1、天津市红桥区2022-2023学年高三上期中数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ）A 2B. C. D. 3. 命题“,”否定是（ ）A. ,B. ,C. ,D. ,4. 甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为（ ）A. 0.72B. 0.27C. 0.26D. 0.985. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不必要也不充分条件6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 7. 已知，则曲
2、线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 8. 当时，函数取得最大值，则（ ）A. B. C. 2D. 49. 如图，在四边形中，则的值为A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 已知是虚数单位，若为纯虚数，则实数值为_11. 若幂函数的图像过点，则_.12. 若实数x、y，满足，则的最小值为_.13. 已知向量，向量，则_.14. 展开式中常数项是_.15. 已知e为自然对数的底数，对任意的x10，1，总存在唯一的x21，1，使得x1+1+a=0成立，则实数a的取值范围是_.三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或
3、演算步骤.16. 在中，角的对边分别为.(1) 若，求的值；(2) 若，求值17. 已知函数.（1）求的最小正周期及单调区间；（2）求在区间上的最大值与最小值.18. 已知公差不为0的等差数列的首项为2，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.19. 已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,.（1）求数列的通项公式（2）记,求数列的前项和.20. 已知函数讨论函数的单调性；设，对任意的恒成立，求整数的最大值.天津市红桥区2022-2023学年高三上期中数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C
4、. D. 【答案】A【解析】【分析】先求解集合中的二次不等式，结合交集定义，即得解.【详解】由题意，故.故选：A2. 已知函数，则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入解析式求解即可.【详解】，则.故选：B.3. 命题“,”的否定是（ ）A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定,只否定结论,不否定条件,全称变特称,特称变全称,选出答案.【详解】解:由题知,命题“,”的否定是.故选:C4. 甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为（ ）A. 0.72B. 0.27
5、C. 0.26D. 0.98【答案】D【解析】【分析】“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，结合二人投篮相互独立，计算即得解.【详解】由题意“至少一人命中”可分为三种情况：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，记“至少一人命中”为事件，由甲、乙二人投篮相互独立，则.故选：D5. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不必要也不充分条件【答案】B【解析】【分析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果【详解】，但不能推出，“”是“”的必要不充分条件，故选：B6. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】
6、B【解析】【分析】根据对数函数的单调性判断即可.【详解】，综上，故选：B7. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求导，可得，再求解，结合直线方程的点斜式即得解.【详解】由题意，故，且，故切线方程为：，即.故选：D8. 当时，函数取得最大值，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】由得，再由在处取得最大值，分析得，得.【详解】当时，函数取得最大值-2，所以，即，定义域为， 又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以.故选：A.9. 如图，在四边形中，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】
7、【分析】由题意首先求得和的值，然后结合数量积的运算法则可得的值.【详解】由题意可得：，解得：，且：.由可知，故.故选C.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的数量积的计算，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 已知是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】先化简复数为代数形式，再由实部等于零且虚部不等于零即解得参数.【详解】复数为纯虚数，故，且，即.故答案为：.11. 若幂函数的图像过点，则_.【答案】【解析】【分析】设出，代入点，求出，从而求出解析式，从而求出.【详解】设，将代入，解得：
8、，故，.故答案为：-112. 若实数x、y，满足，则的最小值为_.【答案】4【解析】【分析】先对变形，再利用基本不等式求出最小值.【详解】因为，所以，因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立.故答案为：413. 已知向量，向量，则_.【答案】【解析】【详解】 由向量，则，所以.14. 的展开式中常数项是_.【答案】15【解析】【分析】由二项式定理求出通项公式，得到，从而求出常数项.【详解】的展开式的通项公式为：，令，解得：，故.故答案为：1515. 已知e为自然对数底数，对任意的x10，1，总存在唯一的x21，1，使得x1+1+a=0成立，则实数a的取值范围是_.【答案】（，e【解析】【
9、分析】由得，根据题意可得：,且,解出并且验证等号是否成立即可得出答案.【详解】解:由,得,对任意的,总存在唯一的,使得成立,且,解得,又时,存在两个不同实数,因此舍去,的取值范围是.故答案为:.三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 在中，角的对边分别为.(1) 若，求的值；(2) 若，求的值【答案】（1）； （2）.【解析】【详解】分析：（1）利用二倍角公式求得的值，进而利用诱导公式求得的值；（2）先利用余弦定理求得和的关系，进而根据求得，最后利用正弦定理求得的值.详解：（1）若，即，变形可得，即，则，则.(2),由正弦定理可得,.点睛：本题主要
10、考查余弦定理、正弦定理及两角和与差的正弦公式，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17. 已知函数.（1）求的最小正周期及单调区间；（2）求在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）最小正周期为，单调增区间为，单调减区间为. （2）最大值为2，最小值为【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得到，从而利用求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；（2）根据求出，从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为.【小问1详解】因为所以的最小正周
11、期；令，解得：，令，解得：，单调增区间为，单调减区间为，；【小问2详解】已知，所以，当，即时，取得最大值，最大值为2，当，即时，取得最小值，最小值为-1，所以在区间上的最大值为2，最小值为.18. 已知公差不为0的等差数列的首项为2，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)因为，成等比数列，所以，再由为公差不为0的等差数列，设公差为d，代入方程解出d，得到数列通项公式；(2)将第一问通项公式代入，裂项相消法求数列的前n项和.【小问1详解】因为，成等比数列，所以，又为公差不为0的等差数列，设公差为d，则，且，解得，数列的通项
12、公式为；【小问2详解】由(1)，则，设数列的前n项和为可得.19. 已知等比数列的前项和为,公比,且为的等差中项,.（1）求数列的通项公式（2）记,求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得=，又，解得，即可得出通项;（2），利用错位相减法即可得出【详解】（1）由题意，得.又， ，或， ，. （2）由（），知. . . .【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.20. 已知函数讨论函数的单调性；设，对任意的恒成立，求整数的最大值
13、.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）整数的最大值-2【解析】【分析】(1)根据的取值范围，分类讨论的单调性；(2)先考虑特殊情况：，然后分析，借助的单调性以及恒成立对应的最值得到关于的不等式，构建新函数分析新函数的零点与之间的关系，从而求解出的最大整数值.【详解】（1）因为，所以，当 时，在上单调递增，当时，在上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，所以在上递增，在上递减，综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减；（2）当时，则，不满足恒成立若，由（1）可知，函数上递增，在递减所以，又因为恒成立，所以恒成立， 令，所以，所以在上递增，又因为，所以存在唯一的使，当时，当时，所以，所以且，又因为，所以，所以整数的最大值为.【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，难度较难.(1)导函数中含有参数时，在分析函数单调性时要注意是否需要对参数分类讨论；(2)恒成立问题可以通过函数的最值进行分析，根据最值满足的不等式构造新函数，分析出其中参数范围.
