1、 专题专题 23 23 锐角三角函数锐角三角函数 一、单选题一、单选题 1数学活动小组到某广场测量标志性建筑 AB 的高度如图，他们在地面上 C 点测得最高点 A 的仰角为 22 ，再向前 70m 至 D 点，又测得最高点 A 的仰角为 58 ，点 C，D，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ） （精确到 1m参考数据：sin22 0.37，tan22 0.40，sin58 0.85，tan58 1.60） A28m B34m C37m D46m 2下列计算结果，正确的是（ ） A(2)3= 5 B8 = 32 C83= 2 Dcos30 =12 3 （2022 天桥模拟）如图 1
2、 是一台手机支架，图 2 是其侧面示意图，可分别绕点 A，B 转动，测量知 = 8， = 16当，转动到 = 60， = 50时，点 C 到的距离是（ ） （结果保留小数点后一位，参考数据：sin70 0.94，3 1.73） A13.8 B7.5 C6.1 D6.3 4（2022 济南模拟）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想， 某森林保护区开展了寻找古树活动 如图，在一个坡度（或坡比）=1：2.4 的山坡 AB 上发现有一棵占树 CD测得古树底端 C 到山脚点 A的距离 AC=26 米，在距山脚点 A 水平距离 6 米的点 E 处，测得古树顶端 D 的仰角AED=48 （古树CD 与山
3、坡 AB 的剖面、 点 E 在同一平面上， 古树 CD 与直线 AE 垂直） ， 则古树 CD 的高度约为 （ ）（参考数据：sin480.73，cos8 0.67，tan481.11） A17.0 米 B21.9 米 C23.3 米 D33.3 米 5 （2022 商河模拟）如图，为测量学校旗杆 AB 的高度，小明从旗杆正前方 3 米处的点 C 出发，沿坡度为 = 1：3的斜坡 CD 前进23米到达点 D， 在点 D 处放置测角仪， 测得旗杆顶部 A 的仰角为 37 ，量得测角仪 DE 的高为 1.5 米，A、B、C、D、E 在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直，则旗杆 AB 的高度为（
4、 ） （精确到 0.1） （参考数据：sin37 0.60，cos37 0.80，tan37 0.75，3 1.73） A6.7 B7.7 C8.7 D8.5 6 （2022 惠民模拟）如图， 是 的外接圆，AD 是 的直径， 的半径为32， = 5，则sin的值是（ ） A52 B53 C32 D23 7 （2022 长清模拟）如图，在阳光下直立于地面上的电线杆 AB，落在水平面和坡面上的影子分别是BC、 CD， 测得 = 6米， = 4米， 斜坡 CD 的坡度为1：3， 在 D 处测电线杆顶端 A 的仰角为 30 ，则电线杆 AB 的高度为（ ） A2 + 23 B4 + 23 C4 +
5、32 D4 + 23 8 （2022 济宁模拟）电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔建在了一个坡度为 1：0.75 的山坡的平台上（如图） ，测得 = 52.5， = 5米， = 35米， = 19米，则铁塔的高度约为（参考数据：sin52.5 0.79，cos52.5 0.61，tan52.5 1.30） （ ） A32.5 米 B27.5 米 C30.5 米 D58.5 米 9 （2022 济南模拟）为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图 1 为单车实物图，图 2 为单车示意图，AB 与地面平行，点 A、B、D 共线，点 D、F、G 共线，坐垫 C 可沿射线
6、BE 方向调节已知，ABE=70 ，车轮半径为 30 cm，当 BC=60 cm 时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫 C 离地面高度约为（ ） （结果精确到 1cm，参考数据： sin700.94， cos700.34， tan701.41） A90cm B86cm C82cm D80cm 10 （2022 槐荫模拟）如图，以直角坐标系的原点 O 为圆心，以 1 为半径作圆若点 P 是该圆上第一象限内的一点，且 OP 与 x 轴正方向组成的角为，则点 P 的坐标为（ ） A(cos，1) B(1，sin) C(sin，cos) D(cos，sin) 二、填空题二、填空题 11 （2022
