1、 专题专题 11 11 分式方程分式方程 一、单选题一、单选题 1若关于 x 的分式方程32 1 =+32有增根，则 m 的值是（ ） A3 B0 C2 D3 2解分式方程 132+1= 1 ，去分母后得到的方程是（ ） A1 3(2 + 1) = B1 3(2 + 1) = 3 C1 3(2 + 1) = 1 D1 6 + 3 = 3 3 （2022 八下 泉州期末）连接河北省雄安新区与山西省忻州的雄忻高铁将于 2022 年 12 月开工，全长342km，通过高速路里程为 366km，建成后通过高铁出行将比高速路出行节省 3 个小时.已知该段高铁的平均运行速度为汽车在高速路上平均速度的 3
2、倍，设汽车在该段高速路上的速度为 xkm/h，则所列方程为 （ ） A3423=366 3 B3423=366+ 3 C342=3663 3 D342=3663+ 3 4 （2022 七下 福州期末）关于的分式方程+3= 1，下列说法正确的是（ ） A方程的解是 = 3 B当 3时，方程的解是正数 C当 1) 的正方形去掉一个边长为 1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为 ( 1) 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 . （1）“丰收 1 号”单位面积产量为 2 ，“丰收 2 号”单位面积产量为 2 （结果用含 的式子表示） ； （2）若“丰收 2 号”
3、的单位面积产量是“丰收 1 号”的单位面积产量的 1.5 倍，求 的值. 25 （2022 八下 三明期末）某中学计划购买 A，B 两种学习用品奖励学生，已知购买一个 A 学习用品比 购买一个 B 学习用品多用 20 元， 若用 200 元购买 A 学习用品的数量和用 40 元购买 B 学习用品的数量相同. （1）求 A，B 两种学习用品的售价分别为多少元？ （2）经商谈，商家给该校优惠：每购买一个 A 学习用品赠送一个 B 学习用品.如果该校需要 B 学习用品的个数是 A 学习用品个数的 4 倍还多 8 个， 且该学校购买 A， B 两种学习用品的总费用不超过 1000元，那么该校最多可购买
4、 A 学习用品多少个？ 26 （2022 七下 福州期末）在福州地铁 6 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单独施工 30 天后增加乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的13. （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是乙队工作效率的倍， 若两队合作 40 天完成剩余的工程， 求乙队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍 （用含的式子表示）. 27 （2022 八下 泉港期末）冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商场准备购进“冰墩墩”和“雪容融”这两
5、款毛绒玩具共 200 个已知：每个“冰墩墩”的进价比“雪容融”的进价多 20 元，用 3000 元购进“冰墩墩”的数量与用 2400 元购进“雪容融”的数量相同 （1）请求出“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的进价； （2）若该商场分别以 240 元、160 元的单价出售“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，并将这两款毛绒玩具的总利润拟定在不少于 21700 元， 且不超过 22300 元之间 问该商场共有几种进货方案？ （利润售价一进价） （3）在（2）的条件下，商场准备对“冰墩墩”毛绒玩具进行优惠促销活动，决定对“冰墩墩”毛绒玩具每个优惠 a（50a70）元出售，“雪容融”毛绒玩具价格不
6、变那么该商场要获得最大利润应如何进货？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：去分母得 3x-(x-2)=m+3， 当增根为 x=2 时，6=m+3， m=3. 故答案为：D. 【分析】方程两边同时乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程的增根就是 使最简公分母为 0 的根可得增根 x 的值，再根据分式方程的增根，是将分式方程去分母所得的整式方程的根，故可将 x 的值代入整式方程即可求出 m 的值. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：方程左右两边同时乘以 3 得： 1 3(2 + 1) = 3 . 故答案为：B. 【分析】根据等式的性质方程左右两
7、边同时乘以 3x 约去分母（右边的 1 不能漏乘） ，结合各选项可求解. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：设汽车在高速路上的速度为 xkm/h，则高铁的平均运行速度为 3xkm/h， 所以，高铁出行所用时间为 3423小时 ，高速路出行所用时间为 366小时 ， 根据高铁出行将比高速路出行节省 3 个小时， 可列处方程： 3423=366 3 . 故答案为：A. 【分析】 设汽车在高速路上的速度为 xkm/h， 则高铁的平均运行速度为 3xkm/h， 根据题中的相等关系“高铁出行所用时间=高速路出行所用时间-3”可得关于 x 的方程，结合各选项可判断求解. 4 【答案】B 【解析】【解答】
