1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 1919 讲讲 锐角三角函数锐角三角函数 一、单选题一、单选题 1如图，已知ABC 内接于半径为 1 的O，BAC=（ 是锐角） ，则ABC 的面积的最大值为( ) Acos(1+cos) Bcos(1+sin) Csin(1+sin) Dsin(1+cos) 2一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知 BC=6m.ABC=.则房顶 A 离地面 EF 的高度为（ ） A(4 + 3sin) B(4 + 3tan) C(4 +3sin) D(4 +3tan) 3 （2022 丽水）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中点，AF 平分
2、EAD 交 CD 于点 F，FGAD 交 AE 于点 G，若 cosB 14 ，则 FG 的长是（ ） A3 B83 C2153 D52 4 （2022 瑞安模拟）某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面 ABCD 是一个轴对称图形（如图所示）.若渠底宽 BC 为 2m，渠道深 BH 为 3m，渠壁 CD 的倾角为 ，则渠口宽 AD 为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A （ 2 + 3 tan ）m B （ 2 + 6 tan ）m C （ 2 +3tan ）m D （ 2 +6tan ）m 5 （2022 嵊州模拟）如图，在ABCD 中， E 为 BC 边上的点，满足 BE= 5CE，若四边形
3、 AEDF 为正方形，则 tanB 的值为（ ） A1 B32 C2 D52 6 （2022 鹿城模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示. 若 = 1 ， 则 DF 的长为 （ ） Atantan Btantan Csinsin Dsinsin 7 （2022 洞头模拟）如图 1 是放置在水平地面上的落地式话筒架.图 2 是其示意图，主杆 AB 垂直于地面，斜杆 CD 固定在主杆的点 A 处，若CAB=， AB=120cm，AD=40cm，则话筒夹点 D 离地面的高度 DE 为（ ）cm 学科网（北京）股份有限公司 A120 + 40 B120 + 40 C120 +40 D120 +40 8
4、（2022 温州模拟）如图，旧楼的一楼窗台高为 1 米，在旧楼的正南处有一新楼高 25 米.已知某日中午12 时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ） A24sin米 B24cos米 C24tan米 D24tan米 9 （2022 鹿城会考）消防云梯如图所示，ABBC 于 B，当 C 点刚好在 A 点的正上方时，DF 的长是.（ ） Acos + sin Bcos + tan Ccos+ sin Dcos+sin 10 （2022 宁波模拟）如图 1，以 的各边为边向外作等边三角形，编号分别为，如图 2，将，叠放在中，若四边形与的面积之比是
5、16164，则sin的值是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A817 B815 C513 D35 二、填空题二、填空题 11 （2022 温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点 M 在旋转中心 O的正下方。 某一时刻， 太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、 OB ， 此时各叶片影子在点 M 右侧成线段 CD ，测得 MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为 23，则点 O，M 之间的距离等于 米转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米 12 （2022 绍兴）如图， AB=10，点 C 在射线 BQ 上的动点，连结 AC，作 CDAC
6、， CD=AC ，动点 E 在 AB 延长线上， tanQBE=3，连结 CE， DE ，当 CE=DE， CEDE 时， BE 的长是 13（2022 萧山模拟）如图， 在 中， =14 ， =12 ， = 4 ， 则 的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 14 （2022 杭州模拟） 如图， 在菱形 A B C D 中， tan =43， 分别在边 A D， B C 上， 将四边形 A M N B 沿 M N 翻折， 使 A B 的对应线段 E F 经过顶点 ， 当 时， 的值为 . 15 （2022 椒江模拟）如图， BD 是矩形 ABCD 的对角线， CEBD 于点 E， 连接 AE