7、 莱芜模拟）如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB=12，AD=10，点 E 是 CD 的中点将这张纸片依次折叠两次；如图 2，第一次折叠纸片使点 A 与点 E 重合，折痕为 MN，连接 ME、NE；如图 3，第二次折叠纸片使点 N 与点 E 重合， 点 B 落在处， 折痕为 HG， 连接 HE， 则tan = 12（2022 青岛模拟）如图， 在矩形中， = 12，sin =32， 点是线段上的动点， 点是线段上的动点，则 + 的最小值是 . 13 （2022 济南模拟）如图，已知正方形 ABCD，延长 AB 至点 E 使 BEAB，连接 CE、DE，DE 与BC 交于点 N，取 CE 的
8、中点 F，连接 BF，AF，AF 交 BC 于点 M，交 DE 于点 O，则下列结论：DNEN；OAOE；tanCED=13；S四边形BEFM2SCMF其中正确的是 .（只填序号） 14 （2022 历下模拟）矩形 ABCD 中 AB=10，BC=8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将CDE 对折，使点 D正好落在 AB 边上，则 tanAFE= 15 （2022 嘉祥模拟）计算3 tan30 12 + ( 3.14)0 |1 3|的结果为 16 （2022 烟台模拟）如图，AB 是O 的弦，AB5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB45 ，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 M
9、N 长的最大值是 17 （2022 庆云模拟）如图，在 中， = 90，作 BC 的垂直平分线交 AC 于点 D，连接 BD，若 =13，则tan的值为 18 （2022 东昌府模拟）如图，直线1与直线2所成的角11= 30，过点1作11 1交直线2于点1，1= 2，以11为边在 11外侧作等边三角形111，再过点1作22 1，分别交直线1和2于2，2两点，以22为边在 22外侧作等边三角形222，按此规律进行下去，则第 2022 个等边三角形202220222022的周长为 19 （2022 青岛模拟）如图，A、B、C、D 是半径为 4cm 的 上的四点，AC 是直径， = 45，则 = c
10、m. 20 （2022 山亭模拟）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，AED90 ，EAD30 ，点 F是 AD 边的中点，EF6cm，则 BE cm 三、计算题三、计算题 21 （2022 济南模拟）计算：21+4cos458 +（2022）0 22 （2022 章丘模拟）计算：(13)1833sin60 (1)0 23 （2022 枣庄模拟）计算：|1 3| + 273 2cos30 + (13)1 (2022 )0 24 （2022 任城模拟）计算：(1)2022+3cos30 (22 33)0+ (12)2 25 （2022 平阴模拟）计算：( 3.14)0+ (12)
11、1 | 2| +tan45 四、综合题四、综合题 26 （2022 嘉祥模拟）如图， 点 P 为函数 = + 1与函数 =( 0)图象的交点， 点 P 的纵坐标为 4， 轴，垂足为点 B （1）求 m 的值； （2）点 M 是函数 =( 0)图象上一动点，过点 M 作 于点 D，若tan =12，求点 M 的坐标 27 （2022 莱芜模拟）以 的一条边 AC 为直径的O 与 BC 相交于点 D，点 D 是 BC 的中点，过点 D 作O 的切线交 AB 于点 E （1）求证：AB=AC； （2）若 BE=1，tan = 2，求O 的半径 28 （2022 莱芜模拟）如图，某旅游景点新建空中玻璃
12、走廊 PD，PD 与建筑物 AB 垂直，在 P 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 37 ，测得建筑物 C 处的仰角为 26.6 ，PD 为 54 米图中的点 A、B、C、D、P及直线 l 均在同一平面内 （1）求 A、C 两点的高度差（结果精确到 1 米） ； （2）为方便游人，广场从地面 l 上的 Q 点新建扶梯 PQ，PQ 所在斜面的坡度 = 1：2，P 到地面 l 的距离 PE 为 10 米一公告牌 MN 位于 EB 的中点 M 处，为防止车辆阻塞，现要求在点 Q 右侧需留出 12 米宽的行车道，请判断是否需要挪走公告牌 MN，并说明理由 （参考数据：sin26.6 0.45，tan26.
