1、2021-2022 学年江苏省镇江市丹阳市八年级学年江苏省镇江市丹阳市八年级上上期末数学试卷期末数学试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共计分，共计 24 分分.） 14 是 的算术平方根 2若一直角三角形两直角边长分别为 6 和 8，则斜边长为 3|2| 4若等腰ABC 的顶角是 80，则它的底角为 5在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是 6如图，AD 和 CB 相交于点 E，BEDE，请添加一个条件，使ABECDE（只添一个即可），你所添加的条件是 7一次函数 ykx3 的图象经过点（1，3），则 k 8如图，
2、在ABC 中，DE 是 AC 的中垂线，AD5，BD2，则 BC 长是 9如图，在ABC 中，C90，A30，BD 是ABC 的平分线若 AB6，则点 D 到 AB 的距离是 10如图，直线 yka+b 与直线 yx 相交于点 A，则关于 x 的不等式xkx+b 的解集为 11如图，等边ABC，AC3，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，将CDE 沿 DE 折叠得到FDE，点 F 恰好落在边 AB 上，且 BF2AF，连接 CF，则 CF 长为 12 已知点 P 在直线 l： ykx3k （k0） 上， 点 Q 的坐标为 （0， 4） ， 则点 Q 到直线 l 的最大距离是 二、选择题（本大
3、题共二、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13下列各数中的无理数是（ ） A B C2 D 14在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为（2，3），则它位于第几象限（ ） A一 B二 C三 D四 15一次函数 y3x2 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 16A、B 两地相距 20 千米，甲、乙两人都从 A 地去 B 地，图中 l1和 l2分别表示甲、乙两人所走路程 s（千米）与时间 t（小时）之间的关系下列说法错误的是（ ） A乙晚出发 1 小时 B乙出发 3 小时后追上甲 C甲的速度是 4 千米/小时 D乙先到达
4、B 地 17如图，ABCADC90，BAD70，点 E 是 AC 的中点则EBD 的度数为（ ） A20 B35 C40 D55 18在ABC 中，ABAC，BAC45，边 AC、BC 上的高 BE、AD 交点 F若 BD，则 AF 的长为（ ） A1 B C D2 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共计小题，共计 78 分分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，） 19计算： （1）+（）2； （2）+（）2 20求下列各式中的 x 值： （1）2x2500； （2）（x+2）364 21已知：点 B、E、
5、C、F 在一条直线上，ABDE，ACDF，BECF求证：ABCDEF 22若一次函数 ykx+b 的图象平行于直线 yx+2，且经过点（2，0） （1）试求 k、b 的值； （2）求一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积 23如图，在ABC 中，ACB90，AC3，BC4 （1）作线段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 P，连接 AP（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求线段 BP 的长 24如图，ABC 中，ACB90，ACBC，延长 AB 到 D，使得 DBAB，连接 CD，以 CD 为直角边作等腰 RtCDE，其中DCE90，连接 BE （1）猜想线段 B
6、E 与 AD 的数量和位置关系，并说明理由； （2）若 ACcm，则 BE cm，DE cm 25某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8 分钟内既进水又出水，12 分钟后关闭进水管，放空容器中的水已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量 y（升）与时间 x（分钟）之间的关系如图所示 （1）求进水管的进水速度； （2）当 4x12 时，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）关闭进水管后，再经过 分钟能放空容器中的水 26如图，直线 l1的函数表达式为 y13x+3，l1与 x 轴交于点 B，直线 l2：y2kx+b 经过点 A