7、， 已知tan=2，则tan = . 16 （2022 温州模拟）如图是一个矩形足球球场，AB 为球门， 于点 D， = 米.某球员沿 CD带球向球门 AB 进攻，在 Q 处准备射门.已知 = 3米， = 3米.则tan = ；已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为 0.25a 米，此时门将站在张角内，双臂伸开 MN且垂直于 AQ 进行防守，MN 中点与 AB 距离 米时，刚好能成功防守. 17（2022 建德模拟）如图， 在 中， sin =14 ， tan =12 ， = 4 ， 则 的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 18 （2022 富阳模拟）矩形纸片 ABCD 中，BC=
8、2AB，将纸片对折，使顶点 A 与顶点 C 重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点 B 与顶点 D 重合，得折痕 MN，展开铺平后如图所示.若折痕 EF 与 MN 较小的夹角记为 ，则 sin= . 19 （2022 余杭模拟）在 Rt 中， = 90，若 = 4， =35，则斜边上的高等于 . 20 （2022 定海模拟）点 G 为 ABC 的重心（三角形三条中线的交点） ，BC12，A60 . （1）若C30 ，则 BG . （2）BG 的最大值为 . 三、计算题三、计算题 21 （2022 金东模拟）计算： ( 5)0+ (12)1 2sin30 + | 9| 22 （20
9、22 龙游会考）计算：(2022)0 2sin45 + | 2| 4 23 （2022 定海模拟）计算：cos245 + cos302sin60+13 tan30 . 24 （2022 兰溪模拟）计算： 2cos60 (12)2+ |3 1| + (2022)0 . 25 （2022 吴兴模拟）计算：(2)2+ 12 2sin60 四、综合题四、综合题 26 （2022 嘉兴）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图 1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图 2，已知 ADBE10cm，CDCE5cm，ADCD，BECE，DCE40 学科网（北京）股份有限公司 （1）连结 DE，求线段
10、DE 的长 （2）求点 A，B 之间的距离 （结果精确到 0.1cm 参考数据： sin200.34， cos200.94， tan200.36， sin400.64， cos400.77，tan400.84） 27 （2022 杭州）在正方形 ABCD 中，点 M 是边 AB 的中点，点 E 在线段 AM 上（不与点 A 重合） ，点 F 在边 BC 上，且 AE=2BF，连接 EF，以 EF 为边在正方形 ABCD 内作正方形 EFGH （1）如图 1若 AB=4，当点 E 与点 M 重合时，求正方形 EFGH 的面积 （2）如图 2已知直线 HG 分别与边 AD，BC 交于点 I，J，射
11、线 EH 与射线 AD 交于点 K 求证：EK=2EH； 设AEK=，FGJ 和四边形 AEHI 的面积分别为 S1、S2 求证： 21 =4sin2-1 28 （2022 温州）如图，在ABC 中， ADBC 于点 D、E、F 分别是 AC、AB 的中点，O 是 DF 的中点， EO 的延长线交线段 BD 于点 G，连结 DE、EF、FG （1）求证：四边形 DEFG 是平行四边形 （2）当 AD=5，tanEDC=52=时，求 FG 的长 29 （2022 奉化模拟）图 1 是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图 2 是其侧面的示意图，其中 学科网（北京）股份有限公司 支杆 = = 2
12、0 ，可绕支点 C，B 调节角度，DE 为手机的支撑面， = 18 ，支点 A 为DE 的中点，且 （1）若支杆 BC 与桌面的夹角 = 70 ，求支点 B 到桌面的距离； （2） 在 （1） 的条件下， 若支杆 BC 与 AB 的夹角 = 110 ， 求支撑面下端 E 到桌面的距离（结果精确到 1cm，参考数据： sin70 0.94 ， cos70 0.34 ， tan70 2.78 ， sin40 0.64 ， cos40 0.77 ， tan40 0.84 ） 30 （2022 奉化模拟）如图 1， ABC 中， = ， 其外接圆为 ， 半径为 5， = 8 ，点 M 为优弧 BMC
