1、 河南省商丘市梁园区河南省商丘市梁园区 2021-2022 学年学年九年级九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x2+0 B2x3y+10 C （x3） （x2）x2 D （3x1） （3x+1）3 2二次函数 y（x2）23 的图象的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 3关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的一个根为1，则 m 的值为（ ） A3 B1 C1 D2 4如图，AB 是O 的直径，点 C，D，E 在O 上，若ACE2
2、0，则BDE 的度数为（ ） A90 B100 C110 D120 5半径为 2 的圆内接正六边形的边心距的长是（ ） A2 B1 C D 6如果将抛物线 y（x+2）23 平移，使它与抛物线 yx2+1 重合，那么平移的方式可以是（ ） A向左平移 2 个单位，向上平移 4 个单位 B向左平移 2 个单位，向下平移 4 个单位 C向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位 D向右平移 2 个单位，向下平移 4 个单位 7 如图， 三角形 OCD 是由三角形 OAB 绕点 O 顺时针旋转 40后得到的图形， 则BOD 的度数是 （ ） A33 B35 C40 D45 8如图，PA、PB、CD
3、是O 的切线，切点分别是 A、B、E，CD 分别交 PA、PB 于 C、D 两点，若APB60，则COD 的度数（ ） A50 B60 C70 D75 9 如图， 将等边三角形 OAB 放在平面直角坐标系中， A 点坐标 （1， 0） ， 将OAB 绕点 O 逆时针旋转 60，则旋转后点 B 的对应点 B的坐标为（ ） A （，） B （1，） C （，） D （，） 10 已知二次函数y2x28x+6的图象交 x 轴于 A， B两点 若其图象上有且只有 P1， P2， P3三点满足m，则 m 的值是（ ） A1 B C2 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分
4、）分） 11将一元二次方程 3x2+16x 化为一般形式后二次项系数为 3，则一次项系数为 12在直角坐标系中，点（2，1）关于原点成中心对称的点的坐标是 13 若二次函数 y2x23 的图象上有两个点 （2， m） ， （1， n） ， 则 m n （填 “” 或 “” 或 “” ） 14如图，正方形 OABC 的边长为 2，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转角 （0180）得到正方形 OABC，连接 BC，当点 A恰好落在线段 BC上时，线段 BC的长度是 15如图，A、B 是二次函数 yx2+bx 图象上的两点，直线 AB 平行于 x 轴，点 A 的坐标为（3，4） 在直线 AB
5、上任取一点 P，作点 A 关于直线 OP 的对称点 C，连接 BC，则 BC 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 75 分）分） 16 （10 分）解方程： （1）x22x10 （2）x2+x60 17 （9 分）如图为二次函数 yx2x+2 的图象，试根据图象回答下列问题： （1）方程x2x+20 的解为 ； （2）当 y0 时，x 的取值范围是 ； （3）当3x0 时，y 的取值范围是 18 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，点 E 在对角线 BD 上，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转120，得到 CF，连接 DF （1）求证：BCEDFC （2
6、）若 BC2，求四边形 ECFD 的面积 19 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（6，1） ，C（2，1） （1）把ABC 向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位得A1B1C1，试画出图形，并直接写出点 C1的 坐标； （2）把ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90得A2B2C2，试画出图形，并直接写出点 C2的坐标； （3）若（2）中的A2B2C2可以看作由（1）中的A1B1C1绕坐标平面内某一点 P 旋转得到，试在图中标出点 P 的位置，并直接写出旋转中心 P 的坐标 20 （9 分）如图，A、B 是O 上的两点，过 O 作 O
7、B 的垂线交 AB 于 C，交O 于 E，交O 的切线 AD于 D （1）求证：DADC； （2）当 OA5，OC1 时，求 DA 及 DE 的长 21 （9 分）小茗同学准备用一段长为 50 米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（矩形 ABCD） ，墙长为 25 米设花圃的一边 AD 为 x 米 （1）如图 1，写出花圃的面积 S（平方米）与 x（米）的函数关系式； （2）图 1 中花圃的面积能为 300 平方米吗？若能，请求出 x 的值；若不能，请说明理由； （3）为方便进出，小茗同学决定在 BC 边上留一处长为 a 米（0a4）的门（如图 2） ，且最终围成的花圃的最大面积为 325
