图中线
6、段 BE、EF、FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 DGBE，连接 AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 【探索延伸】如图 2， 若在四边形 ABCD 中， ABAD，B+D180， E、 F 分别是 BC， CD 上的点，且EAF=12BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由 【学以致用】 如 图 3 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 5 的 正 方形 ， EBF 45 ，直 接 写 出 DEF 的周长 20如图，ABAD，ACAE，BCDE，点 E 在 BC 上 （1）求证：EACBAD； （2）若EAC42
7、，求DEB 的度数 21 （2022 秋江宁区校级月考）如图，已知ABC 中，ABAC6cm，BC，BC4cm，点 D 为 AB的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 lcm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP全等？ （2） 若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发， 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发， 都逆时针沿ABC三边
8、运动，则经过多少时间后，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪一边上相遇？ 22 （2022 春秦淮区期中）如图，正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上任意一点，过点 E 作 EFAC，垂足为 E，交 BC 所在直线于点 F探索 AF 与 DE 之间的数量关系，并说明理由 （1）如图，当 E 是对角线 AC 的中点时，AF 与 DE 之间的数量关系是 （2）小明用“平移法”将 AF 沿 AD 方向平移得到 DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图， 这样就可以将问题转化为探究 DG 与 DE 之间的数量关系 请你按照他的思路， 完成解题过程 参考答案解析参考答案解析 一解
9、答题（共一解答题（共 22 小题）小题） 1如图，ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，满足 CDAB，过点 C 作 CEAB 且 CEBC，连接 DE 并延长，分别交 AC、AB 于点 F、G （1）求证：ABCDCE； （2）若B50，D22，求AFG 的度数 【解答】 （1）证明：CEAB， BDCE， 在ABC 与DCE 中， = = = ， ABCDCE（SAS） ； （2）解：ABCDCE，B50，D22， ECDB50，AD22， CEAB， ACEA22， CED180DECD1802250108， AFGDFCCEDACE1082286 2已知：如图，ABCDCB，12求证
10、 ABDC 【解答】证明：ABCDCB，12， ABC1DCB2， 即DBCACB， 在ABC 和DCB 中， = = = ， ABCDCB（ASA） ， ABDC 3 （2022 秋浦口区校级月考）如图，12，ABAE，ACAD求证：BCED 【解答】证明：12， 1+EAC2+EAC， 即BACEAD， 在ABC 和AED 中， = = = ， ABCAED（SAS） ， BCED 4 （2022 秋建邺区校级月考）已知：如图，D 是ABC 边 BC 上一点，点 E 在 BC 的延长线上，EFAD于 F，且 EF 平分AEB，BEAC求证： （1）EDEA； （2）AD 是ABC 的角平分
11、线 【解答】证明： （1）EF 平分AEB， AEFDEF， EFAD， AFEDFE90， 在AEF 和DEF 中， = = = ， AEFDEF（ASA） ， EAED； （2）AEFDEF， ADEDAE， ADEB+BAD，DAEDAC+EAC， B+BADDAC+EAC， BEAC， BADDAC， AD 是ABC 的角平分线 5如图，ACDF，ABDE，DA求证：BECF 【解答】证明：ACDF， ACBDFE， 在ABC 和DEF 中， = = = ， ABCDEF（AAS） BCEF BCECEFEC， BECF 6 （2022 秋南京期中）如图，AB 与 CD 交于点 O，A
12、DCB，AC 求证：OBOD 【解答】证明：在OCB 和OAD 中， = = = ， OCBOAD（AAS） ， OBOD 7 （2021 秋玄武区校级期末）如图，AC、BD 相交于点 O，ABDC，BCE、F 分别为 OB、OC的中点求证OEFOFE 【解答】证明：在ABO 和DCO 中， = = = ， AOBDCO（AAS） ， OBOC， E、F 分别为 OB、OC 的中点， OE=12OB，OF=12OC， OEOF， OEFOFE 8如图，CAAB，垂足为点 A，AB12 米，AC6 米，射线 BMAB，垂足为点 B，动点 E 从 A 点出发以 2 米/秒沿射线 AN 运动，点 D
13、 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持 EDCB，当点 E 经过多少秒时，由点 D、E、B 组成的三角形与BCA 全等？ 【解答】解：当 E 在线段 AB 上，ACBE 时，ACBBED， AC6， BE6， AE266， 点 E 的运动时间为 623（秒） ； 当 E 在 BN 上，ACBE 时， AC12+618， 点 E 的运动时间为 1829（秒） ； 当 E 在线段 AB 上，ABEB 时，ACBBDE， 这时 E 在 A 点未动，因此时间为 0 秒； 当 E 在 BN 上，ABEB 时，ACBBDE， AE12+1224， 点 E 的运动时间为 24212（秒