13、6 0.5，sin37 0.6，tan37 0.75，2 1.414） 29 （2022 汶上模拟）如图，是以为直径的 的切线，切点为点，过点作 ，垂足为点，交 于点 （1）求证：PB 是 的切线； （2）若 = 6，cos =35，求的长 30 （2022 金乡县模拟）在 中， = 90，A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如sin2 + cos2 = 1，sin = cos等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛设，是锐角，定义：当 时，两角和的余弦公式：cos( + ) =coscos sinsin 例：计算cos75的值 cos75
14、 = cos(45 + 30) = cos45cos30 sin45sin30 =22322212=6424=624， 两角差的余弦公式：cos( ) = coscos + sinsin利用类比的方法运用公式求解 （1）计算cos15 = （2）计算cos80cos35 + sin80sin35的值； （3）一副斜边长均为 16 的三角板拼成如图所示的图形，求过 A、B、C、D 四点的矩形 ABEF 的面积 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：在 RtABD 中，tanADB， =tan581.6=58， 在 RtABC 中，tanACB， tan22 =70+58
15、0.4， 解得： =1123 37m， 故答案为：C 【分析】先求出 =tan581.6=58，再求出tan22 =70+58 0.4，最后求解即可。 2 【答案】C 【解析】【解答】解：A、(2)3= 23= 6，该选项不符合题意； B、8 =2 2 2 = 22，该选项不符合题意； C、83=2 2 23= 2，该选项符合题意； D、cos30 =32，该选项不符合题意； 故答案为：C 【分析】利用幂的乘方、二次根式的性质、立方根的性质和特殊角的三角函数值逐项判断即可。 3 【答案】D 【解析】【解答】如图，过点 B、C 分别作 AE 的垂线，垂足分别为 M、N，过点 C 作 CDBM，垂
16、足为 D， 在 RtABM 中， BAE=60 ，AB=16， = sin60 =32 16 = 83（cm） ， ABM=90 -60 =30 ， 在 RtBCD 中， DBC=ABC-ABM=50 -30 =20 ， BCD=90 -20 =70 ， 又BC=8， BD=sin7080.948=7.52（cm） ， CN=DM=BM-BD=83-7.526.3（cm） ， 即点 C 到 AE 的距离约为 6.3cm， 故答案为：D 【分析】过点 B、C 分别作 AE 的垂线，垂足分别为 M、N，过点 C 作 CDBM，垂足为 D，利用解直角三角形的方法求出 BM 和 BD 的长，再利用线段
17、的和差可得答案。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：如图， =1：2.4=512 设 CF=5k，AF=12k， .AC=2+ 2=13k=26，解得.k=2， AF=10，CF=24， AE=6， EF=6+24=30， DEF=48 tan48 =30=1.11 DF=33.3， CD=33.3-10=23.3， 即古树 CD 的高度约为 23.3 米， 故答案为：C. 【分析】 根据条件得出=1：2.4=512，设 CF=5k，AF=12k，根据勾股定理得出 AC 的值，得出 AF=10，CF=24，推出 EF 的值，根据三角函数的定义即可得解。 5 【答案】B 【解析】【解答】解：延
18、长 ED 交射线 BC 于点 H，过点 E 作 EFAB 于 F 由题意得 DHBC， 在 RtCDH 中，DHC=90 ，tanDCH=i=1：3， DCH=30 ， CD=2DH， CD=23， DH=3，CH=3， EFAB，ABBC，EDBC， BFE=B=BHE=90 ， 四边形 FBHE 为矩形， EF=BH=BC+CH=6， FB=EH=ED+DH=1.5+3， 在 RtAEF 中，AFE=90 ，AF=EFtanAEF60.754.5， AB=AF+FB=6+36+1.737.7， 旗杆 AB 的高度约为 7.7 米 故答案为：B 【分析】延长 ED 交射线 BC 于点 H，过
