1、 专题专题 9 9 分式方程分式方程 一、单选题一、单选题 1如果关于的不等式组 5 2 112 3( +12)有且仅有四个整数解， 且关于的分式方程2282= 1有非负数解，则符合条件的所有整数的和是（ ） A13 B15 C20 D22 2分式方程12=2+3的解是（ ） Ax=0 Bx=1 Cx=2 Dx=3 3关于 x 的方程 11+1= 0 有增根，则 m 的值是（ ） A2 B1 C0 D-1 4若关于 x 的分式方程 32= 1 2 的解为非负数，则 m 的取值范围是（ ） Am5 Bm5 且 m3 Cm3 Dm5 且 m3 5 （2021 八上 永州月考）已知关于 x 的方程3
2、1+(1)= 0的增根是 1，则字母 a 的取值为( ) A2 B2 C1 D1 6 （2021 八上 开福月考）小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快 20 千米/时， 回来时路上所花时间比去时节省了 14 .设公共汽车的平均速度为 x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是( ) A40+20=3440 B40=3440+20 C40+20+14=40 D40=40+2014 7 （2021 八上 开福月考）如果关于 x 的方程 +126+6= 1 有正整数解，且关于 y 的不等式组 3105 1 1 至少有两个偶数解，则满足条件的整
3、数 a 有（ ）个. A0 B1 C2 D3 8 （2021 八上 新化期中）若关于 x 的方程 111= 0 有增根，则 m 的值是（ ） A3 B2 C1 D任意值 9 （2021 九上 长沙期中）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距 360km 的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用 3h已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的 3 倍，设普通列车的平均速度为 x km/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A3603603= 3 B3603360= 3 C36036013= 3 D36013360= 3 10 （2021 怀化）定义 = 2 +1 ，则方程 3 = 4 2
4、 的解为（ ） A =15 B =25 C =35 D =45 二、填空题二、填空题 11 （2022 岳阳）分式方程3+1= 2的解为 = . 12 （2022 永州）解分式方程21+1= 0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 . 13 （2022 常德）方程2+1(2)=52的解为 . 14 （2022 邵阳）分式方程523= 0的根为 15 （2022 九下 长沙月考）若分式方程2223 无解，则 m 的值是 . 16 （2022 八下 湖南开学考）若关于 x 的分式方程3+3= 1有增根，则 a= . 17 （2021 八上 岳阳期末）若关于 x 的方程 +12=2 有增根，则 m
5、的值是 . 18 （2021 八上 永州月考）若数 a 使关于 x 的不等式组3 1 12( 1)2 3(1 )有且仅有三个整数解，且使关于 y 的分式方程32+122 1 有整数解，则满足条件的所有 a 的值之和是 19（2021 衡阳）“绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境， 计划种植树木 6000 棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了 25%，结果提前 3 天完成任务.则实际每天植树 棵. 20 （2021 八上 汉寿期末）某市为绿化环境计划植树 3000 棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多30%，结果提前 5 天完成任务.若设原计划每天植树 棵，则根据题意可列方
6、程为 . 三、综合题三、综合题 21 （2022 益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控 A、B 两种型号的收割机参加水稻收割比赛已知乙每小时收割的亩数比甲少 40%，两人各收割 6 亩水稻，乙则比甲多用 0.4 小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为 3%，2% （1）甲、乙两人操控 A、B 型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？ （2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的 100 亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过 2.4%，则最多安排甲收割多少小时？ 22 （2022 怀化）去年防洪期间，某部门从