14、） ， 故当点 E 经过 0 秒或 3 秒或 9 秒或 12 秒时，由点 D、E、B 组成的三角形与BCA 全等 9 （2022 秋溧水区期中）如图，ABCABC，AD 和 AD分别是ABC 和ABC的角平分线 （1）求证：ADAD； （2）把第（1）小题中的结论用文字语言描述： 全等三角形的对应角的平分线相等 ； （3）写出一条其他类似的结论： 全等三角形的对应边上的高（或中线）相等 【解答】 （1）证明：如图，ABCABC， BB，ABAB，BACBAC， 又AD、AD分别是ABC 和ABC的角平分线， BADBAD， 在ABD 与ABD中， = = = ， ABDABD（ASA） ， A
15、DAD； （2）由（1）中的结论得到：全等三角形的对应角的平分线相等， 故答案为：全等三角形的对应角的平分线相等； （3）同理：全等三角形的对应边上的高（或中线）相等 故答案是：全等三角形的对应边上的高（或中线）相等 10 （2022 秋玄武区期中）如图，点 C、F 在 BE 上，BFCE，ACDF，AD，判断线段 AB，DE的数量关系和位置关系，并说明理由 【解答】解：ABDE，ABDE， 理由：BFCE， BF+CFCE+CF， BCEF， ACDF， ACBDFE， 在ABC 和DEC 中， = = = ， ABCDEC（AAS） ， ABDE，BE， ABDE 11 （2022 秋玄武
16、区期中）如图，在ABC 中，D，E 是 BC 边上两点，ABAC，BAECAD求证：BDCE 【解答】证明：ABAC， BC， BAECAD， BAEDAECADDAE， BADCAE， 在BAD 和CAE 中， = = = ， BADCAE（ASA） ， BDCE 12 （2022 春建邺区校级期末）已知：如图，AD、BF 相交于 O 点，OAOD，ABDF，点 E、C 在 BF上，BECF （1）求证：ABODFO； （2）判断线段 AC、DE 的关系，并说明理由 【解答】 （1）证明：ABDF， BF，BAOFDO， 在ABO 和DFO 中， = = = ， ABODFO（AAS） ；
17、（2）解：ACDE，ACDE，理由如下： ABODFO， BOFO， BECF， EOCO， 在AOC 和DOE 中， = = = ， AOCDOE（SAS） ， ACDE，DACADE， ACDE 13 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BADCAE 求证：ABDACE 【解答】证明：在ABD 和ACE 中， = = = ， ABDACE（SAS） ， ABDACE 14 （2021 秋玄武区校级期末）如图，在 RtABC 和 RtEFD 中，ABC90，EFD90，ACED，ACED，垂足为 M连接 EA，连接 EC 并延长交 AB 的延长线于
18、点 G （1）求证ABCEFD； （2）若G45，求证：EAED 【解答】证明： （1）ABC90，EFD90，ACED， EFDABCAMD，BAC+ACB90BAC+EDF， ACBEDF， 在ABC 和EFD 中， = = = ， ABCEFD（AAS） ； （2）G45，EFAG，ABC90， GFEG45BCG， EFFG，BGBC， ABCEFD， EFAB，DFBC， ABFG， AFBGBCDF， 又EFD90， EAED 15 （2022 秋浦口区校级月考）如图在ABC 中，ABC60AD，CE 分别平分BAC，ACB （1）求EOD 的度数； （2）求证：ODOE 【解答】
19、 （1）解：ABC60， BAC+ACB120， AD，CE 分别平分BAC，ACB， CAD=12BAC，ACE=12ACB， AOC180（CAD+ACE）18012（BAC+ACB）18012120120， EODAOC120， EOD 的度数是 120. （2）在 AC 上截取 CFCD，连接 OF， 在COD 和COF 中， = = = ， CODCOF（SAS） ， ODOF； AOC120，AOECOD180EOD60， COFCOD60， AOFAOCCOF60， AOEAOF， 在AOE 和AOF 中， = = = ， AOEAOF（ASA） ， OEOF， ODOE 16
20、（2022 秋秦淮区校级月考）已知，如图，点 B、C、F、E 在同一条直线上，ABDE，BFCE，BE求证：ACDF 【解答】解：BFCE， BFFCCEFC， 即 BCEF， 在ABC 和DEF 中， = = = ， ABCDEF（SAS） ， ACBDFE， ACFDFC， ACDF 17已知：如图，A，F，E，B 四点共线，ACCE，BDDF，AFBE，ACBD请问 BC 和 AD 有怎样的关系？说明理由 【解答】解：BCAD，理由如下： ACCE，BDDF， ACEBDF90， AFBE， AEBF， 在 RtACE 和 RtBDF 中， = = ， RtACERtBDF（HL） ，
21、CEDF，AECBFD（全等三角形的对应边相等，对应角相等） ， CEBAFD， 在CEB 和DFA 中， = = = ， CEBDFA（SAS） ， BCAD（全等三角形的对应边相等） 18 （2021 秋浦口区校级月考）如图，点 C、E、F、B 在同一直线上，CEBF，ABCD，ABCD （1）求证AD； （2）若 ABBE，B40，求D 的度数 【解答】 （1）证明：ABCD， CB， CEBF， CE+EFFB+EF， 即 CFBE， 在AEB 和DFC 中， = = = ， AEBDFC（SAS） ， AD； （2）解：ABBE， AAEB， B40， AAEB=12（180B）=1
22、2（18040）70， DA70 19 【问题背景】 如图 1：在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF60，试探究图中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 DGBE，连接 AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 EFBE+DF 【探索延伸】如图 2， 若在四边形 ABCD 中， ABAD，B+D180， E、 F 分别是 BC， CD 上的点，且EAF=12BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由 【学以致用】 如 图 3 ， 四 边 形
