1、 专题专题 20 20 锐角三角函数锐角三角函数 一、单选题一、单选题 1如图，与，分别交于点 E，G，F，且1 = 2 = 30， ，则下列结论不正确的是（ ） A/ B3 = 60 C =12 D 2如图， 将平面直角坐标系中的AOB 绕点 O 顺时针旋转 90 得到AOB.已知AOB60 ， B90 ，AB 3 ，则点 B的坐标是 ( ) A( 32 ， 12 ) B( 32 ， 32 ) C( 32 ， 32 ) D( 12 ， 32 ) 3在 中， = 90, = 2, = 6 ，则下列结论正确的是（ ） Asin =13 Bcos =24 Ctan = 22 Dtan =223 4
2、 （2021 赣州模拟）如图，在四边形 中， = = 90 ，连接 ， = 45 ， = 30 ， = 2 ，点 P 是四边形 边上的一个动点，若点 P 到 的距离为 3 ，则点 P 的位置有（ ） A4 处 B3 处 C2 处 D1 处 5 （2020 九上 峡江期末）在 RtABC 中，C90 ，AB6，AC4，则 cosA 的值是( ) A32 B23 C52 D53 6 （2020 八上 景德镇期中）如图，在 中， = 120， = 20， 的平分线与 的外角平分线交于点 ，连接 ，则 tan 的值是（ ） A1 B12 C3 D33 7 （2020 九江模拟）如图，矩形 ABCD 中
3、， = 4 ， = 2 ，将矩形 ABCD 绕着点 A 顺时针旋转得到矩形 AFGE，当点 F 落在边 CD 上时，连接 BF、DE，则 = （ ） A12 B13 C14 D23 8 （2020 九上 南昌月考）根据图中的信息，经过估算，下列数值与正方形网格中 的正切值最接近的是（ ） A0.6246 B0.8121 C1.2252 D2.1809 9 （2020 抚州模拟）如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点，且 BEAC 于点 F，则下列结论中错误的是（ ） AAF 12 CF BDCFDFC C图中与AEF 相似的三角形共有 5 个 DtanCAD 32 10 （2020
4、 九上 鹰潭期末）如图，在 中， ，垂足为 ， = ，若 = 5,sin =45 ，则 的长为（ ） A203 B163 C5 D125 二、填空题二、填空题 11 （2022 石城模拟）如图 1 ，邻边长为 2 和 6 的矩形分割成，四块后，拼接成如图 2 不重叠、无缝隙的正方形 ，则图 1 中 的长为 12（2021 九上 峡江期末）已知 、 均为锐角， 且满足|sin 12|+(tan 1)2=0， 则 += 13 （2021 八下 赣县期末）2021 年 5 月 22 日，在甘肃省白银市景泰县黄河石林景区举行了黄河石林山地马拉松百公里越野赛如图，是矗立在水平地面上的马拉松赛道路牌经测量
5、得到以下数据：AC4 m， = 83 m，DAC45 ，EBC30 ，DCA90 ，则路牌的高 DE 为 m 14 （2021 九江模拟）如图设计一张折叠型方桌子，若 = = 50 ， = = 30 ，将桌子放平后，要使 AB 距离地面的高为 40cm，则两条桌腿需要叉开的 应为 15 （2021 八下 湘东期中）如图，ABC 中，ACB=90 ，D、E 是边 AB 上两点，且 CD 垂直平分 BE，CE 平分ACD，若 BC=2，则 AC 的长为 . 16 （2021 江西模拟）如图，小明将矩形纸片 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEGH，点 E 恰好落在 AC 上，EG 交 AD
6、 于点 F.若 AB3，tanACB 34 ，则 FG 的长为 . 17 （2021 江西模拟）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，cosC 12 ，AB6 3 ，AC6，则BC 的长为 18（2021 九下 江西月考）如图， 已知直线 1/2 ， 1 与 2 之间的距离为 2， 在 中， = 2 ，点 是直线 2 上的一个动点， ， 中有一边是 的 2 倍，将 绕点 顺时针旋转 45 得到 ， 所在直线交 2 于点 ，则 的长度为 19（2020 九上 余干期末）在 中， 若 |sin 12| + (cos 32)2= 0 ， 则 的度数是 20 （2020 九上 抚州期末）如图，