19、点 E 作 EFAB 于 F，证出四边形 FBHE 为矩形，得出EF=BH=BC+CH=6， FB=EH=ED+DH=1.5+3， 在 RtAEF 中， AFE=90 ， AF=EFtanAEF60.754.5，即可得出 AB 的值。 6 【答案】B 【解析】【解答】解：连接 CD，如图： AD 是O 的直径， ACD=90 AD=2r=232=3，AC=2， sinD=53 同弧所对的圆周角相等， B=D sinB=sinD=53 故答案为：B 【分析】连接 CD，先利用正弦的定义可得 sinD=53，再根据B=D，可得 sinB=sinD=53。 7 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，
20、过点 D 作 DMAB 于点 M，DNBC 交 BC 的延长线于点 N， 斜坡 CD 的坡比为 1：3，即： = 1：3，即tan =13=33， DCN=30 ， 又CD=4， = sin30 = 4 12= 2， = cos30 = 4 32= 23， = + = 6 + 23， 在 RtAMD 中，ADM=30 ， = = 6 + 23， = tan30 = (6 + 23) 33= 23 + 2， = + = 23 + 2 + 2 = (4 + 23)米 故答案为：D 【分析】过点 D 作 DMAB 于点 M，DNBC 交 BC 的延长线于点 N，利用锐角三角函数可得 = sin30
21、= 4 12= 2， = cos30 = 4 32= 23，利用线段的和差可得 = + = 6 + 23，再求出 = tan30 = (6 + 23) 33= 23 + 2，最后求出 = + =23 + 2 + 2 = (4 + 23)即可。 8 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，延长 AB 交 ED 于 G，过 C 作 CFDE 于 F， = = 5（米） ， 山坡的坡度为 1：0.75， 设 DF=3k，CF=4k， 由勾股定理得： = 5 = 35（米） ， = 7（米） ， = 21米， = = 28米， = + + = 5 + 21 + 19 = 45米， = 52， = tan
22、52.5 45 1.30 = 58.5米， = = 58.5 28 = 30.5米 故答案为：C 【分析】 延长AB交ED于G， 过C作CFDE于F， 设DF=3k， CF=4k， 利用勾股定理可得 = 5 = 35，求出 k 的值，再利用锐角三角函数可得 = tan52.5 45 1.30 = 58.5，最后利用线段的和差 可得 = = 58.5 28 = 30.5。 9 【答案】B 【解析】【解答】解：过点 C 作 CNAB，交 AB 于 M，交地面于 N 由题意可知 MN=30cm， 在 RtBCM 中，ABE=70 ， sinABE=sin70 =0.94 CM56cm CN=CM+M
23、N=30+56=86（cm） 故答案为：B 【分析】过点 C 作 CNAB，交 AB 于 M，交地面于 N，利用锐角三角函数求出 CM56，再利用线段的和差可得 CN=CM+MN=30+56=86。 10 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，作 PAx 轴于点 A， 则POA=，则 sin=， PA=OPsin， cos=， OA=OPcos OP=1， PA=sin，OA=cos P 点的坐标为（cos，sin） ， 故答案为：D. 【分析】作 PAx 轴于点 A，利用锐角三角函数求出 PA=sin，OA=cos，即可得到点 P 的坐标。 11 【答案】53 【解析】【解答】解：由折叠的性
24、质可知 = 90， = ， = ， = ，是线段的垂直平分线 ， = 是的中点 是 斜边上的中线 = = = 设 = ，则 = 10 在 中，由勾股定理得2= 2 2即62= (10 )2 2 解得 =165 = =345 如图，作 = = = 90 四边形是矩形 + = + = 90 = =即165=610 解得 =163 = + =343 tan =343345=53 tan =53 故答案为：53 【分析】 易求 = ， 由折叠的性质可得 AM=EM， 设 = ， 则 = 10 ， 在 中，由勾股定理得2= 2 2据此求出 =165值，即得 DM、AM 的长.再证 ，利用相似三角形的性质
