1、广东省汕头市2023届高三上期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知M，N都是实数，则“”是“”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3. 的值为（ ）A. B. C. D. 4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个不同的素数，其和仍为素数的概率是（ ）A. B. C. D. 5.
2、 已知数列中，则（ ）A. B. C. D. 6. 已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 7. 中国古代数学的瑰宝九章第术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ）A. B. C. D. 8. 已知定义在上函数，满足为奇函数且为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）A. 函数的周期为B. 函数的周期为C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得
3、5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ）.A. 若样本数据，的方差为2，则数据，的方差为4B. 回归方程为时，变量与具有负线性相关关系C. 随机变量服从正态分布，则D. 相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好10. 对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：在区间上为增函数；当时，函数值域也为，则称是函数的一个“递增黄金区间”下列函数中存在“递增黄金区间”的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A. 在区间上有且仅有个不同的零点B. 的最小正周期可能是C.
4、 的取值范围是D. 在区间上单调递增12. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（ ）A. 双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为B. 双曲线的渐近线方程为C. 为定值D. 存在点，使得第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 的展开式中常数项是_14. 已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为_15. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，则的最小值为_.16. 如图，正三棱柱的棱长均为2，点M是侧棱的中点，过与平面垂直的平面与侧面的交线
5、为l，则直线l与直线所成角的余弦值为_四、解答题：本题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 的内角的对边分别为，已知的面积（1）证明：；（2）若，求.18. 已知数列的前项和是，点均在斜率为的直线上. 数列、满足.（1）求数列的通项、；（2）若数列中去掉数列项后，余下的项按原来的顺序组成数列，且数列的前项和为，求.19. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点（1）证明：平面；（2）若三棱锥体积为，求二面角的余弦值20. 新疆棉以绒长品质好产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件
6、，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）；（2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出
7、5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点.（1）求椭圆的方程；（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点.22. 设函数，其中.（）若，讨论单调性；（）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.广东省汕头市2023届高三上期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B.
8、第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限故选B考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.2. 已知M，N都是实数，则“”是“”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】用定义法进行判断.【详解】充分性：取，满足.但是无意义，所以充分性不满足；必要性：当成立时，则有所以.所以必要性满足.故选：B3. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和恒等变换公式即可计算得出结果.【详解】故选：A4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2
9、的偶数都可以表示为两个素数的和”，如.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个不同的素数，其和仍为素数的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得5个数中任取2个数，总可能性，再求得符合题意的可能性，代入概率公式，即可得答案.【详解】由题意得，5个数中任取2个数，可能为（2和3）、（2和5）、（2和7）、（2和11）、（3和5）、（3和7）、（3和11）、（5和7）、（5和11）、（7和11）共10种可能，2个素数之和仍为素数，则可能为（2和3）、（2和5）、（2和11）共有3种可能，所求概率.故选：
10、B5. 已知数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】在等式中，令，可得，则，所以，数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，因为，故，所以，则，因此，.故选：C.6. 已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论.【详解】如图，由知O为BC的中点，又O为的外接圆圆心，又为正三角形，在上的投影向量为.故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，解题
