1、第第 2 2 讲讲 整式及因式分解整式及因式分解 一、单选题一、单选题 1一次函数 y= kx+b 的图象过点 P （2，8） ，且分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点，点 O 为坐标原点当AOB 面积最小时，则 k+b 的值为（ ） A10 B12 C14 D16 2下列计算错误的是（ ） A3+ 323 B46 2224 C3 25 D(33)266 3如图，大矩形分割成五个小矩形，号、号均为正方形，其中号正方形边长为 1若号矩形的长与宽的差为 2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积（ ） A或 B C D以上选项都可以 4若（x2）2x2+mx+n，则 m
2、，n 的值分别是（ ） A4，4 B4，4 C4，4 D4，4 5 （2022 宁海模拟）将 7 张如图 1 的两边长分别为 a 和 b（ ，a 与 b 都为正整数）的矩形纸片按图2 的方式不重叠地放在矩形内，矩形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等.设= .若 = 3，k 为整数，则 a 可取的值的个数为（ ） A0 个 B4 个 C5 个 D无数个 6 （2022 宁波模拟）下列计算正确的是（ ） A( )2= 2 2 B()2= 2 Cx+x 22 D(2)3= 23 7（2022 宁波模拟）如图， 正方形 ABCD 被分成五个面积相等的矩形， 若 FG=4，
3、 则正方形的面积为 （ ） A64 B2254 C49 D36 8 （2022 宁波模拟）下列计算正确的是（ ） Aa2+a2=a4 B （a2）3=a5 C(-a2b)3=a6b3 D(b+2a)(2a-b)=4a2-b2 9 （2022 宁海模拟）下列计算正确的是（ ） A3 2= 6 B( + )2= 2+ 2 C(3)2= 26 D5 2 = 3 10（2022 兰溪模拟）古希腊数学家发现“黄金三角形”很美.顶角为 36 的等腰三角形， 称为“黄金三角形”.如图所示， 中， = ， = 36 ，其中 =512 0.618 ，又称为黄金比率，是著名的数学常数.作 的平分线， 交 于 1
4、， 得到黄金三角形 1 ； 作 11 交 于 1 ， 12 1 交 于 2 ，得到黄金三角形 112 ；作 22 交 于 2 ， 23 1 交 于 3 ，得到黄金三角形 223 ；依此类推，我们可以得到无穷无尽的黄金三角形.若 的长为 1，那么 56 的长为（ ） A5 2 B9 45 C25 4 D135 29 二、填空题二、填空题 11 （2022 温州模拟）分解因式：2 4 = . 12 （2022 宁波模拟）分解因式：x22x 13 （2022 衢江模拟）分解因式：2 2 = . 14 （2022 北仑模拟）分解因式：2 2 + . 15 （2022 新昌模拟）分解因式：4 2 = .
5、 16 （2022 宁波模拟）在平面直角坐标系中，对于点(，)和(，)，给出如下定义：如果 = 1( 0)( 0)，那么称点为点的“可控变点”.若点(，2)是反比例函数 =3图象上点的“可控变点”，则点的坐标为 . 17 （2022 婺城模拟）如果2 = 1，那么2 4 + 2024 = . 18 （2022 温州模拟）因式分解：m2- 6m+9 = 19 （2022.温州模拟）因式分解：( + )2 42= . 20 （2022 宁波模拟）分解因式： 3x2-6x+3= 三、计算题三、计算题 21把下列各式分解因式. （1）42 ( )2 ； （2）16( )2 ( + )2 ； （3）(
6、+ 2)( 8) + 6 ； （4）( + )2( )2 (2 + )2(2 )2 . 22计算. （1）(4 2)(2) ； （2）(152 102) (5) . 23 （2022 七下 义乌期中）计算： （1）(13)1+ (2)0 （2）(1242 62 + 2) (2) 24 （） （1）计算： 22 (32) (43) . （2）已知 10= 2，10= 3 ，求 102+ 的值. （3）计算： (2 1)2+ ( + 3)( 3) (4 + 3)( 6). 25 （2022 七下 浙江期中）计算： （1）203 197； （2）(12)2 (3.14 )0 . 四、解答题四、解答题
