1、 第第 7 7 讲讲 分式方程分式方程 一、单选题一、单选题 1 （2022 无锡）方程 23=1 的解是（ ）. A = 3 B = 1 C = 3 D = 1 2 （2022 江苏模拟）关于 x 的方程 111 =0 有增根，则 m 的值是（ ） A2 B2 C1 D1 3 （2021 连云港模拟）甲队 3 小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作 1.2 小时完成工程的另一半.设乙队单独完成此项工程需要 x 小时，据题意可列出方程为（ ） A1.26+1.2= 1 B1.23+1.2= 1 C1.26+1.2=12 D1.23+1.2=12 4 （2021 姑苏模
2、拟）已知一汽船在顺流中航行 46 千米和逆流中航行 34 千米，共用去的时间，正好等于它在静水中航行 80 千米用去的时间，且水流速度是 2 千米时，求汽船在静水中的速度，若设汽船在静水中速度为 x 千米/时，则所列方程正确的是（ ） A462+34+2=80 B462+34=80+2 C46+342=80+2 D46+2+342=80 5 （2021 苏州模拟）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为 154cm，她上半身的长度为 62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双
3、合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 6 （2020 无锡模拟）“绿水青山就是金山银山”.为改造太湖水质，某工程队对 2400 平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 20%，结果提前了 40 天完成任务.设实际每天净化的水域面积为 x 平方公里，则下列方程中正确的是（ ） A24002400(1+20%)= 40 B24002400(1+20%)= 40 C2400(1+20%)2400= 40 D2400(1+20%)2400= 40 7 （2020 淮阴模拟）某工程队开挖一
4、条 480 米的隧道，开工后，每天比原计划多挖 20 米，结果提前 4天完成任务，若设原计划每天挖 米，那么求 时所列方程正确的是（ ） A48020480= 4 B480480+4= 20 C480480+20= 4 D4804480= 20 8 （2020 张家港模拟）若关于 x 的一元一次不等式组 14(4 2) 12312 + 2 的解集是 x a，且关于 y的分式方程 2141= 1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ） A0 B1 C4 D6 9 （2020 无锡模拟）方程 34 1 =14 的解是（ ） A3 B3 C4 D4 10 （2020 泰兴模拟）下列方程
5、中，没有实数根的是（ ） A2x+30 Bx210 C2+1= 1 Dx2+x+10 二、填空题二、填空题 11 （2022 盐城）分式方程+121= 1的解为 12 （2021 淮安）分式方程 2+1 =1 的解是 . 13 （2021 邳州模拟）方程 2+4=12 的解为 . 14 （2021 射阳模拟）目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现： 小琼步行 13500 步与小刚步行 9000 步消耗的能量相同.若每消耗 1千卡能量小琼行走的步数比小刚多 15 步.设小刚每消耗 1 千卡能量需要行走 步，则根据题意可列方程为 .
6、15 （2021 苏州模拟）当 m= 时，关于 x 的分式方程 21 =1 有增根. 16 （2021 姑苏模拟）关于 x 的方程 4 2 的解是非负数，则 a 的取值范围是 . 17 （2021 苏州模拟）已知关于 x 的分式方程 2 4 =2 的解为正数，则 k 的取值范围是 18 （2021 滨海模拟）若分式 2+2 的值等于 1，则 x= . 19 （2020 南京模拟）分式 32 的值比分式 12 的值大 3，则 x 为 . 20 （2020 惠山模拟）某品牌瓶装饮料每箱价格 26 元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了
7、0.6 元，则该品牌饮料一箱有 瓶. 三、综合题三、综合题 21（2020 连云港）甲、 乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫， 共渡难关”捐款活动， 甲公司共捐款 100000元，公司共捐款 140000 元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话： （1）甲、乙两公司各有多少人？ （2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 A、B 两种防疫物资，A 种防疫物资每箱 15000 元，B种防疫物资每箱 12000 元.若购买 B 种防疫物资不少于 10 箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）. 22 （2020 盐城模拟）某饰品店老板去批发市场
8、购买新款手链，第一次购手链共用 1000 元，将该手链以每条定价 28 元销售，并很快售完，所得利润率高于 30%.由于该手链深得年轻人喜爱，十分畅销，第二次去购进手链时，每条的批发价已比第一次高 5 元，共用去了 1500 元，所购数量比第一次多 10条.当这批手链以每条定价 32 元售出 80%时，出现滞销，便以 5 折价格售完剩余的手链.现假设第一次购进手链的批发价为 x 元/条. （1）用含 x 的代数式表示：第一次购进手链的数量为 条； （2）求 x 的值； （3）不考虑其他因素情况下，试问该老板第二次售手链是赔钱了，还是赚钱了？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 23 （2020 无