13、的中点，点 D 为 BM 上一动点，连结 AD，BD，CD，AD 与 BC 交于点 H （1）求证： ； （2）若 ： = 2：3 ，求 CD 的长； （3）如图 2，在（1）的条件下，E 为 DB 为延长线上一点，设 ： = ， tan2 = 求 y 关于 x 的函数关系式； 如图 3， 连结 AM 分别交 BC， CD 于 N、 P， 作 于 D， 交 AB 于 F， 若BFN 面积为ACP面积的 35 ，求 x 的值 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：当ABC 的高经过圆心时即点 A 和点 A重合时，此时ABC 的面积最大， 学科网（北京）股份有限公司 ADB
14、C， BC=2BD，BOD=BAC=， 在 RtBOD 中， BD=OBsin=sin，OD=OBcos=cos， BC=2sin，AD=1+cos =12 =12 2sin(1+ cos)= sin(1+ cos). 故答案为：D. 【分析】当ABC 的高经过圆心时即点 A 和点 A重合时，此时ABC 的面积最大，利用垂径定理和圆周角定理可证得 BC=2BD，BOD=BAC=，利用解直角三角形表示出 BD，OD 的长，由此可得到AD，BC 的长；然后利用三角形的面积公式可求出ABC 的最大面积. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 ADBC 交于点 H，交 EF 于点 Q
15、， 配电房是轴对称图形，BC=6m， BH=HC=3m， 在 RtAHB 中，ABH=， AH=3tan m， HQ=4m， AQ=AH+HQ=（3tan+4）m， 即房顶 A 离地面 EF 的高度（3tan+4）m. 故答案为：B. 【分析】如图，过点 A 作 ADBC 交于点 H，交 EF 于点 Q，由轴对称图形性质，可得 BH=HC=3m，再由锐角三角函数正切关系，求得 AH=3tan m，从而得 AQ=（3tan+4）m，即可求得房顶 A 离地面 学科网（北京）股份有限公司 EF 的高度. 3 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 AH 垂直 BC 于点 H，延长 FG
16、交 AB 于点 P， 由题意可知，AB=BC=4，E 是 BC 的中点， BE=2， cosB= 14 ， BH=1=12BE， H 是 BE 的中点， AB=AE=4， 又AF 是DAE 的角平分线，ADFG， FAG=AFG， AG=FG， 又PFAD， APDF， PF=AD=4， 设 FG=x，则 AG=x，EG=PG=4-x， PFBC， AGP=AEB=B， cosB=cosAGP=12=22=14， 解得 x=83. 故答案为：B. 【分析】过点 A 作 AH 垂直 BC 于点 H，延长 FG 交 AB 于点 P，cosB= 14 ，推出 H 是 BE 的中点，根据条件求出 AG
17、=FG， EG=GP，设 FG=x，则 AG=x，EG=PG=4-x，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出AGP=B，根据 cosAGP=14建立方程，即可求出 FG 的长. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：过点 C 作 CEAD 交 AD 于点 E，如图， 学科网（北京）股份有限公司 由题可知 = = 3 m， ， = = 2 m， = ， = ， 在 中， tan = tan = ， =tan=3tan (m)， = + + =3tan+ 2 +3tan= 2 +6tan (m). 故答案为：D. 【分析】过点 C 作 CEAD 交 AD 于点 E，由题意得 CE=BH=3m，AD
18、BC，HE=BC=2m，AH=DE，根据平行线的性质可得CDE=，根据三角函数的概念可得 DE，然后根据 AD=AH+HE+DE 进行解答. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接 FE，交 AD 与 G，过 A 点作 AHBC 于点 H， 四边形 AEDF 为正方形 ADFE FGBC 又 AHBE，AHAD 四边形 AHEG 为矩形 又 AG=GE 矩形 AHEG 为正方形 AH=HE 设 EC=x 学科网（北京）股份有限公司 则 BE=5x BC=AD=6x AH=GE=HE=3x BH=BE-CE=5x-3x=2x tanB=32=32 故答案为：B. 【分析】连接 FE，交