7、在边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点 O，则 cosBOD 21 （2020 九上 抚州期末）若 cos 12+ |tan 3| = 0 ，那么ABC 的形状是 三、计算题三、计算题 22 （2021 江西模拟）计算： |1 3| + (12)1 1 2tan60 . 23 （2022 江西模拟）计算： （2）0+（13）1+4cos30 |12| 24 （2020 寻乌模拟）计算： 223+ |(12)1| 22 tan30 -（-2019）0； 25 （2020 抚州模拟）计算： +tan60 -（sin45 ）-1-|1- |
8、 四、综合题四、综合题 26（2022 江西）图1是某长征主题公园的雕塑， 将其抽象成如图2所示的示意图， 已知 ， A，D，H，G 四点在同一直线上，测得 = = 72.9， = 1.6， = 6.2 （结果保留小数点后一位） （1）求证：四边形为平行四边形； （2）求雕塑的高（即点 G 到的距离） （参考数据：sin72.9 0.96，cos72.9 0.29，tan72.9 3.25） 27（2022 遂川模拟）如图， 直线 = 1 + (1 0)分别与轴、 轴交于点， = 12， 点(0，6)， 与反比例函数 =2( 0，2 0)交于点，点在直线上，且 = 45，为的中点 （1）求反比
9、例函数的解析式； （2）连接，求tan的值 28 （2022 萍乡模拟）如图，双曲线 =( 0)经过Rt 斜边的中点，交直角边于点，连接，点的坐标为(8，4) （1）求直线的解析式； （2）求sin的值 29 （2022 遂川模拟）如图 1 是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏图 2 是其结构示意图，摄像机长 = 20cm，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行， = 15cm，与连接杆 ， = 10cm， = 2，点到地面的距离为60cm若与水平地面所成的角的度数为35 （1）求显示屏所在部分的宽度； （2）求镜头到地面的距离 （参考数据：si
10、n35 0.574，cos35 0.819，tan35 0.700，结果保留一位小数） 30 （2022 湖口模拟）在矩形 ABCD 中， = = 4， = = 6，P 为 CD 上的动点Q 为 DA上的动点， = 90且 = （1）如图，当点 R 在 CB 上时，求 + 的值 （2） 如图， PR 与 CB 相交于点 N 连接 QN， 当 QP 平分时， 求证： = + （3）在（2）的前提下，连接 CR，当 = 2时，求sin的值 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：1 = 2 = 30， /，故 A 不符合题意； ， 3 = 180 30 90 = 60，故 B
11、 不符合题意； /， ， ，即：GFC=90 ，故 D 不符合题意； 又2 = 30， tan30 =33，即： =33，故 C 符合题意 故答案为：C 【分析】由1=2 可得 ABCD，由 EFAB 可得AEG=90 ，利用平行线的性质可得GFC=AEG=90 ，根据三角形内角和求出3=60 ，由 tan2=tan30 =33，可得 =33，据此逐一判 断即可. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点 B作 BCx 轴于点 C， AOB 绕 O 点顺时针旋转 90 得AOB， OBOB，BOB90 ， AOB60 ，AB= 3 ， OB1， OB1， BOC180AOBBOB1806
12、09030 ， OCOBcos30 1 32 32 ， BCOBsin30 1 12 12 ， B的坐标为（ 32 ， 12 ） ， 故答案为：A 【分析】过点 B作 BCx 轴于点 C，根据旋转变换的性质得出 OBOB，BOB90 ，再根据平角等于 180 求出BOC的度数，再解直角三角形求出OC，BC的长度，即可得解。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：在 中， = 90 ， = 2 ， = 6 ， = 42 ， sin =426=223 ，故 A 不符合题意； cos = sin =223 ，故 B 不符合题意； tan =422= 22 ，故 C 符合题意； tan =242=24