7、（4，0），l1与 l2交点 C（a，3） （1）求直线 l2的函数表达式； （2）观察图象，当 x 满足 时，y1y2； （3）点 M 为 y 轴上一点，若 MB+MC 的值最小，则点 M 的纵坐标为 ； （4）点 P 在直线 l2上，若满足 SABP2SABC，求点 P 的坐标 27四边形 ABCD 若满足A+C180，则我们称该四边形为“对角互补四边形” （1）四边形 ABCD 为对角互补四边形，且B：C：D2：3：4，则A 的度数为 ； （2）如图 1，四边形 ABCD 为对角互补四边形，BADBCD90，ABAD 求证：AC 平分BCD 小云同学是这么做的：延长 CD 至 M，使得
8、DMBC，连 AM，可证明ABCADM，得到ACM 是等腰直角三角形，由此证明出 AC 平分BCD，还可以知道 CB、CD、CA 三者关系为： ； （3）如图 2，四边形 ABCD 为对角互补四边形，且满足BAD60，ABAD，试证明： AC 平分BCD； CACB+CD； （4）如图 3，四边形 ABCD 为对角互补四边形，且满足ABC60，ADCD，则 BA、BC、BD 三者关系为： 28对于平面直角坐标系 xOy 中的点 A 和点 P，若将点 P 绕点 A 顺时针旋转 90后得到点 Q，则称点 Q 为点 P 关于点 A 的“顺转点”，图 1 为点 P 关于点 A 的“顺转点”Q 的示意图
9、 【知识理解】 （1）已知点 A 的坐标为（0，0），点 P 关于点 A 的“顺转点”为点 Q 若点 P 的坐标为（1，0），则点 Q 的坐标为 ； 当点 P 的坐标为 时，点 Q 的坐标为（2，1）； PAQ 是 三角形； 【知识运用】 （2）如图 2，已知直线 yx+1 与 x 轴交于点 A 点 B 的坐标为（1，0），点 C 在直线 yx+1 上，若点 C 关于点 B 的“顺转点”在坐标轴上，则点C 的坐标为 ； 点 E 在直线 yx+1 上，点 E 关于点 A 的“顺转点”为点 F，则直线 AF 的表达式为 ； 【知识迁移】 （3）如图 3，已知直线 l1：y2x+2 与 y 轴交于点
10、 A，直线 l2经过点 A，l1与 l2在 A 点相交所形成的夹角为 45，则直线 l2的函数表达式为 ； （4）点 A 是平面直角坐标系内一点，点 P（2，0）关于点 A 的“顺转点”为点 B，点 B 恰好落在直线 yx 上当线段 AP 最短时，点 A 的坐标为 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共计分，共计 24 分分.） 14 是 16 的算术平方根 【分析】如果一个非负数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算术平方根，由此即可求出结果 解：4216， 4 是 16 的算术平方根 故答案为：16 2若一直角三角形
11、两直角边长分别为 6 和 8，则斜边长为 10 【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解 解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和， 故斜边长10， 故答案为 10 3|2| 2 【分析】先判断 2的正负值，在根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求出答案 解：20， |2|2 故本题的答案是2 4若等腰ABC 的顶角是 80，则它的底角为 50 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得 解：根据等腰三角形两底角相等， 底角为：（18080）250 故答案为：50 5在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是 （3，2） 【分析】平
12、面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于 x 轴的对称点的坐标是（x，y），据此即可求得点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标 解：点（3，2）关于 x 轴对称， 对称的点的坐标是（3，2） 故答案为（3，2） 6如图，AD 和 CB 相交于点 E，BEDE，请添加一个条件，使ABECDE（只添一个即可），你所添加的条件是 AECE 【分析】由题意得，BEDE，AEBCED（对顶角），可选择利用 AAS、SAS 进行全等的判定，答案不唯一 解：添加 AECE， 在ABE 和CDE 中， ， ABECDE（SAS）， 故答案为：AECE 7一次函数 ykx3 的图象经过点（1，3），则 k 6