23、ABCD 是 边 长 为 5 的 正 方形 ， EBF 45 ，直 接 写 出 DEF 的周长 【解答】 （1）解：如图 1， 在ABE 和ADG 中， = = = ， ABEADG（SAS） ， AEAG，BAEDAG， EAF=12BAD， GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF， EAFGAF， 在AEF 和GAF 中， = = = ， AEFAGF（SAS） ， EFFG， FGDG+DFBE+DF， EFBE+DF； 故答案为：EFBE+DF （2）解：结论 EFBE+DF 仍然成立； 理由：如图 2，延长 FD 到点 G使 DGBE连接 AG， 在ABE 和ADG 中
24、， = = = ， ABEADG（SAS） ， AEAG，BAEDAG， EAF=12BAD， GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF， EAFGAF， 在AEF 和GAF 中， = = = ， AEFAGF（SAS） ， EFFG， FGDG+DFBE+DF， EFBE+DF； （3）解：如图 3，延长 DC 到点 G，截取 CGAE，连接 BG， 在AEB 与CGB 中， = = = ， AEBCGB（SAS） ， BEBG，ABECBG EBF45，ABC90， ABE+CBF45， CBF+CBG45 在EBF 与GBF 中， = = = ， EBFGBF（SAS） ，
25、EFGF， DEF 的周长EF+ED+DFAE+CF+DE+DFAD+CD5+510 20如图，ABAD，ACAE，BCDE，点 E 在 BC 上 （1）求证：EACBAD； （2）若EAC42，求DEB 的度数 【解答】 （1）证明：在ABC 和ADE 中， = = = ， ABCADE（SSS） ， BACDAE， BACBAEDAEBAE EACBAD； （2）解：ACAE，EAC42， AECC=12（180EAC）=12（18042）69， ABCADE， AEDC69， DEB180AEDC180696942 21 （2022 秋江宁区校级月考）如图，已知ABC 中，ABAC6cm
26、，BC，BC4cm，点 D 为 AB的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 lcm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP全等？ （2） 若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发， 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发， 都逆时针沿ABC三边运动，则经过多少时间后，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪一边上相遇？ 【解答】解： （
27、1）设运动的时间为 ts，则 BPtcm， BPDCQP， 理由：点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等， BPCQtcm， 当 t1 时，BPCQ1cm， ABAC6cm，BC，BC4cm，点 D 为 AB 的中点， BD=12AB3cm，CP413（cm） ， 在BPD 和CQP 中， = = = ， BPDCQP（SAS） 点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等， BPCQ， 设点 Q 的速度为 vcm/s， BC， BPCP2cm，且 CQBD3cm， t2， 2v3， v=32， 在BPD 和CPQ 中， = = = ， BPDCPQ（SAS） ， 当点 Q 的运动速度为3
28、2cm/s 时，BPDCPQ （2）设经过 ts 点 P 与点 Q 第一次相遇， 根据题意得32tt+6+6， 解得 t24， ABC 的周长为 6+6+416（cm） ， 124161（周）8（cm） ， 经过 24 秒，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的 AC 边上相遇 22 （2022 春秦淮区期中）如图，正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上任意一点，过点 E 作 EFAC，垂足为 E，交 BC 所在直线于点 F探索 AF 与 DE 之间的数量关系，并说明理由 （1）如图，当 E 是对角线 AC 的中点时，AF 与 DE 之间的数量关系是 AF= 2DE （2）小明用“平移
29、法”将 AF 沿 AD 方向平移得到 DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图， 这样就可以将问题转化为探究 DG 与 DE 之间的数量关系 请你按照他的思路， 完成解题过程 【解答】解： （1）AF= 2DE，理由如下： 四边形 ABCD 是正方形，E 是对角线 AC 的中点， ACBD，AEBECEDE， AB2AE2+BE2， AB22DE2， B 点与 F 点重合， AF22DE2， AF= 2DE； 故答案为：AF= 2DE； （2）如图，过点 E 作 MNCD 交 AD 于点 N，交 BC 于点 M， 四边形 ABCD 是正方形， DABBBCDADC90，ABBCCDDA，ACB45， NMC180DCM90， 四边形 MCDN 是矩形， NDMC，MNCD，DNE90， EFAC， CEF 是等腰直角三角形， EMFMCM， EMDN， 由平移可知：BFCG，AFDG， BF+FMCG+MC， BMMG， NEMNEM，BMBCCM，MNCDBC， NEBMMG， 在DNE 和EMG 中， = = = 90 = ， DNEEMG（SAS） ， DEEC，DENEGM， EGM+MEG90， DEN+MEG90， DEG1809090， DEG 为等腰直角三角形， DG= 2DE