25、求出 =163，从而求出 = + =343，继而得出tan =53，即得tan =53. 12 【答案】63 【解析】【解答】解：如图所示：作点 C 关于 AB 的对称点 C，过点作 AC 边的垂线段，垂足为 P 交AB 于点 Q， 根据垂线段最短可得： + 最小， 在矩形中， = 90， 又 = 12，sin =32， sin =12=32， = 63， = 2 2=122 (63)2= 6， = 12， + = = sin = 12 32= 63， 故答案为：63 【分析】作点 C 关于 AB 的对称点 C，过点作 AC 边的垂线段，垂足为 P 交 AB 于点 Q，根据垂线段最短可得： +
26、 最小即为 CP 的长.由sin =32可求出 AB，利用勾股定理求出 BC，即得 CC的长，根据 = sin即可求解. 13 【答案】 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是正方形 ， BC=CD=AB=BE，BCD=CBE=90 ， CND=BNE， CNDBNE， DN=EN，故正确； BC=AB=BE，F 是 CE 的中点，CBE=90 ， CE= 2AB，BF=CF= 22AB， BCF=CBF=45 ， ABF=DCE=90 +45 =135 ， =22=， ABFECD， FAB=DEC，AFB=EDC=AEO， ABBF， FABAFB， FABAEO， OAOE，故错误；
27、如图，过点 F 作 FGAE 于点 G， AGF=90 ， GF=BG= 12BE= 12AB， AG=AB+BG= 32AB， FAB=DEC， tanCED=tanFAB= =1232=13，故正确； 设 AB=6m，则 BC=BE=6m，BM=2m，GE=BG=GF=3m， SBCE= 12 6m 6m=18m，SEGF= 12 3m 3m= 92m， S四边形BGFM= 12 （2m+3m） 3m= 152m， SCMF=SBCE-SEGF-S四边形BEFM=6m，S四边形BEFM=SEGF+S四边形BGFM=12m， S四边形BEFM=2SCMF，故正确. 故答案为：. 【分析】证出
28、CNDBNE，即可得出 DN=EN； 证出ABFECD，得出FAB=DEC，AFB=EDC=AEO，再根据FABAFB，从而得出 FABAEO，即可得出 OAOE； 过点 F 作 FGAE 于点 G， 求出 GF= 12AB， AG= 32AB， 根据锐角三角函数定义 jk 得出 tanCED=tanFAB= 13； 设 AB=6m，得出 BC=BE=6m，BM=2m，GE=BG=GF=3m，求出 SCMF=6m， S四边形BEFM=12m，即可得出 S四边形BEFM=2SCMF. 14 【答案】34 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， CD=AB=10，B=D=90 ， BCF+
29、BFC=90 ， 根据折叠的性质得：EFC=D=90 ，CF=CD=10， AFE+BFC=90 ， AFE=BCF， 在 RtBFC 中，BC=8，CF=CD=10， 由勾股定理得： = 2 2= 102 82= 6， 则tan =68=34， tanAFE=tanBCF=34； 故答案为：34 【分析】先利用勾股定理求出 BF 的长，再利用正切的定义可得 tanAFE=tanBCF=34。 15 【答案】2 23 【解析】【解答】解： 3 tan30 12 + ( 3.14)0 |1 3| = 3 33 23 + 1 3 + 1 = 3 33 + 2 = 2 23 【分析】将先化简成可以进
30、行加减的同类二次根式，再进行运算 16 【答案】522 【解析】【解答】解：点 M，N 分别是 AB，AC 的中点， MN 是ABC 的中位线， MN12BC， 当 BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当 BC 是直径时，BC 最大， 连接 BO 并延长交O 于点 C，连接 AC，如图， BC是O 的直径， BAC90 ACB45 ， ACB45 ， BCsin=sin45= 52 BC 的最大值是 52 MN最大522 故答案为：522 【分析】根据三角形中位线定理可得 MN12BC，所以当 BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当BC 是直径时 BC 最大.连接 BO 并延长交O 于