13、 【分析】因为一次函数的图象经过点（1，3），所以（1，3）能使 ykx3 左右相等，把点的坐标代入函数关系式可以求得 k 的值 【解答】解；把（1，3）代入 ykx3 中， k（1）33， 解得：k6， 故答案为：6 8如图，在ABC 中，DE 是 AC 的中垂线，AD5，BD2，则 BC 长是 7 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ADCD，然后根据 BCBD+CD 代入数据计算即可得解 解：DE 是 AC 的中垂线， ADCD， BCBD+CDBD+AD2+57 故答案为：7 9如图，在ABC 中，C90，A30，BD 是ABC 的平分线若 AB6，则点 D 到
14、 AB 的距离是 【分析】求出ABC，求出DBC，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 BC，CD，问题即可求出 解：C90，A30， ABC180309060， BD 是ABC 的平分线， DBCABC30， BCAB3， CDBCtan303， BD 是ABC 的平分线， 又角平分线上点到角两边距离相等， 点 D 到 AB 的距离CD， 故答案为： 10如图，直线 yka+b 与直线 yx 相交于点 A，则关于 x 的不等式xkx+b 的解集为 x1 【分析】以两函数图象交点为分界，直线 yx 在直线 ykx+b 的下方时，x1 解：把 y1 代入 yx 得，x1， 根据图象可得：关于
15、x 的不等式xkx+b 的解集为：x1， 故答案为：x1 11如图，等边ABC，AC3，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，将CDE 沿 DE 折叠得到FDE，点 F 恰好落在边 AB 上，且 BF2AF，连接 CF，则 CF 长为 【分析】过 F 作 FHBC 于 H，根据ABC 是等边三角形，得B60，ABBCAC3，又 BF2AF，故 BFAB2，在 RtBFH 中，可得 BHBF1，FHBH，即有 CHBCBH2，在 RtCFH 中，CF 解：过 F 作 FHBC 于 H，如图： ABC 是等边三角形， B60，ABBCAC3， BF2AF， BFAB2， 在 RtBFH 中，BFH
16、90FBH30， BHBF1，FHBH， CHBCBH312， 在 RtCFH 中，CF， 故答案为： 12 已知点 P 在直线 l： ykx3k （k0） 上， 点 Q 的坐标为 （0， 4） ， 则点 Q 到直线 l 的最大距离是 5 【分析】直线 l 一定过点 P（3，0），过点 Q 作直线 l 的所有垂线中，PQ 是点 Q 到直线 l 的最大距离，利用勾股定理求得 PQ 的长即可求得结论 解：直线 l：ykx3kk（x3）， 直线 l 一定过点（3，0）， 点 P 在直线 l：ykx3k（k0）上， P（3，0）， 过点 Q 作直线 l 的所有垂线中，PQ 是点 Q 到直线 l 的最大
17、距离， 点 Q 的坐标为（0，4）， PQ5， 点 Q 到直线 l 的最大距离是 5， 故答案为：5 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13下列各数中的无理数是（ ） A B C2 D 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项 解：A，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C2 是无理数，故本选项符合题意； D是分数，属于有理数，故本选项不合
18、题意； 故选：C 14在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为（2，3），则它位于第几象限（ ） A一 B二 C三 D四 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可 解：点 P 坐标为（2，3），则它位于第四象限， 故选：D 15一次函数 y3x2 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据一次函数的性质容易得出结论 解：解析式 y3x2 中，30，20， 图象过二、三、四象限 故选：A 16A、B 两地相距 20 千米，甲、乙两人都从 A 地去 B 地，图中 l1和 l2分别表示甲、乙两人所走路程 s（千米）与时间 t（小时）之间的关系下列说法错误的是（ ）