11、的关键是熟练掌握向量的运算法则，本题是基本知识与技能考查题，主要考查了向量运算能力，属于基础题.7. 中国古代数学的瑰宝九章第术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据弧长与半径的关系，将两个弧所对应的半径求出，再根据圆柱的体积公式求出曲池的体积.【详解】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知，因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，所以，因为，所以，所以
12、曲池体积为.故选：D8. 已知定义在上函数，满足为奇函数且为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）A. 函数的周期为B. 函数的周期为C. D. 【答案】C【解析】【分析】推导出，可推导出函数的周期，可判断AB选项的正误；利用函数的周期性和对称性可判断CD选项的正误.【详解】因为函数为奇函数，则，令，则，所以，对任意的，故函数的图象关于点对称，因为函数为偶函数，则，令，可得，所以，对任意的，故函数的图象关于直线对称，所以，所以，则，所以，函数的周期为，AB都错；对任意的，令，可得，的值不确定，C对D错.故选：C.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数的图象关于直线和对称，则
13、函数的周期为；（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.在推导周期时，解答时要注意能够根据抽象函数的性质进行代换，从而推导出函数的周期.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ）.A. 若样本数据，的方差为2，则数据，的方差为4B. 回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系C. 随机变量服从正态分布，则D. 相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好【答案】BD【解析】【分析】根据线性
14、变化后新旧数据方差的关系，线性回归方程的性质，正态分布，相关指数与拟合度的关系判断各选项【详解】A、若样本数据，的方差为2，则数据，的方差为，故A错误；B、回归方程为，可知，则变量与具有负的线性相关关系，B正确；C、随机变量服从正态分布，根据正态分布的对称性，所以，C错误；D、相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此D正确.故选：BD.【点睛】本题考查线性变化后新旧数据方差的关系，回归方程与正负相关性，正态分布的概率，相关指数与拟合程度关系，掌握相应的概念，方法即可求解，属于基础题10. 对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：在区间上为增函数；当时，函数
15、值域也为，则称是函数的一个“递增黄金区间”下列函数中存在“递增黄金区间”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】利用题中定义可判断AB选项；数形结合可判断C选项；利用导数法可判断D选项.【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数，且当时，A不满足条件；对于B选项，函数在区间上单调递增，且当时，即函数存在“递增黄金区间”，B满足条件；对于C选项，假设函数存在“递增黄金区间”，因为函数在区间上单调递增，根据题意可得，所以，、为函数与函数的交点的横坐标，如下图所示：由图象可知，直线与函数的图象有两个公共点，C满足条件；对于D选项，假设函数存在“递增黄金区间”，则，因函数在区间上单
16、调递增，根据题意可得，所以，、为函数与函数的交点的横坐标，事实上，令，其中，则，令可得，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，故，故方程无解，D不满足条件.故选：BC.11. 已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A. 在区间上有且仅有个不同的零点B. 的最小正周期可能是C. 的取值范围是D. 在区间上单调递增【答案】BC【解析】【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.【详解】解：由函数（），令，则，函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，由，得，即，则，即，C正确；对于A，当时，在区间上有且仅有个不同的零点；当时，在区间上有
17、且仅有个不同的零点；故A错误；对于B，周期，由，则，又，所以的最小正周期可能是，故B正确；对于D，又，又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误；故选：BC12. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（ ）A. 双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为B. 双曲线的渐近线方程为C. 为定值D. 存在点，使得【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线C：(a0，b0)的离心率为，分别求得，验证选项B，再由点到直线的距离求出c得双曲线方程，验证A，然后根据斜率公式和点P的坐标，验证选项C，D.【详解】
18、因为双曲线C：(a0，b0)的离心率为，所以，渐近线方程为，故B错误；不妨设双曲线的焦点到的距离为1，即，解得，又，故，所以双曲线方程为，故A正确；因为，设，则，故C正确；，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则 ，所以，所以不存在点P，使得+=1，故错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：根据双曲线的离心率推出，结合斜率公式、渐近线的斜率，是解决CD选项的关键所在，属于中档题.第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 的展开式中常数项是_【答案】481【解析】【分析】首先进行变型，结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.【详解】由得，当时，中的常数项为；当时，中的常数