31、点 C，连接 AC，可得ABC是等腰直角三角形，可得 BC=2AB，据此求出 BC 最大值即可. 17 【答案】2 【解析】【解答】解：如图所示，设 = ，则 = 3， 为线段的垂直平分线交于点， = = 3， = + = 4， 在中， = 2 2= (3)2 2= 22， 在中，tan =422= 2， 故答案为：2 【分析】FD 是 BC 的垂直平分线，BD=CD，设 AD=x，用勾股定理将各边表示出来，根据三角函数的定义求出答案 18 【答案】3202222021 【解析】【解答】解：11= 30，1= 2，11 1， 在 11中，1= 3，11=121= 1， 111是等边三角形， 1
32、2=3211=32， 在 22中，2= 3 +32=332，22=23=33213=32， 222是等边三角形， 23=3222=3232=334， 在 33中，3=332+334=934，33=93413=94， 同理可得：= (32)1， 第 2022 个等边三角形 A2022B2022C2022的周长为320222022= 3 (32)20221=3202222021 【分析】根据含 30 直角三角形的性质求出11=121= 1，1= 3，由等边三角形的性质求出12=3211=32，再由直角三角形的性质求出 OA2，A2B2，等边三角形的性质求出 A2A3，从而得出规律求出= (32)1
33、，即得求出20222022的长，根据等边三角形的周长公式求出结论即可. 19 【答案】42 【解析】【解答】解：连接， = ， = 45，AC 是直径， = = 45， = 90 是等腰直角三角形， 半径为 4cm， = 8， = sin =22 8 = 42 cm， 故答案为：42 【分析】连接，易求ABC 是等腰直角三角形，可得 = sin=22AC，据此即可求解. 20 【答案】9 【解析】【解答】解：AED=90 ，F 是 AD 边的中点，EF=4cm， AD=2EF=12cm， EAD=30 ， AE=ADcos30=12 32 = 63 cm， 又四边形 ABCD 是矩形， ADB
34、C，B=90 ， BEA=EAD=30 ， 在 RtABE 中， = cos = 63 cos30= 63 32= 9 （cm） ， 故答案为：9 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出 AD 的长，再根据矩形的性质得出 ADBC，B=90 ，然后解 RtABE。 21 【答案】解：原式=12+ 4 22 22+ 1 =12+ 222 22 +1 =32 【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的性质、算术平方根的定义、零指数幂的性质进行化简，然后合并同类二次根式，即可得出答案. 22 【答案】解：(13)1+833sin60 + ( 1)0 = 3 +
35、(2) 3 32+ 1 = 3 2 32+ 1 =12 【解析】【分析】将各项化简进行加减求和 23 【答案】解：原式= 3 1 + 3 2 32+ (3) 1 = 3 1 + 3 3 3 1 = 2 【解析】【分析】根据绝对值、立方根、零指数幂及负整数指数幂的性质、特殊角三角函数值先化简，再计算乘法，最后计算加减即可. 24 【答案】解：(1)2022+3cos30 (22 33)0+ (12)2 = 1 + 3 32 1 + 4 = 1 +32+ 3 = 5.5 【解析】【分析】根据乘方、特殊角三角函数值、零指数幂及负整数指数幂的性质进行计算即可. 25 【答案】解：( 3.14)0+ (
36、12)1 | 2| +tan45 =1+2-2+1 =2 【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数值进行计算即可. 26 【答案】（1）解；点 P 纵坐标为 4，且在一次函数 = + 1图象上， 4=x+1， 解得 x=3， P(3，4) 又点 P 在反比例函数图象上， 4 =3， 解得 = 12； （2）解；tan =12， =12 设 PD=t(t0)，则 DM=2t， 分类讨论当 M 点在 P 点右侧时，如图， M 点的坐标为(3+2t，4t)， 4 =123+2， 解得：1=52，2= 0(舍) 3 + 2 = 3 + 2 52= 8，4 = 4 52=32