7、超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双） ，其中购买雨衣用了 400 元，购买雨鞋用了 350 元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵 5 元. （1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？ （2）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了 20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售. 优惠方案为：若一次购买不超过 5 套，则每套打九折：若一次购买超过 5 套，则前 5 套打九折，超过部分每套打八折.设今年该部门购买了 a 套，购买费用为 W元，请写出 W 关于 a 的函数关系式. （3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过 320 元时最多可购买多少
8、套？ 23 （2021 郴州）“七一”建党节前夕，某校决定购买 A，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生.已知 A 奖品比 B 奖品每件多 25 元，预算资金为 1700 元，其中 800 元购买 A 奖品，其余资金购买 B 奖品，且购买 B 奖品的数量是 A 奖品的 3 倍. （1）求 A，B 奖品的单价； （2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买 A 奖品的资金不少于 720 元，A，B 两种奖品共 100 件，求购买 A，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？ 24 （2021 开福模拟）某电脑公司经销甲种型
9、号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价 1000 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元，今年销售额只有 8 万元. （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为 3500 元，乙种电脑每台进价为 3000 元，公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台，有几种进货方案？ （3）如果乙种电脑每台售价为 3800 元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金 元， 要使 （2） 中所有方案获利相同， 值应是多少
10、？此时， 哪种方案对公司更有利？ 25（2021 蒸湘模拟）如图， 著名旅游景区B 位于大山深处， 原来到此旅游需要绕行 C地， 沿折线 ACB方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，当地政府决定对 A，B 两地间的道路进行改建，修建一条从 A 地到景区 B 的笔直公路，这样由 A 地沿直线 AB 行驶，直接可以到达 B 地.已知A45 ，B30 ，BC100 千米. （1）公路修建后，求从 A 地直接到景区 B 地旅游大约要走多少千米？（结果保留整数） （考数据：2 1.4， 3 1.7） （2）为迎接“五一”旅游旺季的到来，需加快修建公路的速度，于是施工队使用了新的施工技
11、术，实 际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 50 天完成了施工任务，请在（1） 的条件下，求施工队原计划每天修建多少千米？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：原不等式组的解集为 72 25 ， 因为不等式组有且仅有四个整数解， 所以 0 25 1 ， 解得 2 1 ，且 5 ，因为 = 5 时 = 2 是原分式方程的増根 所以符合条件的所有整数 的和是 2 + 3 + 4 + 6 = 15 故答案为：B. 【分析】分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，结合不等式组有且仅有四个整数解可得关于 m 的不等式组，求出 m 的范围，解