9、锡模拟）某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅，已知每张餐椅的进价比每张餐桌的进价便宜 110 元，餐桌零售价 270 元/张，餐椅零售价 70 元/张.已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同. （1）求该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张.该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，售价 500 元/套，其余餐桌、餐椅以零售方式销售.请问该商场怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 24 （2020 溧阳模拟）疫情期间，甲、乙两个
10、口罩工厂共同承担口罩生产任务，甲工厂单独完成此项任务比乙工厂单独完成此项任务需多用 10 天，且甲工厂单独生产 45 天和乙工厂单独生产 30 天的工作量相同. （1）甲、乙两工厂单独完成此项任务需要多少天？ （2）若甲、乙两工厂共同生产了 3 天后，乙工厂因设备检修停止生产，由甲工厂维续生产，为了不影响任务进度，甲工厂的工作效率提高到原来的 2 倍，要使甲工厂总的工作量不少于乙工厂总的工作量的 2 倍，那么甲工厂需要至少再单独生产多少天？ 25 （2020 无锡模拟）为了改善教室空气环境， 某校九年级 1 班班委会计划到朝阳花卉基地购买绿植 已 知该基地一盆绿萝与一盆吊兰的价格之和是 12
11、元班委会决定用 60 元购买绿萝，用 90 元购买吊兰，所购绿萝数量正好是吊兰数量的两倍 （1）分别求出每盆绿萝和每盆吊兰的价格； （2）该校九年级所有班级准备一起到该基地购买绿萝和吊兰共计 90 盆，其中绿萝数量不超过吊兰数量的一半，该基地特地对吊兰价格给出了如下的优惠政策，一次性购买的吊兰超过 20 盆时，超过部分的吊兰每盆的价格打 8 折， 根据该基地的优惠信息， 九年级购买这两种绿植各多少盆时总费用最少？最少费用是多少元？ 26 （2020 宜兴模拟）实行垃圾资源化利用，是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发的甲、乙两种智能设备可利用最新技术将干垃圾变身为燃料棒.某垃圾处理厂从环
12、保公司购入以上两种智能设备，若干已知购买甲型智能设备花费 360 万元，购买乙型智能设备花费 480 万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为 140 万元. （1）求甲乙两种智能设备单价； （2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的 40%，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的 54 倍还多 10 元，调查发现：若燃料棒售价为每吨 200 元，平均每天可售出 350 吨，而当销售价每降低 1 元，平均每天可多售出 5 吨，但售价在每吨 200 元基础上降价幅度不超过 7%， 垃圾处理厂想使这种
13、燃料棒的销售利润平均每天达到 36080 元， 求每吨燃料棒售价应为多少元？ 每吨燃料棒售价应为多少元时，这种燃料棒平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：方程两边都乘 ( 3) ，得 2 = 3 解这个方程，得 = 3 检验：将 = 3 代入原方程，得 左边 = 13 ，右边 = 13 ，左边=右边. 所以， = 3 是原方程的根. 故答案为：A. 【分析】方程两边都乘 x(x-3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，求解得出 x 的值，然后进行检验即可. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：方程两边都乘（x1） ，得 m1x=
14、0， 方程有增根， 最简公分母 x1=0，即增根是 x=1， 把 x=1 代入整式方程，得 m=2. 故答案为：A. 【分析】给方程两边同时乘以(x-1)可得 m-1-x=0，所谓增根，就是使最简公分母为 0 的根，据此求出x=1，而分式方程的增根又是将分式方程去分母后所得的整式方程的根，据此将 x 的值代入求解可得 m的值. 3 【答案】C 【解析】【解答】解：甲队 3 小时完成了工程进度的一半， 甲队的工作效率为 16 设乙队单独完成此项工程需要 x 小时， 乙队的工作效率为 1 由题意可得， 1.26+1.2=12. 故答案为：C. 【分析】由题意可得甲队的工作效率为16，乙队的工作效率
15、为1，则甲队 1.2 小时完成的量为1.26，乙队1.2 小时完成的量为1.2，结合两队合作 1.2 小时完成工程的另一半即可列出方程. 4 【答案】D 【解析】【解答】 解： 在顺流中航行 46 千米所用的时间为 46+2 ， 逆流中航行 34 千米所用的时间为 342 ， 在静水中航行 80 千米所用的时间为 80 ， 列的方程为 46+2+342=80. 故答案为：D. 【分析】汽船顺水航行的速度为（x+2） 千米/时 ，汽船逆水航行的速度为（x-2） 千米/时 ，分别表示出顺流中航行 46 千米所用的时间、 逆流中航行 34 千米所用的时间、 静水中航行 80 千米所用的时间，然后根据
