1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 3 3 讲讲 分式及二次根式分式及二次根式 一、单选题一、单选题 1无论 取什么数，总有意义的代数式是（ ） A2 B43+1 C1(2)2 D+ 3 2若分式11有意义，则 x 的取值范围是（ ） A 1 B 2 C 0 D 1 3 （2022 平阳模拟）若分式23的值为 0，则 x 的值为（ ） A-3 B-2 C0 D2 4 （2022 慈溪模拟） 若二次根式 1 在实数范围内有意义， 则下列各数中， x 可取的值是( ) A4 B C2 D1 5 （2022 北仑模拟）若二次根式3 在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A 3 B 3 C 3 D
2、 1 C 1 D 0 二、填空题二、填空题 11 （2022 台州）如图的解题过程中，第步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的 x的值是 先化简，再求值： 34+ 1 ，其中 = 学科网（北京）股份有限公司 解：原式 =34 ( 4) + ( 4) = 3 + 4 = 1 12 （2022 丽水）如图，标号为，的矩形不重叠地围成矩形 PQMN.已知和能够重合，和能够重合，这四个矩形的面积都是 5，AE=a，DE=b，且 ab. （1）若 a，b 是整数，则 PQ 的长是 ； （2）若代数式 a22abb2的值为零，则 四边形矩形 的值是 13 （2022 宁波模拟）若二次根式3 +
3、 在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 14 （2022 衢江模拟）二次根式 4中字母的取值范围是 . 15 （2022 温州）计算： 2+2= 16 （2022 金华）若分式 23 的值为 2，则 x 的值是 . 17 （2022 永康模拟）若分式 13 有意义，则 x 的取值范围为 18 （2022 湖州）当 a=1 时，分式 +1 的值是 . 19 （2022 萧山模拟）计算：3 2 = . 20 （2022 宁波模拟）分式 26+1 有意义的条件是 . 三、计算题三、计算题 21 （2022 北仑模拟）先化简，直求值：(2 1) 24，共中2 2. 22 （2022 温州模拟） （1
4、）计算：6 (3) + 4 8 22. （2）化简：22412. 23 （2022 衢州模拟）计算： （1）12+ 20180 (12)1+ 83； （2）22+22. 学科网（北京）股份有限公司 24 （2022 龙湾模拟） （1）计算： 21 (5 1)0+ | 32| 273 （2）化简： 2+32+32 25 （2022 瓯海模拟） （1）计算： （2）232+|5|9 （2）化简：222+422 四、解答题四、解答题 26 （2022 衢州模拟）先化简，再求值： （111+1）+221，然后从1，1，3 中选择适当的数代入求值. 27 （2022 台州模拟）先化简，再求值： （11）
5、21，其中 a2020. 28 （2022 衢州模拟）先化简42412，从-2，-1，0，2 四个数中选取一个合适的数代入求值. 29 （2022 余杭模拟）化简： 31+312 小明的解答如下： 原式= 31321 =（x2-1） 31 -（x2-1） 321 =3（x+1）-（x-3） =2x+6 小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程 30 （2022 江干模拟）化简： 11+1 1. 小马的解答如下，小马的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答. 解： 11+1 1 = ( + 1) ( 1) 1 = 2+ + 1 1 = 2 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解
6、析】【解答】解：A、无论 x 取任何数，2有意义，A 选项符合题意； 学科网（北京）股份有限公司 B、x-1 时，43+1有意义，B 选项不符合题意； C、x2 时，1（2）2有意义，C 选项不符合题意； D、x-3 时，+ 3有意义，D 选项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，及分式有意义的条件，即分母不为零，逐项进行判断即可. 2 【答案】D 【解析】【解答】解：分式11有意义， 1 0，解得 1， 故答案为：D. 【分析】分式有意义的条件：分母不为 0，据此解答即可. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：分式23的值为 0 x20，x30，
7、 x2. 故答案为：D. 【分析】根据分式值为 0 的条件可得 x-20，x-30，求解即可. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得 1-x0 解之：x1. x 可以为 1. 故答案为：D. 【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可求出 x 的取值范围，即可求解. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：要使二次根式3 在实数范围内有意义， 必须 3x0， 解得：x3. 故答案为：C. 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不为负数，据此可得 3x0，求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 6 【答案】C 【解析】【解答】解：22+2325，故 A 不符合题意； B、23