8、解：+3= 1， 去分母得： + 3 = ， 解得： = 3， 当 0时， = 3是方程的解，故 A 选项不符合题意； 当 3时， 0， 方程的解是正数，故 B 选项符合题意； 当 3且 0时，方程的解是负数，故 C 选项不符合题意； 当 = 0时，方程无解，故 D 选项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】先按照一般步骤解方程，用含有 m 的代数式表示 x，然后根据 x 的取值讨论 m 的范围，即可作出判断 5 【答案】D 【解析】【解答】解：设康康每小时走 x 千米，则李梅每小时走（x-3）千米， 依题意得：30330=115. 故答案为：D. 【分析】设康康每小时走 x 千米，则李梅每小
9、时走(x-3)千米，康康所用的时间为30小时，李梅所用的 时间为303小时，然后根据康康先到 4 分钟就可列出方程. 6 【答案】B 【解析】【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h，根据题意得 120=1441.8+4060 故答案为：B. 【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为 1.8xkm/h，线路一所用时间为120h，线路二所用时间为1441.8h，然后根据线路二的用时预计比线路一少 40 分钟就可列出方程. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：设小芳每天看书 x 页，则小荣每天看（x-5）页， 由题意得：80=705 . 故
10、答案为：D. 【分析】 设小芳每天看书 x 页， 则小荣每天看 （x-5） 页， 由题意可得小芳看 80 页书所用的天数为80天，小荣看 70 页书所用的天数为705天，然后根据天数相同就可列出方程. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：关于的分式方程23= 0解为 = 3， 23 1 = 0， 2 = 3 ， = 1， 经检验，a=1 是方程23 1 = 0的解. 故答案为：D. 【分析】将 x=3 代入原方程中可得关于 a 的方程，求出 a 的值，然后进行检验即可. 9 【答案】D 【解析】【解答】解：设总人数为 x 人，则甲厂员工为（x-3）人，根据题意得， 甲厂为员工支付的人均车费可比
11、原来少 400034000 （元）. 故答案为：D. 【分析】设总人数为 x 人，则甲厂员工为（x-3）人，根据“人均车费=租金 人数”分别把两厂的人均车费表示出来，再作差即可. 10 【答案】D 【解析】【解答】该分式方程的最简公分母是 2- x， 故 A 正确，不符合题意; 分式两边同时乘以 2-x ，得: -x+2=0 , 故 B 正确，不符合题意; 由 B 选项即可得出 x=2， 故 C 正确，不符合题意; 当 x=2 时，2-x=0， 故该分式方程无解，故 D 错误,符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据解分式方程的步骤逐一判断即可。 11 【答案】-3 【解析】【解答】解： 31
12、=1 ， 方程两边同乘以 1 ，得 3 = ，即 = 3 ， 关于 的分式方程 31=1 有增根， 1 = 0 ， 解得 = 1 ， 将 = 1 代入 = 3 得： = 3 1 = 3 ， 故答案为：-3. 【分析】方程两边同乘以 （x-1）约去分母将分式方程转化为整式方程，求出 m=-3x，由于方程有增根，可求出增根 x=1，将 x=1 代入 m=-3x 中，求出 m 值. 12 【答案】1 【解析】【解答】解：方程两边同乘（x2） ，得 x13（x2）m， 原方程增根为 x2， 把 x2 代入整式方程，得 m1. 故答案为：1. 【分析】 方程两边同乘 （x2） ， 可将分式方程化为整式方
13、程， 根据分式方程有增根的条件“分母等于 0”可得 x 的值，把 x=2 代入整式方程可求解. 13 【答案】-5 【解析】【解答】解： 1+2= 2 ， 去分母得：x-1=2(x+2)， 解得：x=-5， 经检验：x=-5 是方程的解. 故答案是：-5. 【分析】首先去分母可得 x-1=2(x+2)，求解可得 x 的值，然后检验即可. 14 【答案】-6 【解析】【解答】解：去分母，得：3x=-m+4（x-2） ， 由分式方程有增根，得到 x-2=0，即 x=2， 把 x=2 代入整式方程，可得：m=-6. 故答案为：-6. 【分析】先去分母把原分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根的条件