19、AD 与 G，过 A 点作 AHBC 于点 H，根据正方形的性质可得 ADFE，推出四边形 AHEG 为正方形， 则 AH=HE， 设 EC=x， 则 BE=5x， BC=AD=6x， AH=GE=HE=3x， BH=BE-CE=2x，然后根据三角函数的概念进行计算. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示， 在 RtAEB 中，AE=1，BAE=， BE=AEtan=tan， CF=tan， 在 RtDFC 中，FDC=， DF=tan=tantan. 故答案为：A. 【分析】在 RtAEB 中，根据BAE 的正切三角函数，求得 BE=tan，根据矩形的性质得 CF=tan，在 RtD
20、FC 中，根据FDC 的正切三角函数，即可求得 DF=tantan. 7 【答案】B 【解析】【解答】解：过 A 作 AHDE 于 H，如图所示， 由题意知，ABDE，四边形 ABEH 为矩形， 学科网（北京）股份有限公司 D=，AB=EH=120（cm） ， 在 RtADH 中，DH=AD cosD=40cos（cm） ， DE=DH+EH=120+40cos（cm）. 故答案为：B. 【分析】过 A 作 AHDE 于 H，由题意知：ABDE，四边形 ABEH 为矩形，根据平行线的性质可得D=CAB=，根据矩形的性质可得 AB=EH=120cm，根据三表函数的概念可得 DH，然后根据DE=D
21、H+EH 进行计算. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，过点 B 作 BCAD 于点 C， 则ABC=，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24， tan = tan =24， =24tan. 故答案为：D. 【分析】过点 B 作 BCAD 于点 C，则ABC=，AC=AD-CD=AD-BE=24，然后根据三角函数的概念进行解答. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：连接 CA，如图， 由题可知四边形 CAF是矩形， CAAF，EF=CA， + = 90， 学科网（北京）股份有限公司 ABBC， + = 90， = ， 在 RtABC 中，cos =， = =cos=cos， 在
22、 RtCDE 中，sin =， = sin = sin， = + = sin +cos. 故答案为：C. 【分析】连接 CA，由题意可知四边形 CAF是矩形，则 CAAF，EF=CA，根据同角的余角相等可得=BCA，根据三角函数的概念可得 EF、DE，然后根据 DF=DE+EF 进行计算. 10 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意知BEF 是等边三角形， 作 FHBE 于点 H，如图， BEF 是等边三角形， BEF60 ，BEEFBF， FHBE， FHE90 ， FHsin = sin6032BE， =12 =342， 设BEF 边长为 b，则 ACb，BCD 边长为 ，BGH 边长为
23、 c，则 ABc， =342， 同理可得=342，=342， 四边形= =342342=34(2 2)， 学科网（北京）股份有限公司 四边形= =342342=34(2 2)， ABC 是直角三角形， 2+ 2= 2， 2= 2 2， 四边形四边形=2222=22216164 ， 22=22564， =158， 设 c15，b8， 则 = 2+ 2= 17 ， sin=817=817 . 故答案为：A. 【分析】 由题意知BEF 是等边三角形， 作 FHBE 于点 H， 根据等边三角形的性质可得 BEF60 ，BEEFBF，则FHE90 ，根据三角函数的概念表示出 FH，得到 SBEF，设BE
24、F 边长为 b，则ACb，BCD 边长为 a ，BGH 边长为 c，则 ABc，表示出 SBEF、SBCD、SBGH，根据 S四边形EGHF=SBGH-SBEF，S四边形GDCH=SBCD-SBGH表示出 S四边形EGHF，S四边形GDCH，由勾股定理可得 b2=a2-c2，代入求解可得=158，设 c15k，b8k，由勾股定理可得 a，然后根据三角函数的概念进行计算. 11 【答案】10；10 + 13 【解析】【解答】解：设 AC 与 OM 交于点 H，过点 C 作 CNBD 于 N， HCEG， HCMEGF， CMHEFG90 ， HMCEFG， 23， 学科网（北京）股份有限公司 8