8、-222，故 B 不符合题意； C、22 23=25，故 C 符合题意； D、21=12，故 D 不符合题意； 故答案为：C. 【分析】同底数幂相加减，要先算乘方，再算加法或减法，可对 A，B 作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对 C 作出判断；利用负整数指数幂的性质，可对 D 作出判断. 7 【答案】A 【解析】【解答】解：错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为 3 与 4，则第三边的长是 5； 正确，隐含条件 a0，根据二次根式的意义，等式成立； 正确，若点 P（a，b）在第三象限，则 a0，b0；则-a0，-b0，点 Q（-a，-b）在第一象限； 正确，已知：如图，AB
9、=AB，AC=AC，AD=AD，BD=CD，BD=CD， 求证：ABCABC； 证明：过点 C 作 CEAB 交 AD 的延长线于 E， BAD=E，ABD=ECD， BD=CD， ABDECD（AAS） ， AB=CE，AD=DE， 过点 C作 CEAB交 AD的延长线于 E， 同理：AB=CE，AD=DE， AD=AD，AB=AB， AE=AE，CE=CE， AC=AC， ACEACE（SSS） ， 学科网（北京）股份有限公司 CAE=CAE，E=E=BAD=BAD， BAC=BAC， ABCABC（SAS） ， 即：两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确. 故答案为：A. 【
10、分析】根据勾股定理可判断；根据二次根式有意义的条件可得 a0，据此判断；根据点的坐标与象限的关系可判断；画出示意图，已知 AB=AB，AC=AC，AD=AD，BD=CD，BD=CD，过点 C 作 CEAB 交 AD 的延长线于 E，证明ABDECD，得到 AB=CE，AD=DE，过点 C作 CEAB交 AD的延长线于 E，证明ACEACE（SSS） ，得到CAE=CAE，E=E=BAD=BAD，推出BAC=BAC，据此判断. 8 【答案】C 【解析】【解答】解： 3， x-30， x3. 故答案为：C. 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，即 x-30，求解不等式即可得 x 的取值范围. 9
11、 【答案】C 【解析】【解答】解：原式=2+2+2 =+2+2 =1. 故答案为：C. 【分析】直接根据同分母分式减法法则进行计算即可. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得： 1 0 1 0，解得 x1. 故答案为：B. 【分析】依据被开方数大于等于 0 及分母不为零，列出不等式组，求解即可. 11 【答案】5 【解析】【解答】解：原式=34+44= 14 最后所求的值是正确的 14=-1 解之：x=5 学科网（北京）股份有限公司 经检验：x=5 是方程的解. 故答案为：5. 【分析】先通分计算，再由题意可得到14=-1；然后解方程求出 x 的值. 12 【答案】（1）a-b （2
12、）3 + 22 【解析】【解答】解：(1)和能够重合，和能够重合，AE=a，DE=b， PQ=AE+DE-2ED=a+b-2b=b， 故答案为：a-b； (2)a2- 2ab- b2=0， a2-b2=2ab， 则(a-b)2=2b2， a=(2+1)b 或(1-2)b(舍去)， 四个矩形的面积都是 5，AE=a，DE=b， EP=5，EN=5， 四边形矩形=(+)(5+5)()(55)=2+2+222+2=22=(2+1)222= 3 + 22. 故答案为：3 + 22. 【分析】(1)直接根据线段和差关系，结合两组全等矩形的边相等，列式计算可得结论； (2)解关于 a 的二元一次方程：a2
13、-2ab-b2=0， 得到 a=(2+1)b ，根据四个矩形的面积都是 5 分别表示小矩形的宽，再利用含 a、b 的代数式表示四边形矩形，化简后，再代入 a=(2+1)b，即可解答. 13 【答案】x-3 【解析】【解答】解：由题意得： 3 + 0， 解得： 3， 故答案为： 3. 【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得 3+x0，求解即可. 14 【答案】x4 【解析】【解答】解：由题意，得 x-40， 解得：x4. 故答案为：x4. 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，可得 x-40，求解即可. 15 【答案】2 【解析】【解答】解：原式