19、项为；当时，中的常数项是1，故的展开式中常数项为481故答案为：48114. 已知是函数图象上的点，则到直线的最小距离为_【答案】【解析】【分析】分析可知曲线在点处的切线与直线平行，利用导数的几何意义求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线与直线平行，对函数求导得，令，可得，则，此时，点的坐标为，因此，到直线的最小距离为.故答案为：.15. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，利用基本不等式求最小值即可.【详解】根
20、据条件：，因为G是的重心，又M，G，N三点共线，.，当且仅当，即 时取等号成立.的最小值为，故答案为： 【点睛】本题主要考查了基底向量、向量的共线定理性质运用、基本不等式的应用等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.16. 如图，正三棱柱的棱长均为2，点M是侧棱的中点，过与平面垂直的平面与侧面的交线为l，则直线l与直线所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】取，的中点E，F，根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理证明平面平面，由此确定直线l，再确定直线l与直线所成角，解三角形求其大小.【详解】依题意，分别取，的中点E，F，连接，因为正三棱柱的棱长均为2，所以四边形为正方
21、形，由点M是侧棱的中点，得因为平面，所以，所以平面，所以平面平面，所以过点与平面垂直的平面与侧面的交线l即为又因为，可得直线l与直线所成角即与所成的角，在中，所以直线l与直线所成角的余弦值为四、解答题：本题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 的内角的对边分别为，已知的面积（1）证明：；（2）若，求.【答案】(1)证明见解析；(2) 2【解析】【分析】（1）由三角形面积公式，结合题意，得到，化简整理即可得出结论成立；（2）由（1）的结论，结合（2）中数据，得到，再由余弦定理得到，解方程，即可求出结果.【详解】（1）由得 因为，所以，又因为，所以 ，因此（2）由（1
22、）得，所以由余弦定理得，所以，解得 因此，即由（1）得，所以 ，故【点睛】本题主要考查解三角形，熟记同角三角函数基本关系，以及余弦定理即可，属于常考题型.18. 已知数列的前项和是，点均在斜率为的直线上. 数列、满足.（1）求数列的通项、；（2）若数列中去掉数列的项后，余下的项按原来的顺序组成数列，且数列的前项和为，求.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）将点点代入直线的斜率可得数列为等差数列，然后可求出，再根据，作差可求出；（2）根据（1）的结论求分析出数列含有的项 ，最后套用等差和等比数列的求和公式即可.【小问1详解】数列前项和是，点均在斜率为直线上，数列是以首项，为公差的等差数
23、列. 当时，满足上式，故 数列、满足时，两式相减得，满足上式，故. 【小问2详解】设数列中前项中有数列的项，则，即求满足的最大正整数，易得，所以数列中前106项有数列的6项， 所以 19. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，可得，又，可证明平面，可得，又，即得证；（2）建立空间直角坐标系，由，可得，分别求解两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解【详解】（1）证明：底面，平面，由于底面为长方形，而，平面，平面，为的中点，平面，又，平面（
24、2）由题意易知两两垂直，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，可得，设，则有，设平面的法向量，由，则令，则，-由（1）平面，为平面PBC的法向量，设二面角为，由图知二面角为锐角则-所以二面角的余弦值为20. 新疆棉以绒长品质好产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会
25、在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）；（2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.【答案】（1）B类服装单件收益的期望更高 （2）n可取的最大值为3，（元）【解析】【分析】（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；（2）由题知
26、B类服装的销售件数符合二项分布，求出对应，的值，可确定的最大值；先列出这5件衣服总收益关于X的关系式，得，结合化简即可求解.【小问1详解】设A类服装B类服装的单件收益分别为X1元，X2元，则，故B类服装单件收益的期望更高；【小问2详解】由题意可知，.因为，所以当时，n可取的最大值为3.（元），因为，所以（元）.21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点.（1）求椭圆的方程；（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出，之间的等量关系，再结合，间
27、的关系即可求出椭圆的方程；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及已知即可得出，的关系，进而即可得到直线所过的定点坐标.【详解】（1）以线段为直径的圆恰好过椭圆的上下顶点，.，椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得.设点，则，.，且由题意知和必存在，.又，即，整理得，得，即，解得，的方程为.，即，解得.，位于椭圆轴上方，此时直线过轴上的定点.22. 设函数，其中.（）若，讨论的单调性；（）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.【答案】（I）在内单调递增.；（II）（i）见解析；（ii）见解析.【解析】【分析】（
28、I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.【详解】（I）解：由已知，的定义域为，且，因此当时，从而，所以在内单调递增.（II）证明：（i）由（I）知，令，由，可知在内单调递减，又，且，故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则，当时，所以在内单调递增；当时，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，故在内单调递减，从而当时，所以，从而，又因为，所以在内有唯一零点，又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.（ii）由题意，即，从而，即，因为当时，又，故，两边取对数，得，于是，整理得，【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.
