2023年福建省中考数学一轮复习专题训练11:分式方程(含答案解析)

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1、 专题专题 11 11 分式方程分式方程 一、单选题一、单选题 1若关于 x 的分式方程32 1 =+32有增根,则 m 的值是( ) A3 B0 C2 D3 2解分式方程 132+1= 1 ,去分母后得到的方程是( ) A1 3(2 + 1) = B1 3(2 + 1) = 3 C1 3(2 + 1) = 1 D1 6 + 3 = 3 3 (2022 八下 泉州期末)连接河北省雄安新区与山西省忻州的雄忻高铁将于 2022 年 12 月开工,全长342km,通过高速路里程为 366km,建成后通过高铁出行将比高速路出行节省 3 个小时.已知该段高铁的平均运行速度为汽车在高速路上平均速度的 3

2、倍,设汽车在该段高速路上的速度为 xkm/h,则所列方程为 ( ) A3423=366 3 B3423=366+ 3 C342=3663 3 D342=3663+ 3 4 (2022 七下 福州期末)关于的分式方程+3= 1,下列说法正确的是( ) A方程的解是 = 3 B当 3时,方程的解是正数 C当 1) 的正方形去掉一个边长为 1m 的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为 ( 1) 的正方形,两块试验田的小麦都收获了 500 . (1)“丰收 1 号”单位面积产量为 2 ,“丰收 2 号”单位面积产量为 2 (结果用含 的式子表示) ; (2)若“丰收 2 号”

3、的单位面积产量是“丰收 1 号”的单位面积产量的 1.5 倍,求 的值. 25 (2022 八下 三明期末)某中学计划购买 A,B 两种学习用品奖励学生,已知购买一个 A 学习用品比 购买一个 B 学习用品多用 20 元, 若用 200 元购买 A 学习用品的数量和用 40 元购买 B 学习用品的数量相同. (1)求 A,B 两种学习用品的售价分别为多少元? (2)经商谈,商家给该校优惠:每购买一个 A 学习用品赠送一个 B 学习用品.如果该校需要 B 学习用品的个数是 A 学习用品个数的 4 倍还多 8 个, 且该学校购买 A, B 两种学习用品的总费用不超过 1000元,那么该校最多可购买

4、 A 学习用品多少个? 26 (2022 七下 福州期末)在福州地铁 6 号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要 150 天,甲队单独施工 30 天后增加乙队,两队又共同工作了 15 天,共完成总工程的13. (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天? (2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后甲队的工作效率是乙队工作效率的倍, 若两队合作 40 天完成剩余的工程, 求乙队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍 (用含的式子表示). 27 (2022 八下 泉港期末)冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱,某商场准备购进“冰墩墩”和“雪容融”这两

5、款毛绒玩具共 200 个已知:每个“冰墩墩”的进价比“雪容融”的进价多 20 元,用 3000 元购进“冰墩墩”的数量与用 2400 元购进“雪容融”的数量相同 (1)请求出“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的进价; (2)若该商场分别以 240 元、160 元的单价出售“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具,并将这两款毛绒玩具的总利润拟定在不少于 21700 元, 且不超过 22300 元之间 问该商场共有几种进货方案? (利润售价一进价) (3)在(2)的条件下,商场准备对“冰墩墩”毛绒玩具进行优惠促销活动,决定对“冰墩墩”毛绒玩具每个优惠 a(50a70)元出售,“雪容融”毛绒玩具价格不

6、变那么该商场要获得最大利润应如何进货? 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解:去分母得 3x-(x-2)=m+3, 当增根为 x=2 时,6=m+3, m=3. 故答案为:D. 【分析】方程两边同时乘以(x-2)约去分母,将分式方程转化为整式方程,根据分式方程的增根就是 使最简公分母为 0 的根可得增根 x 的值,再根据分式方程的增根,是将分式方程去分母所得的整式方程的根,故可将 x 的值代入整式方程即可求出 m 的值. 2 【答案】B 【解析】【解答】解:方程左右两边同时乘以 3 得: 1 3(2 + 1) = 3 . 故答案为:B. 【分析】根据等式的性质方程左右两