25、.523 173， BDEG， BDCEGF， tanBDCtanEGF， 23， 设 CN2x，DN3x，则13 = 13， 解之： = 13， 213， 1213， 在 RtAHO 中，AHOCHM=DCN， sin=313=13， 解之：133， 13317310， 以点 O 为圆心，OA 的长为半径作圆，当 OB 与 OM 共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于 OB+OM=（10 + 13）米 故答案为：10， （10 + 13）. 【分析】 设 AC 与 OM 交于点 H， 过点 C 作 CNBD 于 N， 利用平行线的性质可证得HCMEGF，利用有两组对应角分别相等的两
26、三角形相似，可证得HMCEFG，利用相似三角形的对应边成比例可求出 HM 的长；利用平行线的性质可得到BDCEGF，从而可推出 tanBDCtanEGF，可得到 CN 与 DN 的比值，设 CN2x，DN3x，利用勾股定理表示出 CD 的长，利用 CD 的长建立关于x 的方程，解方程求出 x 的值，可得到 AB，OA 的长；在 RtAHO 中，AHOCHM，利用锐角三角函数的定义可求出 OH 的长，根据 OM=OH+HM，代入计算求出 MO 的长；以点 O 为圆心，OA的长为半径作圆，当 OB 与 OM 共线时，叶片外端离地面的高度最大，然后求出其最大高度. 12 【答案】5 或 354 【解
27、析】【解答】解：过点 C 作 CTAE 于点 T，过点 D 作 DJCT 交 CT 的延长线于点 J，连接 EJ 学科网（北京）股份有限公司 tan= 3， 设 BTk，CT3k， CATACT90 ，ACTJCD90 ， CATJCD， 在ATC 和CJD 中， ATCCJD（AAS） ， DJCT3k，ATCJ10k， CJDCED90 ， C，E，D，J 四点共圆， ECDE， CJEDJE45 ， ETTJ102k， 222（22）2 （3）2（10 2）222 (3)2(10)22， 4k225k250， （k5） （4k5）0， k15，k2=54， 当 k=5 时，BEBTETk
28、102k10k5， 当 k=54时 BE10-54=354. BE 的长为 5 或354 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：5 或354 【分析】过点 C 作 CTAE 于点 T，过点 D 作 DJCT 交 CT 的延长线于点 J，连接 EJ，利用锐角三角函数的定义可得到= 3，设 BTk，CT3k，利用余角的性质可证得CATJCD，利用 AAS证明ATCCJD，利用全等三角形的性质可得到 DJCT3k，ATCJ10k；由CJDCED90 ，可推出 C，E，D，J 四点共圆，利用含 k 的代数式表示出 ET 的长，利用勾股定理建立关于 k的方程，解方程求出 k 的值；然后求出 BE 的长.
29、 13 【答案】5 【解析】【解答】解：过点 A 作 ADBC，垂足为 D ， 在 中， =14 ， = 4 ， = = 4 14= 1 ， 在 中， =12 ， =112= 2 ， = 2+ 2= 12+ 22= 5. 故答案为： 5 . 【分析】过点 A 作 ADBC，垂足为 D，根据三角函数的概念可得 AD、DC，然后利用勾股定理进行计算. 14 【答案】72 【解析】【解答】解：延长 NF 交 CD 于 H 点， ADF = 90 ， A+FDH=90 ， DFN+DFH= 180 ， A+B= 180 ， B=DFN， A=DFH， 学科网（北京）股份有限公司 FDH+DFH=90
30、， NHDC， 设 DM=4k，DE=3k， EM= 5k， AD=9k=DC，DF=6k， tanA= tanDFH=， 则 sinDFH=45， DH=45DF=245k， CH=9k-245k=215k， cosC=cosA=35， CN=53CH=7k， BN=2k， =72. 故答案为：72. 【分析】 延长 NF 与 DC 交于点 H， 利用翻折变换的性质求出 NHDC， 设 DM=4k， DE=3k， EM=5k，利用三角函数表示出 BN，CN 的长，从而求出结果. 15 【答案】23 【解析】【解答】解：过点 A 作 AFBD 于 F，设 BF=a， RtABF 中，tanAB
31、F=2，则 AF=2a，AB=2+ 2=5， RtABD 中，tanABD=2，则 AD=25，BD=2+ 2=5a， ABCD 是矩形， AB=CD，ABCD， ABF=CDE， 又AFB=CED=90 ， 学科网（北京）股份有限公司 ABFCDE（AAS） ， BF=DE=a， EF=BD-BF-DE=3a， RtAFE 中，tanAEF=23. 故答案为：23； 【分析】过点 A 作 AFBD 于 F，设 BF=a，根据三角函数的概念可得 AF，AD，利用勾股定理可得AB、BD，根据矩形以及平行线的性质可得ABF=CDE，证明ABFCDE，得到 BF=DE=a，则EF=BD-BF-DE=