12、分式方程表示出 y，由分式方程有非负数解可得m 的范围，据此可得符合条件的整数 m 的值，然后求和即可. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：方程的两边同乘 2x（x+3） ，得 x+3=4x， 解得 x=1. 检验：把 x=1 代入 2x（x+3）=80. 原方程的解为：x=1. 故答案为：B. 【分析】方程的两边同乘 2x（x+3）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出 x 的值，再检验即可得出答案. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：两边都乘（x1） ，得： m1x0， 方程有增根， 最简公分母 x1=0，即增根是 x=1， 把 x=1 代入整式方程，得 m=2. 故答案为
13、：A. 【分析】所谓增根，就是使最简公分母为 0 的根，据此先求出增根是 x=1，再根据分式方程的增根是将分式方程去分母得的整式方程的根，于是将分式方程化为整式方程，将 x=1 代入整式方程求出 m 即可. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：去分母得，3=x-2+m， 解得，x=5-m， 分式方程的解为非负数， 5-m0， m5， 又x2， 5-m2，m3， m 的取值范围是 m5 且 m3. 故答案为：B. 【分析】 根据去分母、 移项、 合并同类项可得方程的解为 x=5-m， 根据方程的解为非负数可得 x=5-m0且 x=5-m2，求解即可. 5 【答案】A 【解析】【解答】解：31+(
14、1)= 0， 去分母得：3x-（x+a）=0， 关于 x 的方程31+(1)= 0的增根是 1， 把 x=1 代入得：3-（1+a）=0， 解得：a=2， 故答案为：A. 【分析】分式方程的增根就是使其最简公分母为 0 的根，据此求出 x=1，再将分式方程化为整式方程，又分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，然后将 x=1 代入整式方程求出 a 值. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：设公共汽车的平均速度为 x 千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时， 根据回来时路上所花时间比去时节省了 14 ，得出回来时所用时间为： 34 40 ， 根据题意得出： 40+20
15、= 34 40. 故答案为：A. 【分析】设公共汽车的平均速度为 x 千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，然后表示出出租车、公共汽车所用的时间，结合回来时路上所花时间比去时节省了 14就可列出方程. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：解方程+126+6= 1 得，x= 18 ， x-60， x6， 18 6， a3， +126+6= 1 有正整数解， 整数 a=1，2，6，9，18， 解不等式组得 5 1 ， 不等式组的解集为： 1 5 ， 关于 y 的不等式组 3105 1 1 至少有两个偶数解， a-12， a3， 满足条件的整数 a 有两个 1，2. 故答案为：C. 【
16、分析】解关于 x 的分式方程，用含 a 的式子表示出 x，根据分式有意义的条件可得 x6，则 a3，由分式方程有正整数解可得 a 的值；表示出不等式组的解集，根据其至少有两个偶数解可得 a3，据此可得满足条件的整数 a 的值. 8 【答案】B 【解析】【解答】解： 111= 0 ， 方程两边都乘以 ( 1) ，得 1 = 0 ， 原方程有增根， 最简公分母 1 = 0 ， 解得 x=1， 当 x=1 时，m=2，故 m 的值是 2. 故答案为：B. 【分析】给方程两边同时乘以 x-1，得 m-1-x=0，由分式方程有增根可得 x=1，将 x=1 代 m-1-x=0 中就可求出 m 的值. 9
17、【答案】A 【解析】【解答】解： 设普通列车的平均速度为 x km/h， 由题意得： 3603603= 3 . 故答案为：A. 【分析】设普通列车的平均速度为 x km/h，根据时间=路程 时间，可得普列的时间=360，高铁的时间=3603，结合两者的时间差为 3h 建立方程，即可解答. 10 【答案】B 【解析】【解答】 = 2 +1 , 3 = 4 2 变形为 2 3 +1= 2 4 +12 , 解得 =25 ， 经检验 =25 是原方程的根， 故答案为：B 【分析】利用新定义运算，列出方程，然后求出方程的解. 11 【答案】2 【解析】【解答】解：3+1= 2， 3 = 2 + 2， =
18、 2， 经检验 = 2是方程的解. 故答案为：2. 【分析】给方程两边同时乘以(x+1)将分式方程转化整式方程，解整式方程求出 x 的值，然后进行检验即可. 12 【答案】x（x+1） 【解析】【解答】解： 分式方程21+1= 0的最简公分母为 x（x+1）. 故答案为：x（x+1）. 【分析】观察此分式方程中的分母，可得到此分式方程的最简公分母. 13 【答案】x=4 【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2( 2)， 2 2( 2) + 2 = 5 ( 2) 4 8 + 2 = 5 10 解得 x=4 经检验，x=4 是原方程的解 故答案为：x=4. 【分析】 给方程两边同时乘以 2x(x-