16、顺流所用的时间+逆流所用的时间=静水中所用的时间就可列出关于 x 的方程. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是 x cm，则 62154+62= 0.618 ， 解得： 8.3 ， 我认为选择鞋跟高为 8 厘米的高跟鞋最佳； 故答案为：C. 【分析】黄金分割的概念可知：人上半身长度与下半身的长度的比值=0.618，设她穿的高跟鞋的高度是 x cm，利用黄金分割数”，根据题意可列方程，然后求出方程的解. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：设实际每天净化的水域面积为 x 平方公里，根据题意可得方程： 2400(1+20%)2400= 40 故答案为：C. 【分析
17、】直接利用施工时间提前 40 天完成任务得出等式即可得出答案. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：原计划用时为： 480 ，实际用时为： 480+20 . 所列方程为： 480480+20= 4 ， 故答案为：C. 【分析】本题的关键描述语是：“提前 4 天完成任务”；等量关系为：原计划用时实际用时4. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：由不等式组 14(4 2) 12312 + 2 ，解得： 5 解集是 xa， a5； 由关于 y 的分式方程 2141= 1 得 2y-a+y-4=y-1 =3+2 又该方程有非负整数解， a-3， a=-3，a=-1（舍，此时分式方程为增根） ，a=1，
18、a=3， 符合条件的所有整数 a 的和为 1. 故答案为：B. 【分析】先解关于 x 的一元一次不等式组 14(4 2) 12312 0 且 8+3 2 . 解得，k-8 且 k-2. 故答案为：k-8 且 k-2. 【分析】 原方程的两边都乘以 （x-2） 约去分母， 将分式方程转化为整式方程， 解整式方程求出 x 的值，再根据分式方程的解为正数，建立关于 k 的不等式组，然后求出不等式组的解集. 18 【答案】0 【解析】【解答】解：由题意得， 2+2 =1， 去分母，得 2=x+2， x=0， 检验：当 x=0 时，x+20. 故答案为：0. 【分析】由题意可得2+2=1，在方程的两边都
19、乘以(x+2)约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出 x 的值，然后进行检验即可. 19 【答案】1 【解析】【解答】根据题意得： 32 - 12 =3， 方程两边都乘以 x-2 得：-（3-x）-1=3（x-2） ， 解得：x=1， 检验：把 x=1 代入 x-20， 所以 x=1 是所列方程的解， 所以当 x=1 时， 32 的值比分式 12 的值大 3. 【分析】先根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验，最后得出答案即可. 20 【答案】10 【解析】【解答】解：设该品牌饮料一箱有 x 瓶，由题意得： 26 - 26+3 =0.6， 解得：x1=-13（不合题意舍去） ，x
20、2=10， 经检验：x=10 是原分式方程的解. 故答案为：10. 【分析】 首先设该品牌饮料一箱有 x 瓶， 根据题意可得不搞活动时饮料每瓶 26 元， 搞活动时每瓶 26+3 元，根据“相当于每瓶比原价便宜了 0.6 元”可得方程 26 - 26+3 =0.6，再解方程即可. 21 【答案】（1）解：设乙公司有 x 人，则甲公司有 ( 30) 人，由题意得 1000003076=140000 ，解得 = 180 . 经检验， = 180 是原方程的解. 30 = 150 . 答：甲公司有 150 人，乙公司有 180 人. （2）解：设购买 A 种防疫物资 m 箱，购买 B 种防疫物资 n
21、 箱，由题意得 15000 + 12000 = 100000 + 140000 ，整理得 = 16 45 . 又因为 10 ，且 、 为正整数， 所以 = 8 = 10 ， = 4 = 15 . 答：有 2 种购买方案：购买 8 箱 A 种防疫物资、10 箱 B 种防疫物资，或购买 4 箱 A 种防疫物资、15箱 B 种防疫物资. 【解析】【分析】 （1）设乙公司有 x 人，则甲公司有 ( 30) 人，根据对话，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论;（2）设购买 A 种防疫物资 m 箱，购买 B 种防疫物资 n 箱，根据甲公司共捐款 100000 元，公司共捐款 140000
22、 元.列出方程，求解出 = 16 45 ，根据整数解，约束出 m、n 的值，即可得出方案. 22 【答案】（1）1000 （2）解：由题意可得方程 ( + 5)(1000+ 10) = 1500 ， 解得 = 20 或 = 25 利润率高于 30%， = 20 ； （3）解：第一次售手链数量： 100020 =50（条） 第二次售手链数量：50+10=60（条） ， 收入为 60 80% 32 + 60 20% 16 = 1728 （元） ， 1728-1500=228（元） ， 第二次售手链赚钱，赚 228 元. 【解析】【解答】 （1）解：由题意可得第一次购进手链的数量为 1000 条，