13、，故 D 不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据 = 42 ，再利用锐角三角函数进行求解即可。 4 【答案】B 【解析】【解答】解：过 D 作 DEAC 于 E，过 B 作 BFAC 于 F， = 90 ， = 30 ， AC=2CD=4， AD=AC cos30 =2 3 ， 12 =12 ， =2234= 3 ， = 90 ， = 45 ， = 90 = 45 = ， BC=BA， BF=CF=AF=2， 2 3 ， 在 BF 上截取 FM= 3 ，过 M 作直线 GHBF 交 BC 于 G，交 BA 于 H， 点 是四边形 边上的一个动点，点 到 的距离为 3 ，点 P 在点 D，点
14、G，点 H 时满足条件， 故点 P 有三个点 故答案为：B 【分析】根据已知条件得到 = = 45， = 60， = 30，根据点 P 到 AC 的额距离为3，于是得到结论。 5 【答案】B 【解析】【解答】C90 ，AB6，AC4， cos23 . 所以选项 B 符合题意. 【分析】利用锐角三角函数代值计算求解即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，分别过点 D 作 CA、AB、CB 所在直线的垂线，垂足分别为 E、F、G， D 在ACB 的平分线与BAC 的外角平分线上， DEDFDG， D 在ABC 的外角的平分线上， ABD 12 ABG， BAC120 ，ACB20 ， A
15、BC40 ， ABG140 ， ABD70 ， DBCABDACB70 40 110 ， 又BCD 12 ACB10 ， BDC1801101060 ， tanBDC 3 ， 故答案为：C 【分析】分别过点 D 作 CA、AB、CB 所在直线的垂线，垂足分别为 E、F、G，根据角平分线的性质得到 DEDFDG，再利用角的运算求出BDC1801101060 ，最后利用正切值的定义求解即可。 7 【答案】C 【解析】【解答】解：如解图，过点 E 作 于点 H，在矩形 ABCD 中， = 4 ， = 2 ， = 2 ， = = 90 .由旋转的性质可得 = = 4 ， = = 2 ， = = 90
16、， = sin =12 . = 30 ， = 60 . = 30 . = sin =2= 1 ， =12 =12 2 1 = 1 ， =12 =12 4 2 = 4 ， =14 . 故答案为：C. 【分析】由题意作辅助线过点 E 作 于点 H，并利用旋转的性质以及三角函数进行分析求解. 8 【答案】C 【解析】【解答】解： 的正切值= 竖着的格子数横着的格子数 = 54 1.2252，所以答案选择 C 项. 【分析】可以由网格中 的正切值= 竖着的格子数横着的格子数，即可得出答案。 9 【答案】D 【解析】【解答】解：A、ADBC， AEFCBF， ， AE 12 AD 12 BC， 12 ，
17、故 A 不符合题意； B、过 D 作 DMBE 交 AC 于 N， DEBM，BEDM， 四边形 BMDE 是平行四边形， BMDE 12 BC， BMCM， CNNF， BEAC 于点 F，DMBE， DNCF， DFDC， DCFDFC，故 B 不符合题意； C、 图中与AEF 相似的三角形有ACD， BAF， CBF， CAB， ABE 共有 5 个， 故 C 不符合题意 D、设 ADa，ABb 由BAEADC，有 2 tanCAD 22 ，故 D 符合题意 故答案为：D 【分析】A.由 AE= 12 AD= 12 BC，又 ADBC，所以 =12 ； B.过D作DMBE交AC于N， 得
18、到四边形BMDE是平行四边形， 求出BM=DE= 12 BC， 得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论； C.根据相似三角形的判定即可求解，不符合题意； D.由BAEADC，得到 CD 与 AD 的大小关系，根据正切函数可求 tanCAD 的值，故 D 10 【答案】A 【解析】【解答】 = 5,sin =45 ， = = 4 BE= 2 2= 3 =35 ABCD 是平行四边形 ADBC ADE=DEC 又BAE=DEC BAE=ADE = =35 =203 故答案为：A. 【分析】根据题意先求出 AE 和 BE 的长度，再求出BAE 的 sin 值，根据平行线的性质得出ADE=