7、边同时乘以 3x 约去分母(右边的 1 不能漏乘) ,结合各选项可求解. 3 【答案】A 【解析】【解答】解:设汽车在高速路上的速度为 xkm/h,则高铁的平均运行速度为 3xkm/h, 所以,高铁出行所用时间为 3423小时 ,高速路出行所用时间为 366小时 , 根据高铁出行将比高速路出行节省 3 个小时, 可列处方程: 3423=366 3 . 故答案为:A. 【分析】 设汽车在高速路上的速度为 xkm/h, 则高铁的平均运行速度为 3xkm/h, 根据题中的相等关系“高铁出行所用时间=高速路出行所用时间-3”可得关于 x 的方程,结合各选项可判断求解. 4 【答案】B 【解析】【解答】

8、解:+3= 1, 去分母得: + 3 = , 解得: = 3, 当 0时, = 3是方程的解,故 A 选项不符合题意; 当 3时, 0, 方程的解是正数,故 B 选项符合题意; 当 3且 0时,方程的解是负数,故 C 选项不符合题意; 当 = 0时,方程无解,故 D 选项不符合题意. 故答案为:B. 【分析】先按照一般步骤解方程,用含有 m 的代数式表示 x,然后根据 x 的取值讨论 m 的范围,即可作出判断 5 【答案】D 【解析】【解答】解:设康康每小时走 x 千米,则李梅每小时走(x-3)千米, 依题意得:30330=115. 故答案为:D. 【分析】设康康每小时走 x 千米,则李梅每小

9、时走(x-3)千米,康康所用的时间为30小时,李梅所用的 时间为303小时,然后根据康康先到 4 分钟就可列出方程. 6 【答案】B 【解析】【解答】解:设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h,根据题意得 120=1441.8+4060 故答案为:B. 【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为 xkm/h,则在线路二上行驶的平均速度为 1.8xkm/h,线路一所用时间为120h,线路二所用时间为1441.8h,然后根据线路二的用时预计比线路一少 40 分钟就可列出方程. 7 【答案】D 【解析】【解答】解:设小芳每天看书 x 页,则小荣每天看(x-5)页, 由题意得:80=705 . 故

10、答案为:D. 【分析】 设小芳每天看书 x 页, 则小荣每天看 (x-5) 页, 由题意可得小芳看 80 页书所用的天数为80天,小荣看 70 页书所用的天数为705天,然后根据天数相同就可列出方程. 8 【答案】D 【解析】【解答】解:关于的分式方程23= 0解为 = 3, 23 1 = 0, 2 = 3 , = 1, 经检验,a=1 是方程23 1 = 0的解. 故答案为:D. 【分析】将 x=3 代入原方程中可得关于 a 的方程,求出 a 的值,然后进行检验即可. 9 【答案】D 【解析】【解答】解:设总人数为 x 人,则甲厂员工为(x-3)人,根据题意得, 甲厂为员工支付的人均车费可比

11、原来少 400034000 (元). 故答案为:D. 【分析】设总人数为 x 人,则甲厂员工为(x-3)人,根据“人均车费=租金 人数”分别把两厂的人均车费表示出来,再作差即可. 10 【答案】D 【解析】【解答】该分式方程的最简公分母是 2- x, 故 A 正确,不符合题意; 分式两边同时乘以 2-x ,得: -x+2=0 , 故 B 正确,不符合题意; 由 B 选项即可得出 x=2, 故 C 正确,不符合题意; 当 x=2 时,2-x=0, 故该分式方程无解,故 D 错误,符合题意. 故答案为:D. 【分析】根据解分式方程的步骤逐一判断即可。 11 【答案】-3 【解析】【解答】解: 31