23、故答案为： 1000 ； 【分析】 （1）根据数量=总额 单价列出代数式即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）先求出第二次售手链数量，再计算出收入即可. 23 【答案】（1）解：设每张餐桌的价格为 a 元，则每张餐椅的价格为（a-110）元， 由题意得 600=160110 ， 解得 a=150， 经检验，a=150 是原分式方程的解 ， 此时 a110=40， 答：该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为 150 元和 40 元； （2）设购进餐桌 x 张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为 W 元. 由题意得：x+5x+20200， 解得：x30 W=12x （5001
24、50440）+12x （270150）+（5x+2012x4） （7040）=245x+600 k=2450， W 随 x 的增大而增大， 当 x=30 时，W 取最大值，最大值为 7950. 此时 a110=40， 答：购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 7950 元. 【解析】【分析】 （1）设每张餐桌的价格为 a 元，则每张餐椅的价格为（a-110）元，根据用 600 元购进 的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同可得等量关系列出方程，求解即可； （2）设购进餐桌 x 张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为 W 元，根据题意将 W 用 x 表示
25、出来，根据餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张得出 x 的取值范围，从而可得结果. 24 【答案】（1）解：设乙工厂单独完成任务需要 天，则甲工厂单独完成任务需要 + 10 天， 根据题意得， 45 1+10= 30 1 解之得： = 20 经检验： = 20 是原方程的解 甲、乙两工厂单独完成此项任务需要 20 天, 30 天； （2）解：设甲工厂需要再单独生产 天，根据题意得， 3 130+ 2 130+ 3 +120 2 解之得： 3 答：甲工厂至少需要再单独生产 3 天. 【解析】【分析】 （1）设乙工厂单独完成此项任务需要 x 天，则甲工厂单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲工
26、厂单独施工 45 天和乙工厂单独施工 30 天的工作量相同建立方程求出其解即可； （2）设甲工厂再单独生产 a 天，根据甲工厂总的工作量不少于乙工厂的工作量的 2 倍建立不等式求出其解即可. 25 【答案】（1）解：设每盆绿萝 x 元，则每盆吊兰（12x）元，根据题意得： 60 = 9012 2 解得：x=3，经检验 x=3 是方程的解，则 12x=123=9（元） 答：每盆绿萝是 3 元，每盆吊兰 9 元； （2）解：设购买吊兰 x 盆，总费用 y 元，根据题意得： 90 x 12 x 解得：x60，则 y=20 9+9 0.8（x20）+3（90 x）=4.2x+306 4.20， y 随
27、 x 的增大而增大， 当 x=60 时，y 取得最小值，最小值为 4.2 60+306=558， 购买吊兰 60 盆，绿萝 30 盆时，总费用最少，为 558 元 【解析】【分析】 （1）设每盆绿萝 x 元，则每盆吊兰（12x）元，根据所购绿萝数量正好是吊兰数量的两倍，列出方程，求解即可； （2）设购买吊兰 x 盆，总费用 y 元，根据购买绿萝和吊兰共计 90 盆，其中绿萝数量不超过吊兰数量的一半，列出不等式，求出 x 的取值范围，再表示出总费用，然后根据函数性，即可得出答案 26 【答案】（1）解: 设甲单价为每台 x 万元，则乙单价为每台(140 x)万元，由题意得： 360=480140
28、 解得：x =60， 经检验，x =60 是所列方程的根， x =60， 140 = 80 ， 答：甲设备单价为每台 60 万元，乙设备单价为每台 80 万元； （2）解: 设每吨燃料棒的成本为 a 元，则其物资成本为 40%a ，由题意得： 40% =54 40% + 10 ， 解得 a=100，即每吨燃料棒的成本为 100 元， 设每吨燃料棒在 200 元基础上降价 x 元，由题意得： (200 x100)(350 +5x) = 36080， 解得： 1= 12,2= 18 ， 200 7% ，即 14 ， x =12， 200 = 188 答：每吨燃料棒售价应为 188 元； 设每吨燃料
29、棒在 200 元基础上降价 x 元，平均每天的销售利润为 y 元，由题意得： = (200 100)(350 + 5) = 52+ 150 + 35000 ， 可化为： = 5( 15)2+ 36125 ， 14 ， 当 x =14 时，y 取得最大值为 = 5 (14 15)2+ 36125 = 36125 ， 此时每吨燃料棒售价为 20014=186（元） 答：每吨燃料棒售价为 186 元时，平均每天的最大销售利润是 36120 元. 【解析】【分析】 （1）根据两种智能设备的单价和为 140 万元可设甲单价为每台 x 万元，乙单价为每台(140 x)万元，利用购买的两种设备数量相同，列出分式方程求解即可； （2） 根据燃料成本构成的数量关系求出每吨燃料的成本， 设每吨燃料棒在 200 元基础上降价 x 元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度不超过 7%得出降价，即可得出售价；设每吨燃料棒在 200元基础上降价 x 元，平均每天的销售利润为 y 元，列出 y 关于 x 的函数关系式，利用二次函数的图象性质即可求得最大利润