19、2)约去分母， 将分式方程转化为整式方程， 解整式方程求出 x 的值，然后进行检验即可. 14 【答案】x=-3 【解析】【解答】解：523= 0， 去分母得：5x-3(x-2)=0， 解得：x=-3， 检验：当 x=-3 时，x(x-3)0， 所以，原分式方程的解为 x=-3. 故答案是：x=-3. 【分析】 给方程两边同时乘以 x(x-2)约去分母， 将分式方程转化为整式方程， 解整式方程， 求出 x 的值，然后进行检验即可. 15 【答案】2 【解析】【解答】解：解分式方程，得 x=+43， 因为分式方程无解， 所以 x=2，所以+43= 2 解得 m=2. 故答案为：2. 【分析】首先
20、给方程两边同时乘以(x-2)可得 m-2=3(x-2)，表示出 x，根据分式方程无解可得 x=2，据此求解即可. 16 【答案】3 【解析】【解答】解：3+3= 1， 去分母得： xa3-x， 由分式方程有增根，得到 x30，即 x3， 代入整式方程得：3a3-3， 解得：a3. 故答案为：3. 【分析】将分式方程化为整式方程可得 xa3-x，所谓增根，就是使最简公分母为 0 的根，据此可得出 x 的值，分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，据此将 x 的值代入 x-a3-x中求解就可得到 a 的值. 17 【答案】3 【解析】【解答】解：方程两边都乘 x-2，得 + 1 =
21、方程有增根， 最简公分母 x-2=0，即增根是 x=2， 把 x=2 代入整式方程，得 = 3 . 故答案为： 3 . 【分析】所谓增根，就是使最简公分母为 0 的根，据此先求出增根是 x=2，再根据分式方程的增根是将分式方程去分母得的整式方程的根，于是将分式方程化为整式方程，将 x=2 代入整式方程求出 m 即可. 18 【答案】-18 【解析】【解答】解：3 1 12( 1)2 3(1 )， 解得 x-3， 解得 x3+5， 不等式组的解集是-3x3+5. 仅有三个整数解-3，-2，-1， -13+50 -8a-3， 32+122 1 3y-a+12=y-2. y=142， y2， a18
22、 又 y=142有整数解， a=-8，-6，-4， 所有满足条件的整数 a 的值之和是-8-6-4=-18， 故答案为：-18. 【分析】 分别解出不等式组中的每一个不等式的解集， 根据不等式组有且仅有三个整数解， 可得-13+50，求出-8a-3；解出分式方程 y=142，由分式方程有整数解且 y2，求出 a 的整数解，再相加即可. 19 【答案】500 【解析】【解答】解：设原计划每天植树 棵，则实际每天植树 (1 + 25%) ， 600060001.25= 3 ， = 400 ， 经检验， = 400 是原方程的解， 实际每天植树 400 1.25 = 500 棵， 故答案是：500.
23、 【分析】设原计划每天植树 棵，则实际每天植树 (1 + 25%) ，根据计划所用的时间-实际所用的时间=3 天，列出方程，求解并检验即可. 20 【答案】300030001.2= 5 【解析】【解答】解：设原计划每天植树 x 棵，则实际每天植树（120%）x1.2x， 根据题意可得： 300030001.2= 5 ， 故答案为： 300030001.2= 5 . 【分析】设原计划每天植树 x 棵，则实际每天植树（120%）x1.2x，根据“原计划所用时间实际所用时间5”列方程即可. 21 【答案】（1）解：设甲操控 A 型号收割机每小时收割 x 亩水稻，则乙操控 B 型号收割机每小时收割（1
24、40%）x 亩水稻，依题意得：6(140%)6=0.4，解得：x10，经检验，x10 是原方程的解，且符合题意，（140%）x（140%） 106答：甲操控 A 型号收割机每小时收割 10 亩水稻，乙操控 B 型号收割机每小时收割 6 亩水稻 （2）解：设安排甲收割 y 小时，则安排乙收割100106小时，依题意得：3% 10y2% 61001062.4%100，解得：y4答：最多安排甲收割 4 小时 【解析】【分析】 （1）抓住关键已知条件：乙每小时收割的亩数比甲少 40%；两人各收割 6 亩水稻，乙则比甲多用 0.4 小时完成任务；再利用包含了两个已知条件，据此设未知数，列方程，然后求出方
25、程的解. （2）设安排甲收割 y 小时，可表示出安排乙收割的时间，根据要求平均损失率不超过 2.4%，建立关于 y 的不等式，然后求出不等式的最大值即可. 22 【答案】（1）解：设每件雨衣( + 5)元，每双雨鞋元，则 400+5=350，解得 = 35， 经检验， = 35是原分式方程的根， + 5 = 40， 答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元； （2）解：据题意，一套原价为35 + 40 = 75元，下降 20%后的现价为75 (1 20%) = 60元，则 = 60 0.9 = 54，0 270， 购买的套数在 5范围内， 即48 + 30 320，解得 14524 6.042， 答
