1、浙江省杭州市2022-2023学年高三上期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数，则等于（ ）AB0CD3已知，则在上投影向量为（ ）ABCD4正整数2160的不同正因数的个数为（ ）A20B28C40D505“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响假设海水中某种环境污染物含量P（单位：）与时间t（单位：天）间的关系为：，其中表示初始含量，k为正常数令为之间海水稀释效率，其中，分别表示当时间为和时的污染
2、物含量某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即，分别记为期，期，期，期，则下列哪个时期的稀释效率最高（ ）A期B期C期D期6已知，则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD7设函数，设是公差为的等差数列，则（ ）A0BCD8已知实数x，y满足：，则的值是（ ）A1B2CD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，连接点A和坐标原点O的直线交抛物线准线于点D，则（ ）AF坐标为B最小值为4C一定平行于
3、x轴D可能为直角三角形10四边形是边长为2的正方形，E、F分别为、的中点，分别沿、及所在直线把、和折起，使B、C、D三点重合于点P，得到三棱锥，则下列结论中正确的有（ ）A三棱锥的体积为B面面C三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥中有三组对棱相互垂直D若M为的中点，则过点M的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最小值为11已知函数（ ）A若在区间上单调，则B将函数的图象向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，最小值为C函数在区间上恰有三个极值点，则D关于x的方程在上有两个不同的解，则12已知和都是定义在R上的函数，则（ ）A若，则的图象关于点中心对称B函数与的图象关于关
4、于直线对称C若是不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则D若方程有实数解，则不可能是三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分13的二项展开式中的系数为_14已知圆上恰有2个点到直线距离为2，当r为正整数时，写出一个可能的r的值为_15已知，过点可作曲线的三条切线，则t的范围是_16已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列中，成公差为1的等差数列（）求数列的通项公式；（）求数列的前n项和18锐角中，已知（）求角B；（）若，求的面积S的取值范围19三棱台中，为
5、正三角形，（）求证：；（）若二面角的平面角大小为，且在线段上有点D使得平面平分四面体的体积，求与面所成角的正弦值20某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率（）分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；（）记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；（）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，一般来说
6、在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：21如图，已知M是椭圆的左顶点，过M作两条射线，分别交椭圆于点A，B，交直线于点C，D（）若，求的最小值；（）设，当，求证：直线过定点22已知函数（）讨论函数的单调性；（）若，函数，且，求的取值范围参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号12345678答案BDBCABDB8解：即，令，则，由显然为增函数可知，从而二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求得全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分题号9101112答案BC
7、BCDBCDACD三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分1314写出4，5，6中任何一个1516解：设，则，要使得为常数，则，可得，或，故四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（）易知成等差数列，即，从而（）令，则，可知，即18解：（）易知，可知（）由锐角三角形知可得，从而19（）证明：如图19-1，取中点M，由为正三角形，且，为平行四边形，面，（）由（）可知二面角的平面角即，作，面，面，面面面面，面以O为原点，为z轴，为x轴，平行于为y轴，则，故，可知，设面法向量，则，即，取，由平面平分四面体的体积可知D为中点，即，设与面所成线面角为，从而
8、（）（方法2）如图19-2，平面平分四面体的体积，D为的中点，设与交于点N，则N为的中点，平面，由（）知，为的二面角的平面角，为正三角形，在中，设点D到平面的距离为h，由得：，设与平面所成的角为，则20解：（）设事件C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件D为“乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，所以，（）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，乙员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，所以，所以X的分布列为：X12P0.10.9所以X的数学期望（）由题知，即，即，即，即，即，即21解：（）由可得：，即，即，当且仅当取得（）设，代入可得：，可得，设可得：，同理从而，即，即，从而直线过定点22解：（）易知，当时，在上递减；当时，有正根，且易知当时，递增，当时，递减；综上所述：当时，在上递减；当时，在上递增，在上递减（）由题知：，不妨设，令，则，令，则，易知在上递增，上递减，故，即在递减，从而，即，令，即在递减，在上恒成立，可知，由（）可知有，故