37、此时 M 点的坐标为(8，32)； 当 M 点在 P 点的左侧时， M 点的坐标为(32t，4+t)， 4 + =1232， 解得：1= 52，2= 0(均舍去) 故此情况不合题意 综上，M 点的坐标为(8，32) 【解析】【分析】(1)根据一次函数解析式求 P 点坐标，进而求 m； （2）设 M（x，y） ，分类讨论 M 在 P 点左侧和右侧两种情况，根据 tanPMD=12得=12，根据 p 点坐标求出 x，y，即可求得答案 27 【答案】（1）证明：如图 1，连接 AC 为直径 = 90即 点 D 是 BC 的中点 垂直平分 = （2）解：如图 2，连接 DE 是O 的切线 = 90 ，
38、分别是，的中点 是 的中位线 = 90 + = 90 = + = tan = tan = 2 = 2BE=2，AE=2DE=4 = = + = 5 O 的半径为52 【解析】【分析】 （1）连接 AD，由 AC 为直径可得ADC=90 ，由点 D 是 BC 的中点可得 AD 垂直平分 BC，根据垂直平分线的性质即得结论； （2）如图 2，连接 ，由切线的性质可得ODE=90 ，根据三角形中位线定理可得 ODAB，利用平行线的性质可得AED=ODE=90 ，跟姐姐余角的性质可得 = ，由于tan = = tan = 2 ，据此求出 DE、AE 的长，根据 AC=AB=AE+BE 可求出 AC 的
39、长，即得O 的半径 . 28 【答案】（1）解：在 RtAPD 中，PD=54，APD=37 ， = tan = 54 tan37 54 0.75 = 40.5， 在 RtCPD 中，PD=54，CPD=26.6 ， = tan = 54 tan26.6 54 0.5 = 27， = = 40.5 27 = 13.5 14， 答：A、C 两点的高度差为 14 米 （2）解：由题意知四边形 PEBD 为矩形， PD=EB， 又 PD=54， BE=54， 又 M 为 BE 中点， =12 = 27， = 1：2， =12， 又 PE=10， = 102 10 1.414 = 14.14， = =
40、 27 14.14 = 12.86 12， 不需要挪走公告牌 MN 【解析】【分析】 （1） 在 RtAPD 中求出 = tan 40.5， 在 RtCPD 中求出 = tan 27，利用 AC=AD-CD 即可求解； （2）由题意知四边形 PEBD 为矩形可得 PD=EB=54，由线段的中点可得 =12 = 27， 由坡度的定义=12， 从而求出 QE，利用 QM=EM-EQ 即可求解. 29 【答案】（1）证明：如图，连接 OB， PA 是以 AC 为直径的O 的切线，切点为 A， PAO90 ， OAOB， AOB 是等腰三角形 ABOP， POAPOB， 在PAO 和PBO 中， =
41、= 0 = PAOPBO（SAS） ， PBOPAO90 ， OBPB， OB 是O 的半径 PB 是O 的切线； （2）解： AOB 是等腰三角形，ABOP，AB6， DADB3，PDAPDB90 ， cos =35=3， PA5， PD2 2=52 32= 4， 在 RtAPD 和 RtAPO 中， cos =，cos =， = =2=254 【解析】【分析】 （1）先利用“SAS”证明PAOPBO 可得PBOPAO90 ，再结合 OB 是O的半径，即可得到 PB 是O 的切线； （2）利用cos =，cos =，可得=，从而得到 =2=254。 30 【答案】（1）6+24 （2）解：利
42、用两角差的余弦公式可知， cos80cos35 + sin80sin35 = cos(80 35) = cos45 =22； （3）解：由题意可知 = 16， = = 45， = 30， = sin = 16 22= 82， = cos = 16 32= 83， = = 90 30 45 = 15， 由（1）知cos15 =6+24， = cos = 82 6+24= 43 + 4， 矩形= = 83 (43 + 4) = 96 + 323 【解析】【解答】 （1）解：当 时，两角差的余弦cos( ) = coscos + sinsin， cos15 = cos(45 30) = cos45 cos30 + sin45 sin30 =2232+2212=6+24， 故答案为：6+24； 【分析】 （1）由给出的公式计算cos15 = cos(45 30) = cos45 cos30 + sin45 sin30即可； （2）根据两角差的余弦公式求解即可； （3）先求出 AD 和 BC 的长，再求出 AF 的长，则矩形 ABEF 的面积即可求解
