1、专题专题 0505：平面向量平面向量 一、单选题一、单选题 1 （2022 广东湛江 二模）已知向量a，b的夹角的余弦值为13，且2a ，3b r，则aba（ ） A6 B4 C2 D4 2 （2022 广东佛山 二模）ABC中，24ABACB，O 是ABC外接圆圆心，是OC ABCA CB的最大值为（ ） A0 B1 C3 D5 3 （2022 广东梅州 二模）两不共线的向量a，b，满足3ab，且tR ，atbab，则cos, a b （ ） A12 B32 C13 D33 4 （2022 广东茂名 二模）已知向量1,2a ，, 4bm，且aba，则 m 的值为（ ） A2 B2 C4 D4
2、 5 （2022 广东肇庆 二模）已知向量a，b满足2a，3b ，3a b，则ab（ ） A5 B7 C13 D19 6 （2022 广东惠州 二模）在ABC中，60B ，6AB，5BC ，则AB BC（ ） A15 3 B30 C15 D15 7（2022 广东 普宁市华侨中学二模） 已知向量55cos,sin1212a，cos,sin1212b， 那么a b等于 （ ） A12 B32 C1 D0 8 （2022 广东深圳 二模）已知点(0,1), (2,3)AB，向量( 3,1)BC ，则向量AC （ ） A(1, 2) B( 1,2) C(1, 3) D( 1,3) 9 （2022 广
3、东茂名 二模）平面非零向量a，b满足abrr，3aba，则a与b的夹角为（ ） A6 B3 C23 D56 二、多选题二、多选题 10 （2022 广东 二模）如图，已知扇形 OAB的半径为 1，2AOB，点 C、D 分别为线段 OA、OB上的动点，且1CD，点 E为AB上的任意一点，则下列结论正确的是（ ） AOE AB的最小值为 0 BEA EB的最小值为12 CEC ED的最大值为 1 DEC ED的最小值为 0 三、填空题三、填空题 11 （2022 广东广州 二模）已知,a b是两个单位向量，2cab，且bc，则aab_ 12 （2022 广东 珠海市第三中学二模） 已知向量a，b夹
4、角为45， 且1a，210ab； 则b _ 13 （2022 广东茂名 二模）已知向量a （t，2t） ，b（t，1） ，若（ab）（a+b） ，则 t_ 14 （2022 广东韶关 二模）在正三角形 ABC中，D是边 BC 上的点若3,2ABBD，则 AB AD_ 15 （2022 广东潮州 二模）设函数 2464xxxf x，点 ,nA n f nnN在 f x图象上，点0A为坐标原点， 设向量1,0i ， 若向量01121nnnaA AAAAA， 且n是nau u r与i的夹角， 则tann的最大值是_ 16 （2022 广东汕头 二模）在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,设BC=2
5、,BD CA=3CE,则AD BE=_. 参考答案参考答案 1A 【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】因为向量a，b的夹角的余弦值为13，且2a ，3b r， 所以2221cos,2 3 ()263abaa baaba ba ， 故选：A 2C 【分析】根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出|CA的最大值即可计算作答. 【详解】过点 O作,ODAC OEBC，垂足分别为 D，E，如图，因 O是ABC外接圆圆心，则 D，E 分别为 AC，BC的中点， 在ABC中，ABCBCA，则222|2ABCACBCA CB，即22|22CACBCA CB
6、， 21|cos|2CO CACO CAOCACD CACA，同理21|2CO CBCB， 因此，OC ABCA CBOCCBCACA CBCO CA CO CBCA CB 2222211|2|1222CACBCACBCA， 由正弦定理得：|sin2sin|2sin2sinsin4ABBBCABACB，当且仅当2B时取“=”， 所以OC ABCA CB的最大值为 3. 故选：C 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 3C 【分析】由atbab两边平方后整理得一元二次
7、不等式，根据一元二次函数的性质可判断0，整理后可知只能为 0，即可解得答案. 【详解】解：由题意得： tR ，atbab tR ，2222222at bta baba b 即222226cos,6cos,0t bt ba bbba b 0b tR ，26 cos,1 6cos,0tta ba b 22136cos,4 6cos,136 cos,03a ba ba b 1cos,03a b，即1cos,3a b 故选：C 4A 【分析】利用向量平行的坐标，即可求解. 【详解】1, 2abm，1,2a ，/ /aba， 212m，解得：2m. 故选：A 5D 【分析】根据向量数量模的计算公式计算即