7、 26 （2022 七下 北仑期中）先化简，再求值：(2a3b)2(2a3b)(2a3b)6b(a-3b).其中 a= 6，b= 12 . 27 （2022 七下 余姚期中）先化简，再求值： (2 + 5)(2 5) + ( 3)2 6( 1) ，其中 = 6 . 28在分解因式 2+ + 时，甲看错了 值，分解的结果是 ( 3)( + 2) ，乙看错了 值，分解的结果是 ( 2)( 3) ，求 + 的值. 29对于有理数，规定新运算：xy=ax+by，其中 a，b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算若 21=5，1（-1）=1，求 ab 的值. 30 （2022 七下 绍兴期中）阅读下面
8、例题，并解答问题。 例题：已知二次三项式 2 4 + 有一个因式是 ( + 3) ，求另一个因式以及 m 的值 解：设另一个因式为 ( + ) ，得 2 4 + = ( + 3)( + ) 则 2 4 + = 2+ ( + 3) + 3 + 3 = 4 = 3 解得： = 7 ， = 21 另一个因式为 ( 7) ，m 的值为21 请仿照上面的方法解答下面的问题： 已知二次三项式 22+ 3 有一个因式是 ( 5) ，求另一个因式以及 k 的值。 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：一次函数分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点， b0，k0， 一次函数
9、y= kx+b 的图象过点 P （2，8） ， b=8-2k， 令 y=0，则 x=-=-82=2-8， A（2-8，0） ， 令 x=0，则 y=b=8-2k， B（0，8-2k） ， S AOB=12OA OB=12 （2-8） （8-2k）=16+2（-k-16）16+4（16）=32， 当-k=-16时，S AOB=32， k0， k=-4， b=8-2 （-4）=16， k+b=-4+16=12. 故答案为：B. 【分析】由一次函数分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点得 b0，k0，由一次函数 y= kx+b的图象过点 P （2，8） ，代入解析式求得 b 和 k 的关
10、系式，从而得到点 A 和点 B 的坐标，利用三角形面积公式得 S AOB=12OA OB=16+2（-k-16） ，再利用完全平方公式和不等式的性质得（-k-16）24（-k）（-16） ，当-k=16时等号成立，此时 S AOB最小，即-k=-16，求得符合题意的 k，从而得到 b 的值，即可求得 k+b 的值. 2 【答案】D 【解析】【解答】解：A、3+ 323，故此选项正确； B、46 2224，故此选项正确； C、3 25，故此选项正确； D、(33)2= 96 66，故此选项错误. 故答案为：D. 【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数
11、也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此判断 A；根据单项式与单项式的除法法则，单项式除以单项式，把系数与相同字母的幂分别相除，可判断 B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断 C；积的乘方，先对积中的每一个因式进行乘方，然后将结果相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断 D. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：设号小矩形的宽为 a，号正方形边长为 b，则号小矩形的长为 a+2， 号正方形边长为 1， 号小矩形宽为 b1，长为 a+3，号小矩形宽为 a1，长为 b+1，大矩形长为 a
12、+b+3，宽为 a+b1， 号小矩形周长为 2（b1+a+3）2（a+b）+4，号小矩形周长为 2（b+1+a1）2（a+b） ，大矩形的面积为（a+b+3） （a+b1） ， 要算出这个大矩形的面积只需要知道 a+b 的值即可， 知道或号小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积. 故答案为：A. 【分析】根据题意，可以设号小矩形的宽为 a，号正方形边长为 b，然后即可表示出其它的小矩形的长和宽，从而本题得以解决 4 【答案】B 【解析】【解答】解：( 2)2= 2 4 + 4 = 2+ + ， m=-4，n=4. 故答案为：B. 【分析】根据完全平方公式将左式展开，进而根据多项式的性质可得