19、A乙晚出发 1 小时 B乙出发 3 小时后追上甲 C甲的速度是 4 千米/小时 D乙先到达 B 地 【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决 解：由图象可得， 乙晚出发 1 小时，故选项 A 正确； 乙出发 312 小时追上甲，故选项 B 错误； 甲的速度是 1234（千米/小时），故选项 C 正确； 乙先到达 B 地，故选项 D 正确； 故选：B 17如图，ABCADC90，BAD70，点 E 是 AC 的中点则EBD 的度数为（ ） A20 B35 C40 D55 【分析】根据已知条件得到点 A，B，C，D 在以 E 为圆心，AC 为直径的同一个圆上，根
20、据圆周角定理得到DEB140， 根据直角三角形的性质得到 DEBEAC， 根据等腰三角形的性质即可得到结论 解：连接 DE， ABCADC90，点 E 是 AC 的中点， 点 A，B，C，D 在以 E 为圆心，AC 为直径的同一个圆上， BAD70， DEB2BAD140， DEBEAC， EBDEDB20， 故选：A 18在ABC 中，ABAC，BAC45，边 AC、BC 上的高 BE、AD 交点 F若 BD，则 AF 的长为（ ） A1 B C D2 【分析】根据等腰三角形的性质得出 BC，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可 解：ABAC，ADBC， BDDCBC， BD， BC2，
21、BEAC，BAC45， BEAE， C+EAF90，C+EBC90， EAFEBC， 在EAF 和EBC 中， ， EAFEBC（ASA）， AFBC2， 故选：D 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共计小题，共计 78 分分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，） 19计算： （1）+（）2； （2）+（）2 【分析】（1）利用平方根，立方根的意义和二次根式的性质解答即可； （2）利用平方根，立方根的意义和二次根式的性质解答即可 解：（1）原式33+2 2； （2）原式|6|+（2）4 624 0 20求下
22、列各式中的 x 值： （1）2x2500； （2）（x+2）364 【分析】（1）根据平方根的定义解决此题 （2）根据立方根的定义解决此题 解：（1）2x2500， 2x250 x225 x5 （2）（x+2）364， x+24 x6 21已知：点 B、E、C、F 在一条直线上，ABDE，ACDF，BECF求证：ABCDEF 【分析】先利用平行线的性质得到BDEF，ACBF，再证明 BCEF，然后根据“ASA”可判断ABCDEF 【解答】证明：ABDE， BDEF， ACDF， ACBF， BECF， BE+ECCF+EC， 即 BCEF， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（ASA）
23、 22若一次函数 ykx+b 的图象平行于直线 yx+2，且经过点（2，0） （1）试求 k、b 的值； （2）求一次函数 ykx+b 的图象与坐标轴围成的三角形的面积 【分析】（1）根据两平行直线的解析式的 k 值相等求出 k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求出b 值，即可得解； （2）首先求得函数 y3x+3 与 x 轴、y 轴的交点坐标，进一步利用三角形的面积求得答案即可 解：（1）一次函数 ykx+b 的图象平行于直线 yx+2， k1， yx+b， 把点（2，0）代入得，0（2）+b， 解得 b2， k1，b2； （2）k1，b2， 一次函数的解析式为 yx2， 函数 yx2 与
24、 x 轴、y 轴的交点分别为（2，0）和（0，2）， 所围成的三角形的面积222 23如图，在ABC 中，ACB90，AC3，BC4 （1）作线段 AB 的垂直平分线交 BC 于点 P，连接 AP（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求线段 BP 的长 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图； （2）根据线段垂直平分线的性质可得 APBP，然后根据勾股定理即可解决问题 解：（1）如图，点 P 即为所求； （2）由（1）知：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， APBP， 在ABC 中，ACB90，AC3，BC4 PCBCBP4BP， 在 RtACP 中，根据勾股定理