32、3a，然后根据三角函数的概念进行计算. 16 【答案】17；3720 【解析】【解答】解：过点 B 作 ， ， ， = ， ， =， = + = + 3 = 4， = 3， = 2+ 2= 5， = 2+ 2= 32， 5=3， =35， = 2 2= (32)2 (35)2=215， tan =35215=321=17， 故答案为：17 如图，作/，/， ， 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， = 0.25 =4， =354=125， =125=215125=74， =125=32125=524， /， ， =574=32， =21220， = =52421220=25， /，/， ，
33、=， =12， =12 =1225=210， = = 32 524=724， = + =724+210=37220， ， ， =12(37220)2=3720. 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：3720. 【分析】过点 B 作 BEAQ，易证AEBADQ，由题意可得 AD=4a，DQ=3a，根据勾股定理可得AQ、BQ，利用相似三角形的性质可得 BE，根据勾股定理可得 EQ，然后根据三角函数的概念可得 tanAQB 的值；作 MKAD，HGAD，GFAD，证明BEQNMQ，根据相似三角形的性质可得MQ、NQ，证明ABQMKQ，根据相似三角形的性质可得 KQ，然后表示出 NK，证明HNQMN
34、K， 根据相似三角形的性质可得 NG， 由 BN=BQ-NQ 可得 BN， 由 BG=BN+NG 可得 BG， 证明BFGBDQ，根据相似三角形的性质可得 FG. 17 【答案】5 【解析】【解答】解：过 A 作 ， 在 中， sin =14 ， = 4 ， = sin = 1 ， 在 中， tan =12 ， =12 ，即 = 2 ， 根据勾股定理得： = 2+ 2= 1 + 4 = 5 . 故答案为： 5 . 【分析】过 A 作 ADBC，根据三角函数的概念可得 AD、CD，然后利用勾股定理进行计算. 18 【答案】45 【解析】【解答】解：如图，连接 AC、BM、DN、CE，过点 M 作
35、 于点 G， 由折叠可知： ， = ， = ， = ， / ， = ， 四边形 ABCD 是矩形， 学科网（北京）股份有限公司 = ， = ， = = = 90 ， 设 = ， = ， = = 2 ， = = 2 ， = 2+ 2= 2+ (2)2= 5 ， =12 =52 ， 2+ 2= 2 ， 2+ 2= (2 )2 ， =34 ， =34 ， 设 = ，则 = ， = 2 ， 2+ 2= 2 ， 2+ (2 )2 = 2 ， =54 ， =54 ， = 2 2=(54)2 (52)2=54 ， 54=3454=52 ， =3520 ， =3510 ， = =523510=55 ， = 2
36、+ 2=(3520)2+ (55)2=54 ， sin = =5554=45 ， = = 90 ， / ， = = ， sin =45 故答案为： 45 . 学科网（北京）股份有限公司 【分析】连接 AC、BM、DN、CE，过点 M 作 MGAC 于点 G，由折叠的性质得 EFAC，AO=CO， MB=MD，AE=CE，则 MGOE，由矩形性质得 AD=BC，AB=CD，ABC=BAM=ADC=90 ， 设 AM=x，AB=a，则 BC=AD=2a，MB=MD=2a-x，根据勾股定理表示出 AC，然后在 RtABM 中，根据勾股定理可得 x，设 AE=y，则 CE=y，DE=2a-y，根据勾股
37、定理表示出 y，进而可得 OE、MG、AG、OG、OM。利用三角函数的概念求出 sinGMO，根据平行线的性质可得GMO=MOE=，据此计算. 19 【答案】4825 【解析】【解答】解： = 4，sin =35 =125 = 2 2=165 斜边上的高 =4825 故答案为：4825. 【分析】由sin =35可求出 =125，利用勾股定理求出 AC 的长，根据三角形的面积可得斜边上的高 =，据此计算即可. 20 【答案】（1）833 （2）421+433 【解析】【解答】解： （1）延长 BG 交 AC 于点 D，连接并延长 AG，CG，分别交 BC，AB 于点 F，E，过点 C 作 CH
38、BD，交 AF 延长线于点 H，则BCH=CBG， BF=CF，BFG=CFH， BFGCFH(ASA)， BG=CH， D 是 AC 中点， G 是 AH 中点， 学科网（北京）股份有限公司 DG=12CH=12BG， BD=BG+DG=32BG， BG=23BD， BAC=60 ， 当ACB=30 时，ABC=90 ， =233 =233 12 = 83， =12 = 43， =23 =833； 故答案为：833； （2）当 BG 通过点 G 的轨迹圆的圆心时，BG 最大， 过 G 作 GM 与 AB 平行，过 G 作 GN 与 AC 平行，分别交 BC 于点 M、N， 则MGN=60 ，
