1、专题09：解析几何一、单选题1（2022广东茂名一模）过三点A（0，0），B（0，2），C（2，0）的圆M与直线的位置关系是（）A相交B相切C相交或相切D相切或相离2（2022广东惠州一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（）Ay2=2xBy2=4xCy2=6xDy2=8x3（2022广东一模）已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）ABCD4（2022广东广州一模）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，则与的面积之比（）ABCD5（2
2、022广东汕头一模）点在圆上运动，直线分别与轴、轴交于、两点，则面积的最大值是（）ABCD6（2022广东深圳一模）已知椭圆C：，圆M：，若圆M的圆心在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（）ABC或D7（2022广东广东一模）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则点F到直线PO的距离为（）ABCD8（2022广东韶关一模）在椭圆与椭圆中，下列结论正确的是（）A长轴长相等B短轴长相等C焦距相等D离心率相等二、多选题9（2022广东茂名一模）已知抛物线C:的焦点为，准线为，P是抛物线上第一象限的点，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（）A点P的坐标为（4，4）BC
3、D过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则直线的方程为：10（2022广东茂名一模）已知点A是圆C:上的动点，O为坐标原点，且,，三点顺时针排列，下列选项正确的是（）A点的轨迹方程为B的最大距离为C的最大值为D的最大值为11（2022广东一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，（且）满足，则下列结论中正确的是（）A时，B时，的最小值为9C时，D时，的最小值为812（2022广东湛江一模）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（）A点M到直线l的距离为定值B以为直径的圆与l相
4、切C的最小值为32D当最小时，13（2022广东广州一模）已知直线与圆，则（）A直线与圆C相离B直线与圆C相交C圆C上到直线的距离为1的点共有2个D圆C上到直线的距离为1的点共有3个14（2022广东深圳一模）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，则（）ABCD15（2022广东广东一模）下列说法正确的是（）A已知直线与平行，则k的值是3B直线与圆的位置关系为相交C圆上到直线的距离为的点共有3个D已知AC、BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为10
5、三、填空题16（2022广东茂名一模）双曲线的离心率等于_.17（2022广东惠州一模）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的标准方程可以是_.（写出一个正确的方程即可.）18（2022广东湛江一模）已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是_.19（2022广东汕头一模）已知双曲线，为C的两条渐近线，过C的右焦点F作的垂线，垂足为A，且该垂线交于点B，若，则曲线C的离心率_.20（2022广东深圳一模）在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_21（2022广东广东一模）已知椭圆，点在直线（c为椭圆的半焦距）上，过
6、点P且斜率的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为_22（2022广东韶关一模）双曲线的左右顶点分别为，过点的直线交该双曲线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，已知轴时，则双曲线的离心率_；若点在双曲线右支上，则的取值范围是_.四、解答题23（2022广东茂名一模）已知椭圆C：的左焦点为，且过点（1，）.(1)求椭圆C的方程；(2)过且互相垂直的两条直线，分别交椭圆C于A、B两点和 M、N两点，求的取值范围.24（2022广东惠州一模）已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.(1)求椭圆C2的方程；(2)如图，若直线l与x轴
7、，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且PF1Q与PF1R互为补角，求F1QR面积S的最大值.25（2022广东一模）已知椭圆，其右焦点为，点M在圆上但不在轴上，过点作圆的切线交椭圆于，两点，当点在轴上时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)当点在圆上运动时，试探究周长的取值范围.26（2022广东湛江一模）已知双曲线的离心率是，实轴长是8.(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.27（2022广东广州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M满足直线AM与直