25、，得 AP2AC2+PC2， BP232+（4BP）2， 解得 BP 线段 BP 的长为 24如图，ABC 中，ACB90，ACBC，延长 AB 到 D，使得 DBAB，连接 CD，以 CD 为直角边作等腰 RtCDE，其中DCE90，连接 BE （1）猜想线段 BE 与 AD 的数量和位置关系，并说明理由； （2）若 ACcm，则 BE 4 cm，DE 2 cm 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到 CDCE，CACB，然后利用“SAS”可判断ACDBCE；根据全等三角形的性质得到12，而34，然后根据三角形内角和定理即可得到EBDECD90； （2）根据全等三角形的性质得到 ADBE
26、，而 DBAB2cm，所以 BE4cm；在 RtDBE 中，利用勾股定理求出 DE 的长 解：（1）BEAD 且 BEAD理由如下： ACB 和DCE 都是等腰直角三角形， CDCE，CACB， ACB90，DCE90， ECD+DCBDCB+ACB，即ECBACD， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS）； 1BEC， 而34， EBDECD90， BEAD 且 BEAD （2）若 ACBCcm， AB2（cm）， ACDBCE， ADBE， DBAB2cm， BE224（cm）， 在 RtDBE 中， DE（cm） 故答案为 4，2 25某容器有一个进水管和一个出水管，从某时
27、刻开始的前 4 分钟内只进水不出水，在随后的 8 分钟内既进水又出水，12 分钟后关闭进水管，放空容器中的水已知进水管进水的速度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量 y（升）与时间 x（分钟）之间的关系如图所示 （1）求进水管的进水速度； （2）当 4x12 时，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）关闭进水管后，再经过 8 分钟能放空容器中的水 【分析】（1）根据前 4 分钟的图象即可求出进水管的进水速度； （2）当 4x12 时，设 y 关于 x 的函数关系式为 ykx+b，将（4，20）、（12，30）代入，利用待定系数法即可求出对应的函数关系式； （3）根据题意求出每分钟的出水量
28、，即可得到关闭进水管后，放空容器中的水所需时间 解：（1）根据图象得：每分钟进水 2045（升）； 答：进水管的进水速是每分钟 5 升； （2）当 4x12 时，设 y 关于 x 的函数关系式为 ykx+b， 图象过（4，20）、（12，30）， ，解得， yx+15； （3）由图象可得，每分钟的出水量为（升）， 关闭进水管后，再经过 308 分钟能放空容器中的水， 故答案为：8 26如图，直线 l1的函数表达式为 y13x+3，l1与 x 轴交于点 B，直线 l2：y2kx+b 经过点 A（4，0），l1与 l2交点 C（a，3） （1）求直线 l2的函数表达式； （2）观察图象，当 x 满
29、足 x2 时，y1y2； （3）点 M 为 y 轴上一点，若 MB+MC 的值最小，则点 M 的纵坐标为 （0，1） ； （4）点 P 在直线 l2上，若满足 SABP2SABC，求点 P 的坐标 【分析】（1）由直线 l1的解析式求得 C 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 l2的函数表达式； （2）观察图象即可求得； （3）作出 B 关于 y 轴的对称点 B（1，0），连接 BC，交 y 轴于点 M，此时，MB+MC 的值最小，利用待定系数法求得直线 BC 的解析式，进而即可求得 M 的坐标； （4）根据题意求得 P 的纵坐标，代入 yx6 即可求得横坐标 解：（1）直线 l1：y13
30、x+3 过点 C（a，3）， 33a+3， a2， C（2，3）， 直线 l2：y2kx+b 经过点 A（4，0），C， ，解得， 直线 l2的函数表达式为 yx6； （2）观察图象，当 x 满足 x2 时，y1y2； 故答案为：x2； （3）在直线 l1：y13x+3 中，令 y0，则3x+30， x1， B（1，0）， B 关于 y 轴的对称点 B（1，0）， 连接 BC，交 y 轴于点 M，此时，MB+MC 的值最小， 设直线 BC 的解析式为 ymx+n， 则，解得， 直线 BC 的解析式为 yx1， 当 x0 时，y1， M（0，1）； 故答案为：（0，1）； （4）点 A（4，0）