19、BAE，即可得出答案. 11 【答案】6 32 【解析】【解答】解：矩形的邻边长为 2 和 6 矩形的面积为 2 6=12 正方形 ABCD 由拼成，且不重叠、无缝隙 正方形的面积=矩形面积=12 CD= 12 =2 3 DG= 2 2 = (23)2 22 = 22 sin3= = 2223 = 63 1+2=90 2+3=90 1=3 sin1= = 63 DH=3 2 GH=DH-DG=3 2 -2 2 = 2 EF=6- 2 -2 2 =6-3 2 故答案为：6-3 2. 【分析】利用两图形面积相等先求出 CD，再利用解直角三角形的方法求出 DH 的长，再利用线段的和差即可求出 EF
20、的长。 12 【答案】75 【解析】【解答】解：由已知得 sin12=0，tan1=0， =30，=45， +=75 【分析】 根据非负数之和为0的性质可得sin12=0， tan1=0， 再利用特殊角的三角函数值可得=30，=45，最后求出 +=75即可。 13 【答案】43 4 【解析】【解答】解：在 中，DCA90 ，AC4 m，DAC45 ， ADC45 DC=AC4 m， 在 中，DCA90 ， = 83m，EBC30 ， =12 =12 83 = 43 = = (43 4) 故答案为： 43 4 【分析】在 中，求 DC，在 中，求 EC，利用 = 即可求解。 14 【答案】120
21、 【解析】【解答】作 DEAB 于 E AD=50+30=80cm，DE=40cm， 在 RtADE 中， =4080=12 ， DAB=30 ， = ， AOB=180 -30 -30 =120 故答案为：120 【分析】作 DEAB 于 E根据题意，得在 RtADE 中，AD=50+30=80cm，DE=40cm，由此得出A得度数，接着求出B 得度数，再根据三角形的内角和即可求出的度数。 15 【答案】23 【解析】【解答】解：CD 垂直平分 BE， CE=CB，BDC=90 ， CD 平分BCE，即BCD=ECD， CE 平分ACD， ECD=ACE， 而ACB=90 ， BCD= 13
22、 ACB=30 ， B=60 ， A=30 ， 由 tan = tan30， = 2， AC= 3 BC= 23 故答案为： 23 【分析】利用垂直平分线和角平分线的性质求出BCD= 13 ACB=30 ，再利用含 30 角的直角三角形性质求解即可。 16 【答案】74 【解析】【解答】解：将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEGH， AEF=ADC=90 ， 又EAF=DAC， AEFADC， AE：AD=EF：DC， AB=3，tanACB 34 ， AE=3，BC=AB tanACB=4， 3：4=EF：3， 解得：EF= 94 ， FG=4- 94=74 ， 故答案为 7
23、4 . 【分析】由矩形和旋转的性质可得AEF=ADC=90 ，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得AEFADC，于是可得比例式 AE：AD=EF：DC，根据 tanACB=34可求出 BC 的值，代入比例式可求得 EF 的值，由线段的构成 FG=EG-EF=BC-EF 可求解. 17 【答案】12 【解析】【解答】解：AD 是 BC 边上的高， ADCADB90 ， C60 ，AC6， CDACcosC6cos60 6 12= 3， ADACsinC6sin60 6 32= 3 3 ， AB6 3 ， BD= 2 2=(63)2 (33)2= 9， BCCD+BD3+912 故答案为：12
24、 【分析】先求出ADCADB90 ，再求出 BD=9，最后计算求解即可。 18 【答案】2310 或 22 或 2 【解析】【解答】解：当 = 2 = 22 时， 如图 1，当ABC 为钝角时，作 于 ， 于 ， 1 与 2 之间的距离为 2，即 = 2 ， = 2 2=(22)2 22= 2 ， = 4 ， = 2+ 2= 25 ， 绕点 按顺时针方向旋转 45 得到 ， = 45 ， 为等腰直角三角形， 设 = = ， 1/2 ， = ， tan = tan =12 ，即 = 2 ， = + = 3 = 25 ， =235 ， = 2 =2310 如图 2，当ABC 为锐角时，作 于 ，