8、线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知点，直线与x轴交于点D，直线AM与交于点N，是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.28（2022广东汕头一模）已知，两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点G满足，动点G的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的A、B两点，总满足，证明：直线l过定点.29（2022广东深圳一模）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，
9、请求出定点坐标；反之，请说明理由30（2022广东广东一模）已知椭圆的左焦点为圆的圆心A(1)求椭圆C的方程；(2)与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆交于M、N两点，过B且与l垂直的直线交圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围31（2022广东韶关一模）已知在平面直角坐标系中，有两定点，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若抛物线与轨迹按顺时针方向依次交于四点（点在第一象限）.求证：直线与直线相交于点；设的面积为S，求S取最大值时的抛物线方程.参考答案1C【分析】求出圆方程，判断直线过的定点(2，2)与圆的关系；利用圆心到直线的距离跟半径比较，可以确定直线与圆的
10、位置关系.【详解】方法一：由题意得，圆M是过原点，以BC为直径的圆，所以圆的方程为：，直线过定点(2，2)，定点在圆上，所以圆与直线的位置关系为相交或相切，所以答案是C.方法二：圆M的圆心为(1，1)，半径为，圆心到直线的距离d为当时，所以直线和圆相交.当时，（当且仅当k=-1时，等号成立）， 所以直线和圆相交或相切当时，则，所以直线和圆相交，所以答案为C故选：C2D【分析】由抛物线的定义可解答.【详解】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，解得，抛物线的标准方程为.故选：D.3B【分析】由为等腰三角形, 且，可得=2c，P点坐标(2c，)，由点在过点且斜率为的直线上，可得，可得
11、e的值.【详解】解：由题意可得双曲线焦点在x轴上,设=2c.为等腰三角形, 且，=2c，可得P点的坐标为（c+2ccos，2csin），即P(2c，)，点在过点且斜率为的直线上，可得，即e=2，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质及应用，得出P点坐标(2c，)后得是解题的关键.4C【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案.【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，设直线AB为， ，不妨设，则，所以，解得：，则，解得：，则，所以，解得：，则直线AB为，所
12、以当时，即，解得：，则，联立与得：，则，所以，其中.故选：C5D【分析】求出以及点到直线的距离的最大值，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】易知点、，则，圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最大值为，所以，面积的最大值是.故选：D.6D【分析】首先求出圆心的坐标，代入椭圆方程，令，则，求出，再根据计算可得；【详解】解：因为圆M：，即圆M：，圆心，因为圆心在椭圆上，所以，即，令，则，即，解得，即，所以离心率；故选：D7D【分析】首先利用焦半径公式求点的坐标，再结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设，解得：，代入抛物线方程得，则，直线的方程式，即，点
13、到直线的距离.故选：D8C【分析】根据椭圆中公式求出椭圆的焦距即可.【详解】设椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，则.故选：C.9ABD【分析】对于A，利用抛物线的定义求解即可，对于B，先求出直线的方程，然后与抛物线方程联求出Q的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果，对于C，由直接求解，或求出原点O到直线的距离，然后利用求解即可，对于D，设，则利用导数的几何意义可求出两条切线方程分别为，从而可求出直线的方程，【详解】对于A，因为，所以由抛物线的定义得，得，所以，且点在第一象限，所以坐标为（4，4），则A正确对于B，的直线方程为：，由与联立得，Q（），由两点距离公式得，则B正确对于C，方法一： 方法二
14、：由B得，原点O到直线的距离为，所以，所以C错误对于D，设，由得，则，MA切线方程为：，即，由得，把点代入得，同理，即两点满足方程：，所以的方程为：，则D正确，故选：ABD10BD【分析】如图，过O点作，设点，利用相关点代入法，可求得轨迹方程为，可判断A；根据点到圆上距离的最值求解，可判断B；设，将向量的数量积表示成关于的函数，可判断C，D；【详解】如图，过O点作则点，设点，设，则，设，所以，所以，即点，因为，设点，可得，解得，因为点在圆上，所以，将代入方程可得，整理可得，所以A是错的，所以的最大距离为，B是对的，设，所以的最大值为2，D是对的.故选：BD11BC【分析】以为抛物线通径，求得的