14、=2+2= 2. 故答案为：2. 【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后化简即可. 16 【答案】4 【解析】【解答】解：分式23的值为 2， 23=2， 2=2x-6， x=4. 故答案为：4. 【分析】由分式23的值为 2，得23=2，再解分式方程即可求出 x 的值. 17 【答案】x3 【解析】【解答】解：由题意得 x-30 解之：x3. 故答案为：x3. 【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于 0，可得到关于 x 的不等式，然后求出不等式的解集. 18 【答案】2 【解析】【解答】解：把 a=1 代入分式中， +1=1+11=2. 故答案为：2. 【分析】把 a=1
15、代入分式中，化简求值即可求解. 19 【答案】6 【解析】【解答】解：3 2， = 3 2， = 6； 故答案为：6. 【分析】直接根据二次根式的乘法法则进行计算. 20 【答案】x-1 【解析】【解答】解：要使分式有意义， 学科网（北京）股份有限公司 则 x+10， x-1. 故答案为：x-1. 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，依此列式求解，即可解答. 21 【答案】解：(2 1) 24=2(+2)(2)= 1+2 当 = 2 2时，原式= 122+2= 12= 22 【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将 a 的值代
16、入计算即可. 22 【答案】（1）解：6 (3) + 4 8 22 =2 + 2 8 14 = 2 + 2 2 = 2 （2）解：22412 =2(+2)(+2)(2) =2(+2)(2) =1+2 【解析】【分析】 （1） 根据算术平方根的概念、 负整数指数幂的运算性质及有理数的除法法则分别计算，然后计算乘法，再计算加减法即可； （2）对第一个分式的分母进行分解，然后通分，再约分即可. 23 【答案】（1）解：12+ 20180 (12)1+ 83 =1+12+2 =0； （2）解：22+22 =(+)()+2() =(+)()2()+ =2( ) 学科网（北京）股份有限公司 =2a2b.
17、【解析】【分析】 （1）根据乘方、开方、零指数幂及负整数幂的性质分别 h 进行计算，然后根据有理数的加减法法则算出答案即可； （2）先将分子、分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，然后约分即可. 24 【答案】（1）解：原式=12-1+32-3=-2. （2）解：原式=2+3232=2(1)=1. 【解析】【分析】 （1）根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、立方根的定义进行化简，再计算加减法，即可得出答案； （2）先通分，再计算分式的减法，即可得出答案. 25 【答案】（1）解： （2）232+|5|9 =432+53 =6+5-3 =8 （2）解：222+422 =2(2)+4(2) =
18、2(2)4(2) =24(2) =(+2)(2)(2) =+2 【解析】【分析】 （1） 根据有理数的乘方法则、 绝对值的性质以及算术平方根的概念可得原式=432+5-3，然后计算乘法，再计算加减法即可； （2）对两个分式的分母进行分解，然后结合同分母分式减法法则进行计算. 26 【答案】解：(111+1) +221 =+1+1(1)(+1)+2(1)(+1) =2(1)(+1)(1)(+1)+2 =2+2； 学科网（北京）股份有限公司 1 0， + 1 0， + 2 0， 1， 2， 当 = 3时，2+2=23+2=25 【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然
19、后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，接下来选择一个使分式有意义的 x 的值代入计算即可. 27 【答案】解：原式=1(+1)(1) =1+1 当 a=2020 时， 原式=12021 【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，将第二个分式的分子分解因式，同时除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将 a 的值代入计算即可. 28 【答案】解：原式=4(+2)(2)12 =4(+2)(+2)(2) =2(+2)(2) = 1+2 要使分式有意义，则2 4 0且 2 0 解得 2， 只能选择-1 或 0 当 m=-1 时，原式= 1 当 m=0 时，原式=12 【解析】【分析】对第
20、一个分式的分母进行分解，再通分后按同分母分式的加减法进行计算，并进行约分即可对原式进行化简，然后选取一个使分式有意义的 m 的值代入进行计算. 29 【答案】解：不正确 原式 学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据分式加法法则，先通分，化为同分母的分式相加减，再进行计算，即可得出答案. 30 【答案】解：不正确， 正确解答如下： 11+1 1 =(+1)211212121 =2+12+121 =221 . 【解析】【分析】首先第一项的分子、分母都乘以（x+1） ，第二项的分子、分母都乘以（x-1） ，第三项的分析分母都乘以（x+1） （x-1）进行通分，然后根据同分母分式减法法则进行计算