8、可得答案. 【详解】解：因为2a，3b ，3a b， ， 所以22249619ababa b . 故选：D 6C 【分析】根据向量的数量积的定义计算 【详解】1cos(18060 )6 5 ()152AB BCAB BC 故选：C 7A 【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案. 【详解】55cos,sin1212a，cos,sin1212b， 551coscossinsincos1212121232a b. 故选：A. 8D 【分析】由向量的减法和向量的坐标运算即可求出答案. 【详解】设,C x y，所以 ( 3,1)2,3BCxy ，整理得：1,4C ，所以 1,40,1
9、1,3AC . 故选：D. 9C 【分析】将3aba两边平方，根据数量积的运算求得答案. 【详解】因为3aba，所以22223aa bba ， 所以212a ba ，又| | cosa baba b 则1cos2a b ，而0, a b ，所以a b 23， 故选：C 10BCD 【分析】以O为原点建立如图所示的直角坐标系，得01 ，B，10，A，设EOA，则cossin0,2，E，求出2sin4AB OE，利用的范围可判断 A； 求出EA、EB的坐标，由12sin4 EA EB，利用的范围可判断 B；设,00,1C tt，可得20, 1Dt，求出EC、ED，由EC ED1 sin ，利用 t
10、、，的范围可判断 CD. 【详解】 以O为原点建立如图所示的直角坐标系，所以01 ，B，10，A， 设EOA，则cossin0,2，E，cossin，OE， 11 ， AB，所以sincos2sin4AB OE， 因为0,2，所以,44 4 ，所以22sin,422 ， 所以1,1 AB OE，OE AB的最小值为1，故 A 错误； 1 cos , sinEA，cos ,1 sin EB， 所以22coscossinsin12sin4 EA EB， 因为0,2，所以3,444，所以2sin,142， 所以12sin12,04，12,0EA EB， EA EB的最小值为12，故 B 正确； 设,
11、00,1C tt，又1CD，所以21ODt，可得20, 1Dt， cos , sinECt，2cos , 1sin EDt， 所以2222coscos1sinsin1cos1sin EC EDtttt 1 sin ，其中2cos1,sintt， 又0,1t，所以cos ,sin0,1，所以0,2，0,， sin0,1，sin1,0 ，所以0,1EC ED， EC ED的最小值为 0，故 CD 正确. 故选：BCD. 1112#0.5 【分析】根据给定条件，结合垂直关系的向量表示求出a b，再利用数量积的运算律计算作答. 【详解】,a b是两个单位向量，2cab，且bc，则2(2)20b cba
12、ba bb ，解得12a b rr， 所以212aabaa b. 故答案为：12 122 【分析】把已知式子两边平方，结合数量积的定义可得关于b的一元二次方程，解方程可得 【详解】1 210aab， 2(2)ab=2244aa bb =10， 代入数据可得 4 1+4 1b22+2|b=10， 化简可得2|b+2 2 b6=0， 解得b=2，或32（负数舍去） 故答案为2 【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及数量积和向量的夹角，属基础题 1312 【分析】由（ab）（a+b） ，由垂直向量的坐标运算可得出abrr，再由模长的公式即可求出t. 【详解】因为（ab）（a+b） ，所以 0abab，
13、 所以220ab，则abrr，所以22241ttt，所以12t . 故答案为：12 146 【分析】由题意可得 D 是 BC 的三等分点，从而可得1233ADACCDABAC，进而可求出AB AD的值， 【详解】因为正三角形 ABC中，D是边 BC 上的点，3,2ABBD， 所以 D是 BC的三等分点， 所以11()33CDCBABAC， 所以1233ADACCDABAC, 所以2121263333AB ADABABACABAB ACuuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r 故答案为：6 15116 【分析】先利用平面向量的线性运算化简nau u r
14、，再利用直线的斜率公式求出tann的表达式，再利用基本不等式求其最值. 【详解】由向量的线性运算，得 011210nnnnaA AAAAAA A， 因为点2,464nnnnAn在函数 2464xxxf x的图象上， 0A为坐标原点，向量1,0i ，n是nau u r与i的夹角， 所以0202464tan0464nnnnnA Annkn 11164162 6422nn， （当且仅当6422nn，即3n时取等号） ， 即tann的最大值是116 故答案为：116. 1614 【详解】试题分析：因为2BCBD，所以D为BC的中点即12ADABAC，3CACE， 112333BEBCCEBCCAACABACACAB， 221211111112332632124AD BEABACACABACABAB AC 考点：向量线性运算与数量积的几何运算.