15、值，判断A; 当时,写出焦半径的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B; 当时,求出的表达式，利用三角函数的知识，可判断C,D.【详解】当时，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，不妨取 ，则，故A错误；当时，此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,则 ，则 ，故 ，令 ，则，令 ，则，当时， ， 递增，当时， ， 递减，故 ，故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；当时，此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,则，即，故，所以，故C正确；由C的分析可知：，当 时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误；故选：BC【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径
16、的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.12BCD【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B;计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.【详解】设， ，直线的方程为，则直线的方程为,将直线的方程代入，化简整理得，则，故,所以，,因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，又，所以，故A错误；因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确；同理，所以，
17、则，当且仅当时等号成立，故C正确；.设，则，.当时，即时，最小，这时，故D正确,故选:BCD.【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.13BD【分析】根据直线与圆的位置关系可判断.【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD14ABD【分析】根据动圆C与圆A和直线l都相切，分圆C与圆A相外切和圆C与圆A相内切，分别取到A的距离为d+1，d-1，且平行于l的直
18、线，利用抛物线的定义求解.【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切，当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；所以，当时，抛物线不完整，所以，故选：ABD15BC【分析】A由直线平行的判定求参数，注意验证是否重合；B根据直线所过的定点与圆的位置关系判断即可；C由圆心到直线的距离与半径的关系即可判断；D设圆心到的距离分别
19、为，则及，结合基本不等式求最大值即可判断.【详解】A：由平行知：，则或，当时有，满足题设，当时有，满足题设，故或，错误；B：由过定点，而在圆内，故它们的关系为相交，正确；C：由题设知：圆的标准方程为，则圆心为，半径为，所以圆心到距离为，易知圆上点到直线距离为的点共有3个，正确；D：设圆心到的距离分别为，则，又相互垂直，所以，而，即当且仅当时等号成立，故，故错误.故选：BC16.【详解】试题分析：.【考点定位】双曲线及其离心率.17【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，确定、的等量关系，可得出双曲线的标准方程.【详解】若双曲线的焦点在轴上，则，此时，则双曲线的方程为，此时双曲线的方程可表示为；
20、若双曲线的焦点在轴上，则，此时，则双曲线的方程为，此时双曲线的方程可表示为.综上所述，双曲线的方程可表示为.故答案为：（可以取具体的数值）.18【分析】设右焦点为，连接，.判断出四边形为矩形.在中，解三角形求出，利用椭圆的定义得到，即可求出离心率.【详解】设右焦点为，连接，.因为，即，可得四边形为矩形.在中，.由椭圆的定义可得，所以，所以离心率.故答案为：.19#【分析】不妨设为，为，则直线的方程为，联立联立，求得点的坐标，联立，求得点的坐标，再根据，得出的齐次式，从而可得出答案.【详解】解：不妨设为，为，过C的右焦点F作的垂线，垂足为A，且该垂线交于点B，则直线的方程为，联立，解得，即，联立
21、，解得，即，则，因为，所以，所以，即，所以，所以，所以.故答案为：.20【分析】根据题意求出点A、B的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出的表达式，利用三角函数的值域即可求出的最大值.【详解】由题意知，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，则，又，所以，有，则，其中，当时，取得最大值，且最大值为.故答案为：21【分析】由题设知光线所在直线为，求其与交点坐标，根据光线反射过左焦点，结合斜率的两点式及在直线上求椭圆参数，进而求椭圆离心率.【详解】由题设，则光线所在直线为，所以光线与的交点为，又光线经反射后通过椭圆的左焦点，所以，可得，又，则，所以椭圆的离心率为.故答案为：22 【分析】当直线
22、轴时，表达出P，Q两点坐标，从而利用斜率之比求出，求出离心率；（2）设出直线，联立方程，得到两根之和，两根之积，表达出，由渐近线方程求出，进而求出的取值范围.【详解】当轴时，所以，从而，所以；由题意知，.设直线的方程为，联立，整理得：又故所以可知，当点在右支运动时，由渐近线方程为可知：，故.故答案为：，23(1)(2)【分析】（1）由题意可得，将点的坐标代入椭圆的方程，即可得到答案；（2）对直线的斜率分两种情况讨论，即当垂直轴，与不垂直轴，结合弦长公式、基本不等式，即可得到答案；（1）由题意可得，.又由所以椭圆的方程为；（2）当垂直轴时，所以.同理：当垂直轴时，当、均不垂直轴时，设的方程为，由