12、=1 , 方程两边同乘以 1 ,得 3 = ,即 = 3 , 关于 的分式方程 31=1 有增根, 1 = 0 , 解得 = 1 , 将 = 1 代入 = 3 得: = 3 1 = 3 , 故答案为:-3. 【分析】方程两边同乘以 (x-1)约去分母将分式方程转化为整式方程,求出 m=-3x,由于方程有增根,可求出增根 x=1,将 x=1 代入 m=-3x 中,求出 m 值. 12 【答案】1 【解析】【解答】解:方程两边同乘(x2) ,得 x13(x2)m, 原方程增根为 x2, 把 x2 代入整式方程,得 m1. 故答案为:1. 【分析】 方程两边同乘 (x2) , 可将分式方程化为整式方

13、程, 根据分式方程有增根的条件“分母等于 0”可得 x 的值,把 x=2 代入整式方程可求解. 13 【答案】-5 【解析】【解答】解: 1+2= 2 , 去分母得:x-1=2(x+2), 解得:x=-5, 经检验:x=-5 是方程的解. 故答案是:-5. 【分析】首先去分母可得 x-1=2(x+2),求解可得 x 的值,然后检验即可. 14 【答案】-6 【解析】【解答】解:去分母,得:3x=-m+4(x-2) , 由分式方程有增根,得到 x-2=0,即 x=2, 把 x=2 代入整式方程,可得:m=-6. 故答案为:-6. 【分析】先去分母把原分式方程化为整式方程,根据分式方程有增根的条件

14、列式求出这个增根,再将这个增根代入整式方程即可求解. 15 【答案】2 【解析】【解答】解: 24=13 , 去分母得: 3( )2 4 , 整理得: = 3 4 , 由于此方程未知数的系数是 1 不为 0,故无论 a 取何值时, 3( )2 4 都有解,故此情形下无符合题意的 a 值; 由分式方程无解即有增根,可得 2x40,得 x=2 把 x2 代入 = 3 4 , 解得:a2,故此情形下符合题意的 a 值为 2; 综上,若要关于 x 的分式方程 24=13 无解,a 的值为 2. 故答案为: 2. 【分析】先去分母,将原方程化为整式方程,根据分式方程无解的有两种情况:去分母后得到的整式方

15、程无解,分式方程有增根分类讨论即可得出答案. 16 【答案】无解 【解析】【解答】解: 23+13= 2 根据题意,最简公分母为(x-3) ,等式两端同时乘以最简公分母(x-3) ,得: 2 ( 1) = 2( 3) 去括号得: 2 + 1 = 2 6 移项得: 3 = 9 解得 = 3 将 = 3 代回最简公分母(x-3) ,此时最简公分母为 0,不合题意,舍去 = 3 因此原式无解; 故答案为:无解. 【分析】先求出最简公分母,利用去分母将分式方程化为整式方程,解出整式方程并检验即可. 17 【答案】94 【解析】【解答】去分母,两边同时乘以 3( + 3) 得 4( + 3) = 3 ,

16、 解方程 =94 , =94 时,分母, 3( + 3) =94 0 , 即 =94 不是增根, 原方程的解为 =94 . 【分析】根据解分式方程的步骤求解即可. 18 【答案】解:方程两边同时乘以 ( 2) , 得到: 3 = 2 2 , 解得: = 2 经检验, = 2 是原方程的解, 原方程的解是 = 2 , 【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解. 19 【答案】(1)解:2 4 3 = 0 2 4 = 3 2 4 + 4 = 3 + 4 ( 2)2= 7 2 = 7 1= 2 +7,2= 2 7 (2)解:+11321= 1 方程两边同乘以(

17、x+1) (x1)得: (x+1)23(x+1) (x1) , 整理得:x2+2x+13x21, 解得:x12 , 检验,当 x12时, (x+1) (x1)(12+1) (121)0, x12是原方程的解. 【解析】【分析】 (1)观察方程特点:二次项系数为 1,一次项系数为偶数,可以利用配方法解方程. (2)方程两边同乘以(x+1) (x1) (方程右边的 1 不能漏乘) ,将分式方程转化为整式方程,再进行检验,可得方程的根. 20 【答案】解:去分母,得 3-2x=x-2 整得,得 3x=5 解得 x= 53 经检验 x= 53 是原方程的解 所以,原方程的解是 x= 53 【解析】【分