31、，B（1，0），C（2，3）， AB413， SABC， SABP2SABC， SABP9， |yP|6， yP6， 当 y6 时，代入 yx6 得，6x6， 解得 x8， P（8，6）； 当 y6 时，代入 yx6 得，6x6， 解得 x0， P（0，6）， 综上，点 P 的坐标为（8，6）或（0，6） 27四边形 ABCD 若满足A+C180，则我们称该四边形为“对角互补四边形” （1）四边形 ABCD 为对角互补四边形，且B：C：D2：3：4，则A 的度数为 90 ； （2）如图 1，四边形 ABCD 为对角互补四边形，BADBCD90，ABAD 求证：AC 平分BCD 小云同学是这么做
32、的：延长 CD 至 M，使得 DMBC，连 AM，可证明ABCADM，得到ACM 是等腰直角三角形， 由此证明出 AC 平分BCD， 还可以知道 CB、 CD、 CA 三者关系为： CD+BCAC ； （3）如图 2，四边形 ABCD 为对角互补四边形，且满足BAD60，ABAD，试证明： AC 平分BCD； CACB+CD； （4）如图 3，四边形 ABCD 为对角互补四边形，且满足ABC60，ADCD，则 BA、BC、BD 三者关系为： BC+ABBD 【分析】（1）根据对角互补，求解即可； （2）由题意可得 ACAM，BCDM，CMAC，即可得 CMCD+BCAC； （3）延长 CD 至
33、 M，使 DMBC，连接 AM，证明ABCADM（SAS），可确定ACM 是等边三角形，在求出ACBACM，即可证明； 由直接可证明； （4）延长 BC 至 M，使 CMAB，连接 DM，证明ADBCDM（SAS），结合已知可求MDBM30， 过点 D 作 DNBM 交于点 N， 则有 BM2MN，BMBD，再由 BMBC+CMBC+ABBD 即可求解 解：（1）四边形 ABCD 为对角互补四边形， B+D180， B：C：D2：3：4， B18060， C90， A90， 故答案为：90； （2）ABCADM， ACAM，BCDM， ACM 是等腰直角三角形， CMAC， CMCD+DM，
34、CMCD+BCAC， 故答案为：CD+BCAC； （3）延长 CD 至 M，使 DMBC，连接 AM， 四边形 ABCD 为对角互补四边形， B+ADC180， ADMB， ABAD， ABCADM（SAS）， ACAM，BACCAM， BAD60， CAM60， ACM 是等边三角形， ACMM60， ACBM， ACB60， ACBACM， AC 平分BCD； ACCM，BCDM， CMCD+DMCD+BC， ACCD+BC； （4）延长 BC 至 M，使 CMAB，连接 DM， 四边形 ABCD 为对角互补四边形， A+BCDBCD+DCM180， ADCM， ADCD， ADBCDM（
35、SAS）， BDMD，ADBCDM， ABC60， ADC120， BDM120， MDBM30， 过点 D 作 DNBM 交于点 N， N 为 BM 的中点， BM2MN， 在 RtDNM 中，MNDMBD， BMBD， BMBC+CMBC+ABBD， 故答案为：BC+ABBD 28对于平面直角坐标系 xOy 中的点 A 和点 P，若将点 P 绕点 A 顺时针旋转 90后得到点 Q，则称点 Q 为点 P 关于点 A 的“顺转点”，图 1 为点 P 关于点 A 的“顺转点”Q 的示意图 【知识理解】 （1）已知点 A 的坐标为（0，0），点 P 关于点 A 的“顺转点”为点 Q 若点 P 的坐
36、标为（1，0），则点 Q 的坐标为 （0，1） ； 当点 P 的坐标为 （1，2） 时，点 Q 的坐标为（2，1）； PAQ 是 等腰直角 三角形； 【知识运用】 （2）如图 2，已知直线 yx+1 与 x 轴交于点 A 点 B 的坐标为（1，0），点 C 在直线 yx+1 上，若点 C 关于点 B 的“顺转点”在坐标轴上，则点C 的坐标为 （1，）或（4，1） ； 点 E 在直线 yx+1 上，点 E 关于点 A 的“顺转点”为点 F，则直线 AF 的表达式为 y2x4 ； 【知识迁移】 （3）如图 3，已知直线 l1：y2x+2 与 y 轴交于点 A，直线 l2经过点 A，l1与 l2在