39、且 FM= 13BF=2，FN= 13CF=2， FM=FN，MN=4， 点 G 在以 MN 为弦的圆上运动，设圆心为点 P，点 O 为ABC 的外心，连接 PF，PM，PN， 则MPN=2MGN=120 ，PFMN，PM=PN， PMN=PNM= 12 (180 -MPN)=30 ， =33 =233， = =233 =433， = 2+ 2=62+ (233)2=4213， = + =421+433， 故 BG 的最大值为421+433. 故答案为：421+433. 【分析】 （1）延长 BG 交 AC 于点 D，连接并延长 AG，CG，分别交 BC，AB 于点 F，E，过 C 作 CH
40、学科网（北京）股份有限公司 BD，交 AF 延长线于点 H，则BCH=CBG，易证BFGCFH，得到 BG=CH，推出 DG 为是三角形 ACH 的中位线，得到 DG=12CH=12BG，则 BD=32BG，当ACB=30 时，ABC=90 ，然后求出AC、BD，进而可得 BG； （2） 当 BG 通过点 G 的轨迹圆的圆心时， BG 最大， 过 G 作 GM 与 AB 平行， 过 G 作 GN 与 AC 平行，分别交 BC 于点 M、N，则MGN=60 ，且 FM= 13BF=2，FN= 13CF=2，FM=FN，MN=4，设圆心为点P，点 O 为ABC 的外心，连接 PF，PM，PN， 由
41、圆周角定理可得MPN=2MGN=120 ，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得PMN=PNM=30 ，利用三角函数的概念可得 PF、PG，由勾股定理求出 BP，然后根据 BG=BP+PG 进行计算. 21 【答案】解：原式=1+2-212+3=5. 【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入，再根据零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质进行化简，再进行计算，即可得出答案. 22 【答案】解：原式1 2 + 2 2 1 2， 故答案为：1 2. 【解析】【分析】根据 0 次幂的运算性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及算术平方根的概念可得原式=1-222+2-2，然后计算乘法，再计
42、算加减法即可. 23 【答案】解：原式=（ 22 ）2+ 32232+1 3 33 = 12 + 334 1 = 134 . 【解析】【分析】先将特殊角三角函数值代入，再利用二次根式的混合运算计算即可. 24 【答案】解： 2cos60 (12)2+ |3 1| + (2022)0 = 2 12 4 + 3 1 + 1 = 1 4 + 3 1 + 1 = 3 3 . 【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，根据 0 次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可. 25 【答案】解：(2)2+ 12 2sin60 =4 + 23 2 32 学科网（北京）股
43、份有限公司 =4 + 23 3 =4 + 3 【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，进而根据有理数的乘方运算法则及二次根式的性质分别计算，再合并同类二次根式即可. 26 【答案】（1）解：如图 2，过点 C 作 CFDE 于点 F， CD=CE=5cm，DCE=40 ， DCF=ECF=20 ，DF=EF=12DE， 在 RtDFC 中，sin20 =50.34， DF=1.7cm， DE=2DF=3.4cm. （2）解：如图 2，连接 AB，过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHAB 于点 H， AGD=90 ， 由题意可得：CF 垂直平分 AB， DGCF， GDC=DCF
44、=20 ， 又ADCD， A+ADG=GDC+ADG=90 ， A=GDC=20 ， 在 RtAGD 中，AD=10cm，cos20 =100.94， AG=9.4， 同理可得：HB=9.4， AB=AG+GH+HB=AG+DE+HB=9.4+3.4+9.4=22.2cm. 答：点 A、B 之间的距离为 22.2cm. 【解析】【分析】 （1）如图 2，过点 C 作 CFDE 于点 F，由等腰三角形性质可得DCF=ECF=20 ， 学科网（北京）股份有限公司 DF=EF=12DE，再根据锐角三角函数定义，即在 RtDFC 中，sin20 =50.34，求得 DF 的长，进而求得 DE 的长；