13、 m、n 的值. 5 【答案】A 【解析】【解答】解：因为左上角与右下角的阴影部分的面积相等， 所以4 4 = 3， 所以4 = ， 因为 = 3， 所以12 3 = ， 因为= ， 所以 a=kb， 所以12 3 = 2， 所以 =12+3， 因为 k 为整数， 所以 b+3 取 1，2，3，4，6，12， 因为 b 为正整数 所以 b 取 1，3，9， 当 b=1 时，k=3，此时 a=3， 当 b=3 时，k=2，此时 a=6， 当 b=9 时，k=1，此时 a=9， 因为 = 3， a3， a 可取的值的个数为 0. 故答案为：A. 【分析】 根据左上角与右下角的阴影部分的面积相等可得
14、 4b AB-4ab=a AB-3ab， 结合 AB 的值以及=k可得 k=12+3，然后根据 k 为整数可得正整数 b 的值，然后求出对应的 a 的值，结合 a3 对求出的值进行取舍即可. 6 【答案】B 【解析】【解答】解：A.( )2= 2 2 +2 ， 故 A 错误； B. ()2= 2 ， 故 B 正确； C.x+x2x， 故 C 错误； D. (2)3= 83 ， 故 D 错误； 故答案为：B. 【分析】 根据完全平方公式可判断 A； 积的乘方， 先对每一项进行乘方， 然后将结果相乘， 据此判断 B、D；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，
15、据此判断C. 7 【答案】B 【解析】【解答】解：设 KJ=LI=x， 正方形 ABCD 被分成五个面积相等的矩形， IF=JG=KJ=LI=x， EB=2x， 又FG=4， EB EL=2x EL=AE EK=KJ FG=4x， EL=2，EK=2+4=6， AE=23x， CD=AB=AE+BE=23x+2x=83x， 4x=CG CD=CG83x， CG=32， BC=EL+FG+GC=2+4+32=152， 正方形 ABCD 的面积=BC2=（152）2=2254. 故答案为：B. 【分析】设 KJ=LI=x，正方形 ABCD 被分成五个面积相等得矩形，则 IF=JG=KJ=LI=x，
16、EB=2x，结合FG=4，可表示出一个矩形的面积为 4x，即 EB EL=2x EL=AE EK=KJ FG=4x，可得 EL=2，AE=23x，进而求得 CD=83x，再由一个矩形的面积可得 4x=CG CD=CG83x，求出 CG=32，从而求出 BC 的长度，即可求出正方形 ABCD 的面积. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2a4，A 选项不符合题意； B、 （a2）3=a6a5，B 选项不符合题意； C、 （-a2b）3=-a6b3a6b3，C 选项不符合题意； D、 （b+2a） （2a-b）=4a2-b2，D 选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据同
17、类项合并法则，字母及字母指数不变，系数相加减，计算即可判断 A 选项；根据幂的乘方运算法则，底数不变，指数相乘，计算即可判断 B 选项；根据积的乘方运算法则，每个因式分别乘方后再乘积，计算即可判断 C 选项；根据平方差公式，即可判断 D 选项. 据此判断即可得出正确答案. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：3 2= 5， A 选项错误，不符合题意； ( + )2= 2+ 2 + 2， B 选项错误，不符合题意； (3)2= 26， C 选项正确，符合题意； 5 2 = 3， D 选项错误，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断 A；根据完全平方公式的
18、展开式是一个三项式，可判断 B；积的乘方：先将每一个因式进行乘方，然后将结果相乘；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断 C；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断 D. 10 【答案】B 【解析】【解答】解： = ， = 36 ， = =1802= 72 ， 的平分线交 于 1 ， 11= 1=12 = 36 ， 1 ， 1=512 ， 的长为 1， 1=512 ， 11 BC， 112= = 72 ， 11= = 72 ， 11= 11 ， 11= 11 = 36 ， 11 ， 11= 1 ， 1=1 ，即 1+11=1+11 ， 1= 1