37、A 点相交所形成的夹角为 45，则直线 l2的函数表达式为 y2x4 ； （4）点 A 是平面直角坐标系内一点，点 P（2，0）关于点 A 的“顺转点”为点 B，点 B 恰好落在直线 yx 上当线段 AP 最短时，点 A 的坐标为 （1，0） 【分析】（1）由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可得 Q（0，1）； 过点 P 作 PEy 轴交于点 E，过点 Q 作 QFy 轴交于点 F，证明APEQAF（AAS），则 EP1，AE2，可求 P 点坐标； 由 APAQ，PAQ90，可判断三角形形状； （2）设点 C 关于点 B 的“顺转点”为 D，当 D 点在 x 轴坐标轴时，BCx 轴，可求 C（
38、1，）；当D 点在 y 轴正半轴时，过点 B 作 HGx 轴，过点 D 作 DGy 轴交 GH 于点 G，过点 C 作 CHy 轴交GH 于点 H，证明BDGCBH（AAS），可得 C 点纵坐标为1，则可求 C（4，1）； 设 E（t，t+1），过点 A 作 GHx 轴，过点 E 作 EGGH 交于点 G，过点 F 作 FHGH 交于点 H，先证明AGEFHA（AAS），可得 F（t1，t2），再求设直线 AF 的解析式为 y2x4； （3） 设 l1与 x 轴的交点为 B， l2与 x 轴的交点为 C， 过点 C 作 CDl1交于点 D， 由 tanBCDtanBAO，可得 CD2BD，再由
39、+BD2BD，求出 BDCD2，BC5，求出 C（6，0），再求直线AC 的解析式为 yx+2； （4）设点 A（x，y），B（m，m），过点 A 作 MNx 轴，过点 P 作 PNx 轴交 MN 于点 N，过点 B作 MBx 轴交 MN 于点 M，证明ABMPAN（AAS），由 ANMB，AMPN，求出 x1，则 AP1，当 AP 最短时 A（1，0） 解：（1）A（0，0），P（1，0），点 P 关于点 A 的“顺转点”为点 Q， APAQ，PAQ90， Q（0，1）， 故答案为：（0，1）； 如图 1，过点 P 作 PEy 轴交于点 E，过点 Q 作 QFy 轴交于点 F， PAQ90，
40、 EPA+FAQ90， EPA+EAP90， FAQEAP， APAQ， APEQAF（AAS）， AFEP，AEFQ， Q（2，1）， AF1，FQ2， EP1，AE2， P（1，2）， 故答案为：（1，2）； APAQ，PAQ90， PAQ 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角； （2）设点 C 关于点 B 的“顺转点”为 D， 当 D 点在 x 轴坐标轴时，BCx 轴， B（1，0），点 C 在直线 yx+1 上， C（1，）； 如图 2，当 D 点在 y 轴正半轴时， 过点 B 作 HGx 轴，过点 D 作 DGy 轴交 GH 于点 G，过点 C 作 CHy 轴交 GH 于点 H，
41、DBC90， DBG+CBH90， DBG+GDB90， CBHGDB， BDBC， BDGCBH（AAS）， DGBH，BGCH， B（1，0）， DGBH1， C 点纵坐标为1， 点 C 在直线 yx+1 上， C（4，1）； 综上所述：C 点坐标为（1，）或（4，1）； 故答案为：（1，）或（4，1）； 如图 3，设 E（t，t+1）， 过点 A 作 GHx 轴，过点 E 作 EGGH 交于点 G，过点 F 作 FHGH 交于点 H， EAF90， EAG+HAF90， GAE+GEA90， HAFGEA， AEAF， AGEFHA（AAS）， AGHF，GEAH， A（2，0）， GE
42、t+2AH，AGt+1HF， F（t1，t2）， 设直线 AF 的解析式为 ykx+b， ， ， y2x4， 故答案为：y2x4； （3）令 x0，则 y2， A（0，2）， 如图 4，设 l1与 x 轴的交点为 B，l2与 x 轴的交点为 C，过点 C 作 CDl1交于点 D， B（1，0）， BAC45， ACD45， ADCD， 在 RtAOC 中，OAB+ACO45， BCDAOB， tanBAO， ， CD2BD， AB， +BD2BD， BD， CD2， BC5， OC6， C（6，0）， 设直线 AC 的解析式为 ykx+b， ， ， yx+2， 故答案为：y2x4； （4）设点 A（x，y），B（m，m）， 如图 5，过点 A 作 MNx 轴，过点 P 作 PNx 轴交 MN 于点 N，过点 B 作 MBx 轴交 MN 于点 M， PAB90， MAB+NAP90， MAB+MBA90， NAPMBA， ABAP， ABMPAN（AAS）， ANMB，AMPN， yxm，2xy+m， x1， A（1，y）， AP1， 当 y0 时，AP 最短， A（1，0）， 故答案为：（1，0）