26、：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过 320 元时最多可购买6套. 【解析】【分析】 （1）设每件雨衣(x+5)元，每双雨鞋 x 元，用 400 元可以购买雨衣的数量为400+5，用 350元可以购买雨鞋的数量为350，然后根据数量相同列出方程，求解即可； （2） 根据题意可得一套原价为 35+40=75 元，下降 20%后的现价为 75 (1-20%)=60 元，根据套数 现价 0.9 可得一次购买不超过 5 套时对应的 W 与 a 的关系式； 购买超过 5 套时， 前 5 套的钱数为 5 60 0.9元，超过 5 套部分的钱数为(a-5) 60 0.8 元，相加可得 W 与 a 的
27、关系式； （3）令（2）求出的超过 5 套的函数关系式中的 W320，求解即可. 23 【答案】（1）解：设 A 奖品的单价为 x 元，则 B 奖品的单价为（x25）元， 由题意得： 800 3 170080025 ， 解得：x40， 经检验，x40 是原方程的解， 则 x2515， 答：A 奖品的单价为 40 元，则 B 奖品的单价为 15 元 （2）解：设购买 A 种奖品的数量为 m 件，则购买 B 种奖品的数量为（100m）件， 由题意得： 40 0.8 72040 0.8 + 15 0.8 (100 ) 170 ， 解得：22.5m25， m 为正整数， m 的值为 23，24，25，
28、 有三种方案： 购买 A 种奖品 23 件，B 种奖品 77 件； 购买 A 种奖品 24 件，B 种奖品 76 件； 购买 A 种奖品 25 件，B 种奖品 75 件. 【解析】【分析】 （1）设 A 奖品的单价为 x 元，分别表示出购买 A、B 奖品的数量，然后根据购买 B 奖品的数量是 A 奖品的 3 倍可列出关于 x 的方程，求解即可； （2）设购买 A 种奖品的数量为 m 件，则 400.8m720，40 0.8m+15 0.8(100-m)170，联立求解可得m 的范围，然后根据 m 为正整数可得 m 的值，据此可得方案. 24 【答案】（1）解：设今年三月份甲种电脑每台售价 元，
29、 100000+1000=80000 ， 解得：x4000 经检验：x4000 是原方程的根， 所以甲种电脑今年每台售价 4000 元. （2）解：设购进甲种电脑 x 台， 480003500 x+3000(15-x)5000 解得 6x10 因为 x 的正整数解为 6，7，8，9，10，所以共有 5 种进货方案 （3）解：设总获利为 W 元， W（4000-3500）x+(3800-3000-a) (a-300)x+12000-15a 当 a300 时， （2）中方案获利相同. 此时，购买甲种电脑 6 台，乙种电脑 9 台时对公司更有利（利润相同，成本最低）. 【解析】【分析】 （1）抓住关
30、键已知条件：今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价 1000 元，如果卖出相同数量的电脑，据此设未知数，列方程，然后求出方程的解即可. （2）根据已知条件：公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台，包含了两个不等式和一个方程，设未知数，列出不等式组，然后求出不等式组的整数解，可得具体的方案. （3）设总获利为 W 元，根据题意列出 W 与 x 之间的函数解析式，据此可求解. 25 【答案】（1）解：过点 作 于 ， 在 中， ， sin30 = ， = 100 千米， = sin30 = 100 12= 50 （千米） ， = cos30 = 100 3
31、2= 503 （千米） ， 在 中， = 45 ， = 45 ， = = 50 （千米） ， = 50 + 503 135 （千米）. 答：从 地直接到景区 地旅游大约要走 135 千米； （2）解：设施工队原计划每天修建 千米，则实际每天修建 (1 + 25%) 千米， 依题意得： 135135(1+25%)= 50 ， 解得 = 0.54 ， 经检验 = 0.54 是原分式方程的解. 答：施工队原计划每天修建 0.54 千米. 【解析】【分析】 （1）过点 C 作 CDAB 于点 D，在 Rt BCD 中，B=30 ，可得 sin30 =，结合BC=100 千米，求得 CD=50 千米，再利用B 的余弦求得 BD=503千米；在 Rt ACD 中，A=45 ，进而得 AD=CD=50 千米，再由 AB=AD+CD，即可求得 AB 长； （2）设施工队原计划每天修建 千米，则实际每天修建（1+25%）x 千米 ，结合（1）中求得的 AB长，及提前 50 天完成了施工任务可列方程 135135(1+25%)= 50，解得 x，即可解决问题