8、平方米，直接写出 a 的值 22 （10 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yx22mx+1 图象与 y 轴的交点为 A，将点 A 向右平移 4 个 单位长度得到点 B （1）直接写出点 A 与点 B 的坐标； （2）若函数 yx22mx+1 的图象与线段 AB 恰有一个公共点，求 m 的取值范围 23 （10 分）已知，ABC 中，ABAC，点 E 是边 AC 上一点，过点 E 作 EFBC 交 AB 于点 F （1）如图，求证：AEAF； （2）如图，将AEF 绕点 A 逆时针旋转 （0144）得到AEF连接 CE、BF 若 BF6，求 CE的长； 若EBCBAC36，在图的旋转过程中，当
9、 CEAB 时，直接写出旋转角 的大小 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） A3x2+0 B2x3y+10 C （x3） （x2）x2 D （3x1） （3x+1）3 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有三个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是 2； （3）是整式方程 【解答】解：A、3x2+0 是分式方程，故此选项错误； B、2x3y+10 为二元一次方程，故此选项错误； C、 （x3） （x2）x2是一元一次方程
10、，故此选项错误； D、 （3x1） （3x+1）3 是一元二次方程，故此选项正确 故选：D 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c0（a0）的形式，则这个方程就为一元二次 方程 2二次函数 y（x2）23 的图象的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标 【解答】解：y（x2）23， 二次函数 y（x2）23 的图象的顶点坐标是（2，3） 故选：B 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的
11、关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 3关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的一个根为1，则 m 的值为（ ） A3 B1 C1 D2 【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将 x1 代入求出答案 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的一个根是1， （1）22（1）+m0， 解得：m3 故选：A 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键 4如图，AB 是O 的直径，点 C，D，E 在O 上，若ACE20，则BDE 的度数为（ ） A90 B100 C110 D120 【分析】连接 AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出ADB90
12、，ADEACE20，即可求BDE 的度数 【解答】解：连接 AD， AB 为O 的直径， ADB90， ACE20， ADEACE20， BDEADB+ADE110， 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 5半径为 2 的圆内接正六边形的边心距的长是（ ） A2 B1 C D 【分析】正多边形的内切圆的半径就是正六边形的边心距，即为每个边长为 2 的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解 【解答】解：边长为 2 的正六边形可以分成六个边长为 2 的正三角形，
13、 而正多边形的边心距即为每个边长为 2 的正三角形的高， 正六多边形的边心距等于 2sin60， 故选：C 【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算 6如果将抛物线 y（x+2）23 平移，使它与抛物线 yx2+1 重合，那么平移的方式可以是（ ） A向左平移 2 个单位，向上平移 4 个单位 B向左平移 2 个单位，向下平移 4 个单位 C向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位 D向右平移 2 个单位，向下平移 4 个单位 【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可
14、得解 【解答】解：抛物线 y（x+2）23 的顶点坐标为（2，3） ，抛物线 yx2+1 的顶点坐标为（0，1） ， 顶点由（2，3）到（0，1）需要向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便 7 如图， 三角形 OCD 是由三角形 OAB 绕点 O 顺时针旋转 40后得到的图形， 则BOD 的度数是 （ ） A33 B35 C40 D45 【分析】由旋转的性质可得BOD40 【解答】解：OCD 是由OAB 绕点 O 顺时针旋转 40后得到的图形， BOD40， 故选：C 【点评】本题考查了旋转
15、的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键 8如图，PA、PB、CD 是O 的切线，切点分别是 A、B、E，CD 分别交 PA、PB 于 C、D 两点，若APB60，则COD 的度数（ ） A50 B60 C70 D75 【分析】连接 AO，BO，OE 由切线的性质可得PAOPBO90，结合已知条件和四边形的内角和为 360可求出AOB 的度数，再由切线长定理即可求出COD 的度数 【解答】解： 连接 AO，BO，OE， PA、PB 是O 的切线， PAOPBO90， APB60， AOB36029060120， PA、PB、CD 是O 的切线， ACOECO，DBODE