18、析】首先两边同时乘以 2(x-2) ,去分母,再解整式方程,然后再检验即可. 21 【答案】(1)450210 (2)解:设甲品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元;乙品牌消毒剂每瓶的价格为(2x-10)元, 由题意得: 300=450210 ,解得:x=20, 经检验,x=20 是原方程的解且符合实际意义, 2x-10=30, 答:甲品牌消毒剂每瓶的价格为 20 元;乙品牌消毒剂每瓶的价格为 30 元; (3)解:设购买甲种品牌的消毒剂 y 瓶,则购买乙种品牌的消毒剂(50-y)瓶, 由题意得:20y+30(50-y)1200, 解得:y30, 答:至少要购买甲消毒液 30 瓶. 【解析】【解答】解

19、: (1)购买乙品牌消毒液的数量: 450210 瓶, 【分析】 (1)首先表示出乙品牌消毒液的单价,然后利用 450 除以单价即可; (2)设甲品牌消毒剂每瓶的价格为 x 元,由题意得:300=450210 ,求解即可; (3)设购买甲种品牌的消毒剂 y 瓶,由题意得:20y+30(50-y)1200,求解即可. 22 【答案】(1)解:设每包“富硒青梅”的价格是 元,则每包“富硒茶叶”的价格是 2.5 元, 依题意,得 1001002.5= 3 , 解这个方程,得 = 20 , 经检验, = 20 是所列方程的根, 2.5 = 50 , 答:每包“富硒茶叶”的价格是 50 元,每包“富硒青

20、梅”的价格是 20 元 (2)解:设该游客购买“富硒青梅” 包,两种商品的总费用 元, 依题意,得 = 20 + 50(50 ) = 30 + 2500 , 30 , 解得 10 503, a 为正整数,所以当 a16 时利润最大, 最大利润 w20 16+15001820, 所以购买 16 件防晒帐篷,18 件普通帐篷,可以获得最大利润 1820 元 【解析】【分析】 (1)此题的等量关系为:防晒帐篷的采购价=普通帐篷的采购价 2;4500 防晒帐篷的采购价-1500 普通帐篷的采购价=5,设未知数,列方程,然后求解即可; (2)利用已知条件:小明准备拿出 7500 元全部用于采购防晒帐篷和

21、普通帐篷并进行销售,可得到关于 a,b 的方程,然后解方程可表示出 b;设销售利润为 w 元,利用两种帐篷的利润之和为 W,可得到 w 与 a 之间的函数解析式, 利用采购的普通帐篷不超过 30 件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐 篷数量,可得到关于 a 的不等式组,然后求出不等式组的整数解,再根据一次函数的性质,可求出最大利润时的购买方案. 24 【答案】(1)50021;500(1)2 (2)解:由题意,可得 50021 1.5 =500(1)2 , 解得 = 5 , 经检验, = 5 是原分式方程的解, a 的值为 5. 【解析】【解答】 (1)解:“丰收 1 号”的面积为: 2 1 ,

22、单位面积产量为: 50021 ; “丰收 2 号”的面积为: ( 1)2 , 单位面积产量为: 500(1)2 ; 故答案为: 50021 ; 500(1)2 ; 【分析】 (1)根据单位产量=总产量 面积即可求解; (2)结合(1)结论,再根据“ “丰收 2 号”的单位面积产量是“丰收 1 号”的单位面积产量的 1.5 倍 ”列出方程并解之即可. 25 【答案】(1)解:设购买 B 奖品的每个单价是 x 元,则购买 A 奖品的每个单价是(x+20)元.根据题意得: 200+20=40 , 解得 x=5, 经检验,x=5 是原方程的解. 所以 x+20=25. 答:买 A 奖品的每个单价是 2