19、， 11= 1 = 1=512 ， 12 BC1 ， 11= 11 = 36 ， 12 1 ， 1211=1=512 ， 12= (512)2 ， 同理，22 交 于 2 ， 23 交 于 3 ，得到黄金三角形 223 ， 23= (512)3 ， +1= (512)+1 ， 56= (512)6= (512)23= (352)3= 9 45 故答案为：B. 【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得ABC=C=72 ，根据角平分线的概念可得B1BC1=CBC1=36 ，证明BCC1ABC，根据相似三角形的性质可得 CC1，由平行线的性质可得B1C1C2=C=72 ，AB1C1=ABC=7
20、2 ，B1BC1=B1C1B，证明AB1C1ABC，根据相似三角形的性质可得 BB1=CC1， 证明BC1C2BCC1， 根据相似三角形的性质可得 C1C2， 同理求出 C2C3、 CnCn+1，据此解答. 11 【答案】m（m-4） 【解析】【解答】解：2 4 = ( 4) 故答案为：m（m-4）. 【分析】对原式直接提取公因式 m 即可. 12 【答案】x(x-2) 【解析】【解答】解：x2-2x=x（x-2）. 故答案为：x（x-2）. 【分析】直接利用因式分解-提公因式法，进行因式分解即可. 13 【答案】x（x-2） 【解析】【解答】解：2 2 = ( 2). 故答案为： x（x-2
21、）. 【分析】直接提取公因式 x 即可. 14 【答案】( 1)2 【解析】【解答】解：2 2 + = (2 2 + 1) = ( 1)2 故答案为：( 1)2. 【分析】首先提取公因式 x，然后利用完全平方公式进行分解. 15 【答案】2a（2b-1） 【解析】【解答】解：4 2 = 2(2 1). 故答案为：2a（2b-1）. 【分析】直接提取公因式 2a 即可. 16 【答案】（1，3）或(32， 2) 【解析】【解答】解：点 P 的“可控变点”Q 所在函数解析式为： = 3 1( 0)3( 0)， 当 0时，将 (，2)代入 =3 1得， 2 =3 1， 解得 = 1， 当 0时，将
22、(，2)代入 = 3得， 2 = 3， 解得 = 32. 把 = 1代入 P 点所在解析式 =3，得 = 3，即 P 点坐标为 (1，3)， 把 = 32代入 P 点所在解析式 =3，得 = 2，即 P 点坐标为 (32， 2). 故答案为： (1，3)或 (32， 2). 【分析】 根据定义的新运算表示出点 P 的“可控变点”Q 所在的函数解析式， 然后分 m0、 m0， 将 （m，2）代入对应的函数解析式中求出 m 的值，将 m 的值代入反比例函数解析式中求出 y 的值，据此可得点 P 的坐标. 17 【答案】2022 【解析】【解答】解：原式=2(2 ) + 2024 = 2 1 + 2
23、024 = 2022； 故答案为：2022. 【分析】将原式变形为2(2 ) + 2024，再整体代入计算即可. 18 【答案】（m-3）2 【解析】【解答】解： m2-6m+9 =m2- 2 3m+9 =(m-3)2. 故答案为：(m-3)2. 【分析】先把原式化为 m2- 2 3m+9，然后利用完全平方公式分解因式，即可得出结果. 19 【答案】（a+3b） （a-b） 【解析】【解答】解：原式=( + )2 (2)2= ( + + 2)( + 2) = ( + 3)( ) 故答案为：(a+3b)(a-b). 【分析】原式可变形为(a+b)2-(2b)2，然后结合平方差公式进行分解. 20
24、 【答案】3( 1)2 【解析】【解答】解：原式=3（x2-2x+1）=3（x-1）2. 故答案为：3（x-1）2. 【分析】利用提公因式及完全平方公式，进行分解因式即可. 21 【答案】（1）解：原式= (2)2 ( )2 = (2 + )(2 + ) ； （2）解：原式= 4( )2 ( + )2 = 4( ) + ( + ) 4( ) ( + ) = (5 3)(3 5) ； （3）解：原式 = 2 6 16 + 6 = 2 16 = 2 42 = ( + 4)( 4)； （4）解：原式 = (2 2)2 (42 2)2 = (2 2+ 42 2) (2 2 42+ 2) = (52 2