16、O， AOCEOC，EODBOD， CODCOE+EODAOB60 故选：B 【点评】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角 9 如图， 将等边三角形 OAB 放在平面直角坐标系中， A 点坐标 （1， 0） ， 将OAB 绕点 O 逆时针旋转 60， 则旋转后点 B 的对应点 B的坐标为（ ） A （，） B （1，） C （，） D （，） 【分析】如图，故点 B 作 BHOA 于 H，设 BB交 y 轴于 J求出点 B 的坐标，证明 B，B关于 y 轴对称，即可解决问题 【解答】解：如
17、图，故点 B 作 BHOA 于 H，设 BB交 y 轴于 J A（1，0） ， OA1， AOB 是等边三角形，BHOA， OHAHOA，BHOH， B（，） ， AOBBOB60，JOA90， BOJJOB30， OBOB， BBOJ， BJJB， B，B关于 y 轴对称， B（，） ， 故选：A 【点评】本题考查坐标与图形的性质，旋转变换，轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 10 已知二次函数y2x28x+6的图象交 x 轴于 A， B两点 若其图象上有且只有 P1， P2， P3三点满足m，则 m 的值是（ ） A1 B C2
18、 D4 【分析】由已知条件可判定三点中必有一点在二次函数 y2x28x+6 的顶点上，通过求解二次函数的顶点的坐标及与 x 轴的交点坐标利用三角形的面积公式可求解 m 值 【解答】解：二次函数 y2x28x+6 的图象上有且只有 P1，P2，P3三点满足m， 三点中必有一点在二次函数 y2x28x+6 的顶点上， y2x28x+62（x2）222（x1） （x3） ， 二次函数 y2x28x+6 的图象的顶点坐标为（2，2） ， 令 y0，则 2（x1） （x3）0， 解得 x1 或 x3， 与 x 轴的交点为（1，0） ， （3，0） ， AB312， m2 故选：C 【点评】本题主要考查二
19、次函数的图象与性质，二次函数与 x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，判定 P1，P2，P3点的位置是解题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11将一元二次方程 3x2+16x 化为一般形式后二次项系数为 3，则一次项系数为 6 【分析】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式 【解答】解：一元二次方程 3x2+16x 化为一般形式为 3x26x+10， 二次项系数和一次项系数分别为 3，6， 故答案是：6 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0） ，特别要注
20、意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 12在直角坐标系中，点（2，1）关于原点成中心对称的点的坐标是 （2，1） 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案 【解答】解：在直角坐标系中，点（2，1）关于原点成中心对称的点的坐标是（2，1） ， 故答案为： （2，1） 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键 13 若二次函数 y2x23 的图象上有两个点 （2， m） ，
21、（1， n） ， 则 m n （填 “” 或 “” 或 “” ） 【分析】根据二次函数图象的增减性即可解答 【解答】解：y2x23 的对称轴为 x0，开口方向向上， 对于开口向上的函数，x 距离对称轴越近，y 值越小， 2 比 1 距离对称轴远， mn 故答案为 【点评】本题主要考查二次函数的性质对于开口向上的函数，x 距离对称轴越近，y 值越小 14如图，正方形 OABC 的边长为 2，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转角 （0180）得到正方形 OABC，连接 BC，当点 A恰好落在线段 BC上时，线段 BC的长度是 + 【分析】如图，作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理分别计算
22、OB，OE，EC和 BE 的长，根据线段的和可得结论 【解答】解：如图，连接 OB，过点 O 作 OECB 于 E，则OECOEB90， 将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转角 （0180）得到正方形 OABC，点 A恰好落在线段 BC上， OCE45，OAOCAB2，A90， OB2，OEEC， 在 RtOBE 中，由勾股定理得：BE， BCBE+EC+ 故答案为：+ 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形，解题的关键是：作辅助线，构建等腰直角三角形 OEC和直角三角形 OEB 15如图，A、B 是二次函数 yx2+bx 图象上的两点，直线 AB 平行于 x
23、 轴，点 A 的坐标为（3，4） 在直线 AB 上任取一点 P，作点 A 关于直线 OP 的对称点 C，连接 BC，则 BC 的最小值为 45 【分析】利用待定系数法求出点 B 的坐标，求出 OA，OB，根据 BCOBOC，可得结论 【解答】解：如图，连接 OB A（3，4）在 yx2+bx 上，413b， b1， 抛物线的解析式为 yx2x， 当 y4 时，x2x4，解得 x12 或3， B（12，4） ， 点 A 关于直线 OP 的对称点 C， OCOA5， OB4， BCOBOC， BC45， BC 的最小值为 45 故答案为：45 【点评】本题考查二次函数图形上的点的坐标特征，待定系数