23、5 元,购买 B 奖品的每个单价是 5 元; (2)解:设学校购买 a 个 A 奖品,则需要购买(4a+8- a)个 B 奖品,由题意得: 25a+5(4a+8-a)1000, 解得 a24. 答:该学校最多可购买 24 个 A 奖品. 【解析】【分析】 (1)设购买 B 奖品的每个单价是 x 元,则购买 A 奖品的每个单价是(x+20)元,根据相等关系“用 200 元购买 A 学习用品的数量=用 40 元购买 B 学习用品的数量”可列关于 x 的方程求解; (2)设学校购买 a 个 A 奖品,则需要购买(4a+8- a)个 B 奖品,根据不等关系“购买 a 个 A 奖品的费 用+购买(4a+

24、8- a)个 B 奖品的费用1000”可列关于 a 的不等式求解. 26 【答案】(1)解:设乙队单独完成这项工程需要 x 天, 根据题意得 1150 (30 + 15) +15=13, 解得:x=450, 经检验 x=450 是方程的根, 答:乙队单独完成这项工程需要 450 天; (2)解:设乙队提高工作效率后为1, 则甲队提高后的工作效率为, 则40(1+) =23, 解得: = 60 + 60, 经检验符合题意, 所以乙队提高后的效率为:160+60, 提高前的效率为:1450, 160+601450=45060+60=152+2. 乙队提高后的工作效率是提高前工作效率的152+2倍.

25、 【解析】【分析】 (1)设乙队单独完成这项工程需要 x 天,甲队共工作了(30+15)天,工作量为45150,乙队的工作量为15,然后根据共完成总工程的13列出方程,求解即可; (2)设乙队提高工作效率后为1, 则甲队提高后的工作效率为,根据两队合作 40 天完成剩余的工程可得 a=60m+60,据此可表示出乙队提高前后的效率,然后利用分式的除法法则计算即可. 27 【答案】(1)解:设每个“雪容融”的进价为 x 元,则“冰墩墩”的进价为(x+20)元,依题意得: 3000+20=2400, 解得 = 80, 经检验, = 80是原分式方程的解且符合题意, + 20 = 100, 答:“冰墩

26、墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的进价分别为 100 元和 80 元; (2)解:设购进“冰墩墩”n 个,则购进“雪容融”为(200 )个,依题意得: (240 100) + (160 80)(200 ) 21700(240 100) + (160 80)(200 ) 22300, 解不等式得, 95, 解不等式得, 105, 不等式组的解集是95 105 n 是正整数, 105 95 + 1 = 11 答:该商场进货方案共有 11 种 (3)解:设总利润为 W,根据题意得: = (240 100 ) + 80(200 ) = (60 ) + 16000(95 105) 当 50a60 时,60

27、a0,W 随 n 的增大而增大, 当 n105 时,W 有最大值,此时,200n95; 当 a60 时,60a0,W16000,获利都一样; 当 60a70 时,60a0,W 随 n 的增大而减小, 当 n95 时,W 有最大值,此时,200n105; 综上所述,当 50a60 时,购进“冰墩墩”105 个、“雪容融”95 个,获得利润最大;当 a60 时, (2)中所有方案获利都一样;当 60a70 时,购进“冰墩墩”95 个、“雪容融”105 个,获得利润最大 【解析】【分析】 (1)设每个“雪容融”的进价为 x 元,则“冰墩墩”的进价为(x+20)元,用 3000 元购进“冰墩墩”的数量为3000+20, 用 2400 元购进“雪容融”的数量为2400, 然后根据数量相同列出方程, 求解即可; (2)设购进“冰墩墩”n 个,则购进“雪容融”为(200-n)个,根据(售价-进价) 数量=利润结合题意可得关于 n 的不等式组,求出 n 的范围,然后结合 n 为正整数进行解答; (3)设总利润为 W,根据(售价-进价) 数量=利润可得 Q=(60-a)n+16000,然后结合一次函数的性质进行解答

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