45、（2）如图 2，连接 AB，过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHAB 于点 H，AGD=90 ，由题意得 CF 垂直平分 AB，从而得 DGCF，进而得GDC=DCF=20 ，通过角互余等量代换得A=GDC=20 ， 由 cos20 =100.94，求得 AG=9.4，同理得 HB=9.4，最后由 AB=AG+GH+HB 代入数据计算即可求解. 27 【答案】（1）解：由题意，得 AE=BE=2， AE=2BF， BF=1， 由勾股定理，得 EF2=BE2+BF2=5， 正方形 EFGH 的面积为 5. （2）证明：由题意，知KAE=B=90 ， EFB+FEB=90 ， 四边
46、形 EFGH 是正方形， HEF=90 ， KEA+FEB=90 ， KEA=CEFB， KEAEFB， = =2 EK=2EF=2EH 解：由得 HK=GF， 又KHI=FGJ=90 ，KIH=FJG， KHIFGJ KHI 的面积为 S1 由题意，知KHIKAE， 1+21= ()2=422 =4sin2， 21 =4sin2-1 【解析】【分析】 （1）当点 E 与点 M 重合时，可求出 AE，BE 的长，利用 AE=2BF，可求出 BF 的长；然后利用勾股定理求出 EF2，即可得到正方形 EFGH 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 （2）利用已知和正方形的性质可证得KAE=B=90
47、 ，KEA+FEB=90 ，利用余角的性质可证得KEA=CEFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得KEAEFB，利用相似三角形的对应边成比例可证得结论； 由得 HK=GF，利用 AAS 证明KHIFGJ；然后证明KHIKAE，由此可证得1+21=()2=422= 4sin2 =4sin2，即可证得结论. 28 【答案】（1）证明：E，F 分别是 ， 的中点， ， = ， = O 是 的中点， = ， () ， = ， 四边形 是平行四边形 （2）解： ，E 是 中点， =12 = ， = ， tan = tan =52 ，=52 = 5 ， = 2 =12 =122+ 2=125
48、2+ 22=292 由 得 = =292 【解析】【分析】 （1）利用已知可知 EF 是ABC 的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 EFBC；再利用平行线的性质可证得FEO=DGO，EFO=GDO，利用线段中点的定义可证得 FO=DO；利用 AAS 可证得EFOGDO，利用全等三角形的对应边相等，可证得 EF=GD；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论. （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得 DE=EC，利用等边对等角可证得EDC=C；利用锐角三角形的定义可求出 CD 的长；利用勾股定理求出 AC 的长，即可得到 DE 的长；然后利用平行四边形的对
49、边相等，可求出 FG 的长. 29 【答案】（1）解：如图，过 B 作 BFCM 于点 F， 在 RtBCF 中，BCF=70 ， = sin70， 学科网（北京）股份有限公司 BF=200.9419cm.， 点 B 到桌面距离为 19cm. （2）解：如图，过点 A 作 AGGM 与点 G，过 B 作 BHAG 于点 H，过 E 作 EKAG 于点 K， ， = = 70， = 110， = 40 = 90， = 40，AE=12DE=12 18=9cm， = sin40，= cos40， = 20 0.64 = 12.8， = 9 0.77 = 6.93， = + = 12.8 6.93
50、+ 19 25. 答：支撑面下端 E 到桌面的距离大约为 25cm. 【解析】【分析】 （1）如图，过 B 作 BFCM 于点 F，在 RtBCF 中，BCF=70 ，利用正弦关系求得BF 的长度即可得出点 B 到桌面距离； （2）如图，过点 A 作 AGGM 与点 G，过 B 作 BHAG 于点 H，过 E 作 EKAG 于点 K，利用垂线和平行线的性质推出EAB=90 ，EAK=40 ，从而得= sin40，= cos40，代入数据计算出AH 和 AK 的长度，再由 EG=AH-AK+HG 代入数据计算既可口得出支撑面下端 E 到桌面的距离. 30 【答案】（1）证明：AB=AC， = ，