24、法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 75 分）分） 16 （10 分）解方程： （1）x22x10 （2）x2+x60 【分析】 （1）利用配方法得到（x1）22，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【解答】解： （1）x22x1， x22x+12， （x1）22， x1， 所以 x11+，x21； （2） （x+3） （x2）0， x+30 或 x20， 所以 x13，x22 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一
25、元二次方程最常用的方法也考查了配方法 17 （9 分）如图为二次函数 yx2x+2 的图象，试根据图象回答下列问题： （1）方程x2x+20 的解为 x12，x21 ； （2）当 y0 时，x 的取值范围是 2x1 ； （3）当3x0 时，y 的取值范围是 4y 【分析】 （1）令 yx2x+20，解得 x12，x21，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（，） ，当 x3 时，y9+3+24，进而求解 【解答】解： （1）令 yx2x+20，解得 x2 或 1， 故答案为 x12，x21； （2）从图象看，当 y0 时，x 的取值范围是2x1， 故答
26、案为2x1； （3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（，） ， 当 x3 时，y9+3+24， 故当3x0 时，y 的取值范围是为4y 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征 18 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，点 E 在对角线 BD 上，将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转120，得到 CF，连接 DF （1）求证：BCEDFC （2）若 BC2，求四边形 ECFD 的面积 【分析】 （1）根据菱形的性质可得 BCDC，根据旋转的性质可得 CECF，再利
27、用BAD120及线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 120，可得BCEDCF，然后利用 SAS 判定BCEDFC （2）由（1）可得，四边形 ECFD 的面积等于BCD 的面积，在BCD 中以 BC 为底构造直角三角形利用锐角三角函数求出BCD 的高，然后求出BCD 的面积，即四边形 ECFD 的面积 【解答】 （1）证明：线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 120，得到 CF， CECF，ECF120 BCDBAD120， BCDECF， 即BCE+ECDDCF+ECD， BCEDCF 四边形 ABCD 是菱形， BCDC， BCEDFC（SAS） （2）解：过点 D 作 DG 垂直 BC 的延
28、长线于点 G如图所示， BCD120， DCG60 在 RDCG 中， sinDCG， DGDCsinDCG， DCBC2， DG2， S四边形ECFDSECD+SDCF， S四边形ECFDSECD+SBCESBCD 【点评】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质等，解题的关键是构造直角三角形利用锐角三角函数求出 DG 的长 19 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（6，1） ，C（2，1） （1）把ABC 向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位得A1B1C1，试画出图形，并直接写出点 C1的坐标； （2）把ABC 绕原点 O 逆时针
29、旋转 90得A2B2C2，试画出图形，并直接写出点 C2的坐标； （3）若（2）中的A2B2C2可以看作由（1）中的A1B1C1绕坐标平面内某一点 P 旋转得到，试在图中标出点 P 的位置，并直接写出旋转中心 P 的坐标 【分析】 （1）根据点平移的坐标变换规律写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2即可； （3）作 C1C2和 A1A2的垂直平分线，它们的交点为旋转中心 P 点 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作；点 C1的坐标为（4，3） ； （2）如图，A2B2C2为所作；点 C2的坐标为（1，2）
30、 ； （3）如图，点 P 为所作，旋转中心 P 点坐标为（1，3） 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了平移变换 20 （9 分）如图，A、B 是O 上的两点，过 O 作 OB 的垂线交 AB 于 C，交O 于 E，交O 的切线 AD于 D （1）求证：DADC； （2）当 OA5，OC1 时，求 DA 及 DE 的长 【分析】 （1）要证明 DADC，只要证明ACDCAD 即可，根据题目中的条件可以得到ACDCAD，结论得以证明； （2
31、）根据（1）中的结论和勾股定理可以求得 DA 及 DE 的长 【解答】 （1）证明：OBOC，OAAD， BOC90，OAD90， BCO+OBCOAC+CAD90， OBOA， OBCOAC， BCOCAD， BCOACD， ACDCAD， DADC； （2）解：OA5，OC1，OAD90，DADC， 设 DAx， 则 52+x2（x+1）2， 解得，x12， DA12，OD13， OEOA， OE5， DEODOE1358 【点评】本题考查切线的性质，解答此类题目的关键是明确题目中所要证明的结论和所要解答的问题，然后根据数形结合和勾股定理的相关知识解答 21 （9 分）小茗同学准备用一段长