14、列式求出这个增根，再将这个增根代入整式方程即可求解. 15 【答案】2 【解析】【解答】解： 24=13 ， 去分母得： 3( )2 4 ， 整理得： = 3 4 ， 由于此方程未知数的系数是 1 不为 0，故无论 a 取何值时， 3( )2 4 都有解，故此情形下无符合题意的 a 值； 由分式方程无解即有增根，可得 2x40，得 x=2 把 x2 代入 = 3 4 ， 解得：a2，故此情形下符合题意的 a 值为 2； 综上，若要关于 x 的分式方程 24=13 无解，a 的值为 2. 故答案为： 2. 【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据分式方程无解的有两种情况：去分母后得到的整式方
15、程无解，分式方程有增根分类讨论即可得出答案. 16 【答案】无解 【解析】【解答】解： 23+13= 2 根据题意，最简公分母为（x-3） ，等式两端同时乘以最简公分母（x-3） ，得： 2 ( 1) = 2( 3) 去括号得： 2 + 1 = 2 6 移项得： 3 = 9 解得 = 3 将 = 3 代回最简公分母（x-3） ，此时最简公分母为 0，不合题意，舍去 = 3 因此原式无解； 故答案为：无解. 【分析】先求出最简公分母，利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可. 17 【答案】94 【解析】【解答】去分母，两边同时乘以 3( + 3) 得 4( + 3) = 3 ，
16、 解方程 =94 ， =94 时，分母， 3( + 3) =94 0 ， 即 =94 不是增根， 原方程的解为 =94 . 【分析】根据解分式方程的步骤求解即可. 18 【答案】解：方程两边同时乘以 ( 2) ， 得到： 3 = 2 2 ， 解得： = 2 经检验， = 2 是原方程的解， 原方程的解是 = 2 ， 【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解. 19 【答案】（1）解：2 4 3 = 0 2 4 = 3 2 4 + 4 = 3 + 4 ( 2)2= 7 2 = 7 1= 2 +7，2= 2 7 （2）解：+11321= 1 方程两边同乘以（
17、x+1） （x1）得： （x+1）23（x+1） （x1） ， 整理得：x2+2x+13x21， 解得：x12 ， 检验，当 x12时， （x+1） （x1）（12+1） （121）0， x12是原方程的解. 【解析】【分析】 （1）观察方程特点：二次项系数为 1，一次项系数为偶数，可以利用配方法解方程. （2）方程两边同乘以（x+1） （x1） （方程右边的 1 不能漏乘） ，将分式方程转化为整式方程，再进行检验，可得方程的根. 20 【答案】解：去分母，得 3-2x=x-2 整得，得 3x=5 解得 x= 53 经检验 x= 53 是原方程的解 所以，原方程的解是 x= 53 【解析】【分
18、析】首先两边同时乘以 2（x-2） ，去分母，再解整式方程，然后再检验即可. 21 【答案】（1）450210 （2）解：设甲品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（2x-10）元， 由题意得： 300=450210 ，解得：x=20， 经检验，x=20 是原方程的解且符合实际意义， 2x-10=30， 答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为 20 元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为 30 元； （3）解：设购买甲种品牌的消毒剂 y 瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（50-y）瓶， 由题意得：20y+30（50-y）1200， 解得：y30， 答：至少要购买甲消毒液 30 瓶. 【解析】【解答】解
19、： （1）购买乙品牌消毒液的数量： 450210 瓶， 【分析】 （1）首先表示出乙品牌消毒液的单价，然后利用 450 除以单价即可； （2）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元，由题意得：300=450210 ，求解即可； （3）设购买甲种品牌的消毒剂 y 瓶，由题意得：20y+30(50-y)1200，求解即可. 22 【答案】（1）解：设每包“富硒青梅”的价格是 元，则每包“富硒茶叶”的价格是 2.5 元， 依题意，得 1001002.5= 3 ， 解这个方程，得 = 20 ， 经检验， = 20 是所列方程的根， 2.5 = 50 ， 答：每包“富硒茶叶”的价格是 50 元，每包“富硒青
20、梅”的价格是 20 元 （2）解：设该游客购买“富硒青梅” 包，两种商品的总费用 元， 依题意，得 = 20 + 50(50 ) = 30 + 2500 ， 30 ， 解得 10 503， a 为正整数，所以当 a16 时利润最大， 最大利润 w20 16+15001820， 所以购买 16 件防晒帐篷，18 件普通帐篷，可以获得最大利润 1820 元 【解析】【分析】 （1）此题的等量关系为：防晒帐篷的采购价=普通帐篷的采购价 2；4500 防晒帐篷的采购价-1500 普通帐篷的采购价=5，设未知数，列方程，然后求解即可； （2）利用已知条件：小明准备拿出 7500 元全部用于采购防晒帐篷和