25、sin =222=22 ， = 45 ， 是等腰直角三角形， = 2 ， 又BC=2， 点 E 与点 C 重合， 2 ， 1 等腰直角三角形， 绕点 按顺时针方向旋转 45 得到 ， = 45 ， 是等腰直角三角形， = 2 = 22 当 = 2 = 22 时， 如图 3，当ACB 为锐角时，同可得，此时 是等腰直角三角形， 绕点 按顺时针方向旋转 45 得到 ， = + = 90 ， 2 ， = 2 ； 如图 4，当ACB 为钝角时，作 于 ，则 = 2 ， = 2 = 2 ， sin =222=22 ， = 45 ， 绕点 按顺时针方向旋转 45 ，得到 时，点 在直线 2 上， /1 ，
26、即直线 与 2 无交点， 综上所述， 的值为 2310 ， 22 ，2 故答案为： 2310 或 22 或 2 【分析】先根据 = 2 和 = 2 时两种情况，再分别由 的 2 倍的边与 BC 所成角为钝角和锐角两种情况画出图形分别求解 19 【答案】120 【解析】【解答】解：|sin 12| + (cos 32)2= 0 ， sinA- 12 =0，cosB- 32 =0， sinA= 12 ，cosB= 32 ， A=30 ，B=30 ， C 的度数是：180 -30 -30 =120 故答案为：120 【分析】先求出 sinA- 12 =0，cosB- 32 =0，再求出A=30 ，B
27、=30 ，最后求C 的度数即可。 20 【答案】55 【解析】【解答】解：设左下角顶点为点 F，取 BF 的中点 E，连接 CE，DE，如图所示 点 C 为 AF 的中点，点 E 为 BF 的中点， / ， BODDCE， 在DCE 中，DC 10 ，DE2 2 ，CE 2 ， DC2CE2DE2， DEC90 ， cosDCE 210=55 cosBOD 55 故答案为 55 【分析】设左下角顶点为点 F，取 BF 的中点 E，连接 CE，DE，先利用勾股定理求出 DC、DE、CE的长，再利用勾股定理逆定理证明出DEC90 ，最后利用余弦的定义求解即可。 21 【答案】等边三角形 【解析】【
28、解答】解： cos 12+|tan 3| = 0 ， cos =12 ， tan = 3 ， A=60 ，B=60 ， C=60 ， ABC 是等边三角形； 故答案为：等边三角形 【分析】先利用非负数之和为 0 的性质求出cos =12 ， tan = 3 ，再利用特殊角的三角函数求出A=60 ，B=60 ，最后判定即可。 22 【答案】解： |1 3| + (12)1 1 2tan60 ， = 3 1 + 2 1 23 ， = 3 . 【解析】【分析】 由负整数指数幂的意义“任何一个不为 0 的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（12）-1=2，由特殊角的三角函数值可得
29、tan60 =3，再根据二次根式的运算法则计算即可求解. 23 【答案】解：原式1-3+43223 =-2 【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数值先进行计算，再计算加减即可. 24 【答案】解：原式= 2 63+ 2 22 33 1 = 263+ 2 263 1 =1 【解析】【分析】根据二次根式的除法公式、负指数次幂的性质、30 的正切值和任何非 0 数的 0 次幂都等于 1 计算即可. 25 【答案】解：原式=3 + -（ ）-1-（ -1） =3 + - - +1 =2 +1 【解析】【分析】 将特殊锐角的三角函数值代入， 同时化简二次根式、 计算绝对值，
30、再进一步计算可得 26 【答案】（1）证明： ， CDGA， FECA， FECCDG， EFDG， FGCD， 四边形 DEFG 为平行四边形； （2）解：如图，过点 G 作 GPAB 于 P， 四边形 DEFG 为平行四边形， DGEF6.2， AD1.6， AGDG+AD6.2+1.67.8， 在 RtAPG 中，sinA= ， 7.8=0.96， PG=7.8 0.967.4887.5 答：雕塑的高为 7.5m. 【解析】【分析】 （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判断即可； （2）过点 G 作 GPAB 于 P，先利用线段的和差求出 AG 的长，再利用 sinA=