32、为 50 米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（矩形 ABCD） ，墙长为 25 米设花圃的一边 AD 为 x 米 （1）如图 1，写出花圃的面积 S（平方米）与 x（米）的函数关系式； （2）图 1 中花圃的面积能为 300 平方米吗？若能，请求出 x 的值；若不能，请说明理由； （3）为方便进出，小茗同学决定在 BC 边上留一处长为 a 米（0a4）的门（如图 2） ，且最终围成的花圃的最大面积为 325 平方米，直接写出 a 的值 【分析】（1） 分别用含 x 的式子表示出矩形 ABCD 的长和宽， 按照矩形的面积公式即可列出函数关系式； （2）令 S300，得关于 x 的一元二次方程
33、，解方程，有解即为花圃的面积能为 300 平方米，无解即为不能； （3）由题意可知此时 S（50 x+a）xx2+（50+a）x，根据二次函数的性质及 0a4 可得关于 a 的方程，求解即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 为矩形， ABCD，ADBC， 篱笆总长为 50 米，AD 为 x 米， ABCD， 花圃的面积 Sxx2+25x， 花圃的面积 S（平方米）与 x（米）的函数关系式为 Sx2+25x； （2）令 S300 得：x2+25x300， 解得 x120，x230（不合题意，舍去） 图 1 中花圃的面积能为 300 平方米，此时 x 的值为 20； （3）依题意，S（50
34、x+a）xx2+（50+a）x， 0a4，对称轴为 x25+， 2525+27， 又0，抛物线开口向下， 当 x25 时，S 有最大值， 252+（50+a）25325， 解得 a1 a 的值为 1 【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 22 （10 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yx22mx+1 图象与 y 轴的交点为 A，将点 A 向右平移 4 个单位长度得到点 B （1）直接写出点 A 与点 B 的坐标； （2）若函数 yx22mx+1 的图象与线段 AB 恰有一个公共点，求 m 的取值范围 【分析】 （1）根据 y
35、 轴上点的坐标特征求得 A 的坐标，然后根据平移的规律得到 B 的坐标； （2）二次函数图象经过定点 A（0，1） ，分三种情况讨论即可求得 m 的取值 【解答】解： （1）把 x0 代入 yx22mx+1 得，y1， A（0，1） ， 将点 A 向右平移 4 个单位长度得到点 B， B（4，1） ； （2）直线 AB 解析式为 y1，该二次函数图象经过定点 A（0，1） ， 当 m0 时，抛物线解析式为 yx2+1，顶点恰是 A 点，与线段 AB 仅有一个交点 A 点； 当 m0 时，如图 1，对称轴为直线 xm0，恰与线段 AB 仅有一个交点 A 点； 当 m0，在 x0 范围内，y 会先
36、随 x 增大而减小，再随 x 增大而增大， 如图 2，当 m2 时，对称轴为直线 x2，此时抛物线恰好与线段 AB 有两个交点分别是 A 点和 B 点， 因此当 m2 时，抛物线恰好与线段 AB 有一个交点， 综上所述，m0 或 m2 【点评】 本题考查二次函数的图象和性质， 掌握抛物线的位置与系数 a、 b、 c 的关系是正确判断的前提 23 （10 分）已知，ABC 中，ABAC，点 E 是边 AC 上一点，过点 E 作 EFBC 交 AB 于点 F （1）如图，求证：AEAF； （2）如图，将AEF 绕点 A 逆时针旋转 （0144）得到AEF连接 CE、BF 若 BF6，求 CE的长；
37、 若EBCBAC36，在图的旋转过程中，当 CEAB 时，直接写出旋转角 的大小 【分析】 （1）根据等腰三角形两底角相等ABCACB，再根据平行线的性质得出，AFEABC，AEFACB，得出AFEAEF，进一步得出结论； （2）求出 AEAF，再根据旋转的性质可得EACFAB，AEAF，然后利用“边角边”证明CAE和BAF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （3）把AEF 绕点 A 逆时针旋转 AE与过点 C 与 AB 平行的直线相交于 M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可 【解答】 （1）证明：ABAC， ABCACB， EFBC， AFEABC，
38、AEFACB， AFEAEF， AEAF （2）解：由旋转的性质得，EACFAB，AEAF， 在CAE和BAF中， ， CAEBAF（SAS） ， CEBF6； 由（1）可知 AEAF， 所以，在AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，点 E 经过的路径（圆弧）与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 相交于点 M、N，如图， 当点 E 的像 E与点 M 重合时，四边形 ABCM 是等腰梯形， 所以，BAMABC72， 又BAC36， CAM36； 当点 E 的像 E与点 N 重合时， CEAB， AMNBAM72， AMAN， ANMAMN72， MAN18072236， CANCAM+MAN36+3672， 综上所述，当旋转角 为 36或 72 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键