21、普通帐篷并进行销售，可得到关于 a，b 的方程，然后解方程可表示出 b；设销售利润为 w 元，利用两种帐篷的利润之和为 W，可得到 w 与 a 之间的函数解析式， 利用采购的普通帐篷不超过 30 件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐 篷数量，可得到关于 a 的不等式组，然后求出不等式组的整数解，再根据一次函数的性质，可求出最大利润时的购买方案. 24 【答案】（1）50021；500(1)2 （2）解：由题意，可得 50021 1.5 =500(1)2 ， 解得 = 5 ， 经检验， = 5 是原分式方程的解， a 的值为 5. 【解析】【解答】 （1）解：“丰收 1 号”的面积为： 2 1 ，
22、单位面积产量为： 50021 ； “丰收 2 号”的面积为： ( 1)2 ， 单位面积产量为： 500(1)2 ； 故答案为： 50021 ； 500(1)2 ； 【分析】 （1）根据单位产量=总产量 面积即可求解； （2）结合（1）结论，再根据“ “丰收 2 号”的单位面积产量是“丰收 1 号”的单位面积产量的 1.5 倍 ”列出方程并解之即可. 25 【答案】（1）解：设购买 B 奖品的每个单价是 x 元，则购买 A 奖品的每个单价是（x+20）元.根据题意得： 200+20=40 ， 解得 x=5， 经检验，x=5 是原方程的解. 所以 x+20=25. 答：买 A 奖品的每个单价是 2
23、5 元，购买 B 奖品的每个单价是 5 元； （2）解：设学校购买 a 个 A 奖品，则需要购买（4a+8- a）个 B 奖品，由题意得： 25a+5（4a+8-a）1000， 解得 a24. 答：该学校最多可购买 24 个 A 奖品. 【解析】【分析】 （1）设购买 B 奖品的每个单价是 x 元，则购买 A 奖品的每个单价是（x+20）元，根据相等关系“用 200 元购买 A 学习用品的数量=用 40 元购买 B 学习用品的数量”可列关于 x 的方程求解； （2）设学校购买 a 个 A 奖品，则需要购买（4a+8- a）个 B 奖品，根据不等关系“购买 a 个 A 奖品的费 用+购买（4a+
24、8- a）个 B 奖品的费用1000”可列关于 a 的不等式求解. 26 【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需要 x 天， 根据题意得 1150 (30 + 15) +15=13， 解得：x=450， 经检验 x=450 是方程的根， 答：乙队单独完成这项工程需要 450 天； （2）解：设乙队提高工作效率后为1， 则甲队提高后的工作效率为， 则40(1+) =23， 解得： = 60 + 60， 经检验符合题意， 所以乙队提高后的效率为：160+60， 提高前的效率为：1450， 160+601450=45060+60=152+2. 乙队提高后的工作效率是提高前工作效率的152+2倍.
25、 【解析】【分析】 （1）设乙队单独完成这项工程需要 x 天，甲队共工作了(30+15)天，工作量为45150，乙队的工作量为15，然后根据共完成总工程的13列出方程，求解即可； （2）设乙队提高工作效率后为1， 则甲队提高后的工作效率为，根据两队合作 40 天完成剩余的工程可得 a=60m+60，据此可表示出乙队提高前后的效率，然后利用分式的除法法则计算即可. 27 【答案】（1）解：设每个“雪容融”的进价为 x 元，则“冰墩墩”的进价为（x+20）元，依题意得： 3000+20=2400， 解得 = 80， 经检验， = 80是原分式方程的解且符合题意， + 20 = 100， 答：“冰墩
26、墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的进价分别为 100 元和 80 元； （2）解：设购进“冰墩墩”n 个，则购进“雪容融”为(200 )个，依题意得： (240 100) + (160 80)(200 ) 21700(240 100) + (160 80)(200 ) 22300， 解不等式得， 95， 解不等式得， 105， 不等式组的解集是95 105 n 是正整数， 105 95 + 1 = 11 答：该商场进货方案共有 11 种 （3）解：设总利润为 W，根据题意得： = (240 100 ) + 80(200 ) = (60 ) + 16000(95 105) 当 50a60 时，60
27、a0，W 随 n 的增大而增大， 当 n105 时，W 有最大值，此时，200n95； 当 a60 时，60a0，W16000，获利都一样； 当 60a70 时，60a0，W 随 n 的增大而减小， 当 n95 时，W 有最大值，此时，200n105； 综上所述，当 50a60 时，购进“冰墩墩”105 个、“雪容融”95 个，获得利润最大；当 a60 时， （2）中所有方案获利都一样；当 60a70 时，购进“冰墩墩”95 个、“雪容融”105 个，获得利润最大 【解析】【分析】 （1）设每个“雪容融”的进价为 x 元，则“冰墩墩”的进价为(x+20)元，用 3000 元购进“冰墩墩”的数量为3000+20， 用 2400 元购进“雪容融”的数量为2400， 然后根据数量相同列出方程， 求解即可； （2）设购进“冰墩墩”n 个，则购进“雪容融”为(200-n)个，根据(售价-进价) 数量=利润结合题意可得关于 n 的不等式组，求出 n 的范围，然后结合 n 为正整数进行解答； （3）设总利润为 W，根据(售价-进价) 数量=利润可得 Q=(60-a)n+16000，然后结合一次函数的性质进行解答