31、，将数据代入计算可得 PG 的长。 27 【答案】（1）解： = 12， 点的坐标为(12，0) 直线 = 1 + 过点(12，0)，(0，6)， 121+ = 0 = 6， 解得1= 12 = 6，即 = 12 + 6 点在直线 = 12 + 6上，且 = 45， 设(，)且 = 12 + 6，得 = 4 (4，4) 是的中点， 点 C 的横坐标为4+02= 2，纵坐标为4+62= 5，即(2，5) 2= 2 5 = 10， 反比例函数的解析式为 =10 （2）解：连接 OD，过点 D 作 DFx 轴于点 F，如图， 联立方程组 = 12 + 6 =10， 解得 = 10 = 1或 = 2
32、= 5（舍去） 点的坐标为(10，1) = 10， = 1 tan =110 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可得解； （2）联立方程得出点 D 的坐标，得出 = 10， = 1 ，即可得解。 28 【答案】（1）解：的中点是，点的坐标为(8，4)， (4，2) 双曲线 =( 0)经过点； = 4 2 = 8， =8 为直角三角形， /轴， ，两点的纵坐标相等，均为 4， (2，4) 设直线的解析式为 = ， 4 = 2，解得 = 2 直线的解析式为 = 2 （2）解：如图，过点作 于点， sin =， 6=442+82，解得 =655， 在Rt 中，sin =65522+42=35
33、【解析】【分析】（1） 先求出点P （4， 2） ， 将点P坐标代入 =( 0)中可得k=8， 即得 =8， 由/轴及A 的坐标，可得，两点的纵坐标相等均为 4，从而求出 Q（2，4） ，设直线的解析式为 = ， 将Q 坐标代入求出 a 值即得解； （2） 过点作 于点， 由sin =可求出 QD，根据 sin = 即可求解. 29 【答案】（1）解： ，与水平地面所成的角的度数为35， 显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为35 过点作点所在铅垂线的垂线，垂足为，则 = 35 = 15cm， = cos = 15 0.819 12.3cm （2）解：如图，连接，作垂直反向延长线于点 = 20c
34、m，为的中点， = = 10cm = 15cm， = 2， = 10cm ， ， 四边形为矩形， = = 10cm = 90， + = + = 90 = = 35 = cos35 = 10 0.819 = 8.19cm 镜头到地面的距离为60 + 8.19 68.2cm 【解析】【分析】 （1）过点作点所在铅垂线的垂线，垂足为，则 = 35，利用锐角三角函数的定义求出 CM 的值即可； （2）连接，作垂直反向延长线于点，得出四边形为矩形， = = 10cm，利用锐角三角函数的定义求出 AH 的长，进行计算即可解答。 30 【答案】（1）解：四边形 ABCD 是矩形， = = 90， + = 9
35、0， + = 90， = ， = ， ()， = ， = ， + = + = = 4 （2）证明：如图，延长 NP、QD 相交于点 H， = ， = ， = = 90， ()，= ， = ， = = 90， = ， ()， = ，= + （3）解：如图，过点 R 作 交 DC 的延长线于点 S，过点 N 作 交 QR 于点 M， ， = = 2， 同（1）易证 ， = = 2， = ， = 2 = 22， = 2， = 4， = 4， = ， = = 90， ， =，解得 = 1， = = 1， = = 5， 在 和 中，由勾股定理得 = 25， = 5， = 2+ 2= 5， = 25， = = 5 = 45， = sin45 = 5 22=102， sin =1010 【解析】【分析】 （1）由矩形的性质可得 = = 90，证明 ()可得 QD=CP，CR= DP，从而得出 + = + = = 4； （2）延长 NP、QD 相交于点 H，证明 ()，可得= ， = ，再证 ()，可得= ，从而得出= + ； （3） 过点R作 交DC的延长线于点S， 过点N作 交QR于点M， 证 ， 可得=据此求出 CN，利用勾股定理求出 PQ，PN，QN 的长，继而得出 NR 的长，利用 = sin45，可求出 MN，根据 sin =即可求解