25、2) (32) = 32(52 22). 【解析】【分析】(1)先把原式化成 (2)2 ( )2，然后利用平方差公式分解因式即可； (2)先把原式化成 4( )2( + )2，然后利用平方差公式分解因式，再对每个因式再进行化简即可得出结果； (3)先进行整式的混合运算将原式化简，再利用平方差公式分解因式即可； (4)利用平方差公式分解因式，再对每个因式再进行化简即可得出结果. 22 【答案】（1）解：原式 = 8 + 23 （2）解：原式 = 152 (5) 102 (5) = 3 2 【解析】【分析】(1)单项式乘以多项式，先把单项式与多项式的每项相乘，然后把所得的积相加减。根据法则计算即可
26、. (2)多项式除以单项式，先把多项式的每项除以单项式，然后把所得的商相加减。根据法则计算即可. 23 【答案】（1）解：原式=3+1=4； （2）解：原式=（6a3b-3a+1） 2ab 2ab=6a3b-3a+1. 【解析】【分析】 （1） 从左往右， 分别计算负整数指数幂及非零数的零次方， 再将其结果相加即可得解； （2）先将括号里的多项式提公因式，再将括号外的除法转化为乘法约分，即可求解. 24 【答案】（1）解：原式 = (623) (43) = 32 （2）解： 10= 2，10= 3， 原式 = (10)2 10= 12 （3）解：原式 = 42 4 + 1 + 2 9 (42
27、21 18) = 2+ 17 + 10 【解析】【分析】(1)根据单项式的乘除法则计算，即可得出结果； (2)根据幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则将原式化为 (10)2 10 ，然后代值计算即可. (3)根据整式的混合运算法则计算，将原式化简，即可得出结果. 25 【答案】（1）解：203 197=（200+3） （200-3）=2002-32=39991； （2）解：(12)2(3.14 )0=4-1=3. 【解析】【分析】 （1）把原式变形为（200+3） （200-3） ，再根据平方差公式进行计算，即可得出答案； （2）根据负整数指数幂和零指数幂的性质化简，再计算减法，即可得出答案. 2
28、6 【答案】解：原式=4a2-12ab+9b2-4a2+9b2+6ab-18b2=-6ab， 当 a=-6，b=12时， 原式=-6 （-6）12=18. 【解析】【分析】根据整式混合运算顺序和法则进行化简，再把 a，b 的值代入进行计算，即可得出答案. 27 【答案】解：原式 = 42 25 + 2 6 + 9 62+ 6 = 2 16 当 = 6 时， 原式 = 52 【解析】【分析】 利用平方差公式，完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则，化简原式=-x -16，再把 x=6 代入计算即可求解. 28 【答案】解：分解因式 2+ + 时，甲看错了 值， 分解的结果是 ( 3)( + 2)
29、 ， 且 ( 3)( + 2) = 2 6 ， = 6 . 乙看错了 值，分解的结果是 ( 2)( 3) ， 且 ( 2)( 3) = 2 5 + 6 ， = 5 + = 11 【解析】【分析】由于甲看错了 a 值，分解的结果是 ( 3)( + 2) ，先根据整式的乘法计算，然后根据恒等的关系求出 b 的值；再根据乙看错了 b 值，分解的结果是(x-2)(x-3)，可求出 a 的值，最后代值计算即可. 29 【答案】解：xy=ax+by， 21=5 可转化为：2a+b=5， 1（-1）=1 可转化为：a-b=1. 将这两个方程组成方程组： 2 + = 5 = 1 ， 解得 = 2 = 1 ， ab=2 1=2 【解析】【分析】根据定义新运算法则：xy=ax+by，再根据 21=5，1（-1）=1，可得到关于 a，b的方程组，解方程组求出 a，b 的值，然后求出 ab 的值. 30 【答案】解：设另一个因式为 (2 + ) ，得 22+ 3 = ( 5)(2 + )， 则 22+ 3 = 22+ ( 10) 5， 10 = 3 = 5 ， 解得： = 13 = 65， 另一个因式为 (2 + 13) ，m 的值为 65 . 【解析】【分析】设另一个因式为(2x+a) ，根据恒等的关系列等式，根据等式两边 x 的相同指数项的系数对应相等，列出方程求解即可