23、，因为与互相垂直，由，当且仅当时，等号成立，所以.综上，的取值范围为24(1)(2)【分析】（1）根据抛物线角点可得椭圆半焦距，结合离心率可解；（2）由题可知，设直线方程，联立椭圆方程消元，利用韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，化简，由基本不等式可得.（1）由题意可得，抛物线的焦点为，所以椭圆的半焦距，又椭圆的离心率，所以，则，即，所以椭圆的方程为.（2）设，与互补，所以，化简整理得，设直线PQ为，联立直线与椭圆方程化简整理可得，可得，由韦达定理，可得，将，代入，可得，再将代入，可得，解得，PQ的方程为，且由可得，即，由点到直线PQ的距离，令，则，当且仅当时，等号成立，所以面积
24、S最大值为.25(1)(2)【分析】（1）由题意可知，再根据列出相应的方程，组成方程组解得答案;（2）设，从而表示出的周长，分类讨论，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，从而结合基本不等式，求得答案.(1)由题意可知，当点M在x轴上时，不妨设，得，解得，所以椭圆C的标准方程为.(2)设，则，同理，同理，所以的周长为，当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为或.PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，此时的周长为4.PQ的方程为时，不妨设P，Q的坐标分别为，此时的周长为.当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，由直线PQ与圆相切，得，即，联立得，化简得，则，易知恒成立，而，即同号，当时，即
25、，此时点M在y轴右侧，所以，此时的周长为定值.当时，即，此时点M在y轴左侧，所以，此时的周长，因为，所以，当且仅当，即或时取等号.从而，所以周长的取值范围为（4，8,综上所述，周长的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时三角形的周长范围问题，综合性很强，难度较大，解答的关键是理清解题的思路，要明确将直线和椭圆方程联立，利用根与系数的关系式进行化简，从而求得三角形周长范围，难点是计算量很大，很繁杂，要十分细心.26(1)；(2)证明见解析，定值为.【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、实轴长的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程
26、根与系数关系、根的判别式进行求解证明即可.（1）依题意得，解得所以双曲线C的方程是.（2）证明：设，直线l的方程为.将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，则，.要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足即解得.由，得，故，所以.又，所以点D的纵坐标为定值.【点睛】关键点睛：利用一元二次不等式的根与系数的关系进行求解是解题的关键.27(1)且；(2)存在，理由见解析.【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C，注意.（2）设、直线AM为，联立曲线C，应用韦达定理求坐标，进而应用表示、，结合二倍角正切公式判断与的数量关系，即可得解.(1)设，则且
27、，所以M的轨迹为曲线C方程为且.(2)设，则直线AM为，联立曲线C得：，整理得：，由题设知：，则，故，又，所以，即，所以存在，使.28(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)根据平面向量的坐标运算可得，结合和两点坐标求距离公式可得，将代入计算即可；(2)设直线l的方程为：、，联立椭圆方程并消去y，根据韦达定理表示出，利用两点求斜率公式求出，结合题意可得，列出关于k和m的方程，化简计算即可.(1)因为，即，所以，则，又，得，即，所以动点G的轨迹方程E为：；(2)由题意知，设直线l的方程为：，则，消去y，得，由，得，直线的斜率为，直线的斜率为，又，所以，即，整理，得，由，化简得，所以，故直线过定点
28、.29(1)(2)以为直径的圆经过定点，定点坐标为和【分析】（1）根据点在双曲线上和点到直线的距离分别建立方程，然后解出方程即可；（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，并表示出以为直径的圆的方程，结合对称性即可求得定点坐标(1)由题意得：因为双曲线C的渐近线方程为，所以有：解得：因此，双曲线C的方程为：(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为由可得：设、，则由：，由直线AM方程，令，得点由直线AN方程，令，得点则以EF为直径的圆的方程为：令，有：将，代入上式，得可得：解得：，或即以EF为直径的圆经过点和；当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为、，以EF为直径的圆方程为，该圆经过
29、点和综合可得，以EF为直径的圆经过定点和30(1)(2)【分析】（1）根据焦点坐标，再结合，即可求得椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，利用弦长公式，分别求和，四边形的面积，求得面积的取值范围，当直线的斜率不存在时，求四边形的面积，最后即可求得四边形MPNQ面积的取值范围(1)圆的圆心A的坐标为，所以圆锥的半焦距，又，所以，椭圆C的方程为(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为，由得则，所以过点且与l垂直的直线，A到m的距离为，所以故四边形MPNQ的面积可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为当l与x轴垂直时，其方程为，四边形MPNQ的面积为12综上，四边形MPNQ的面积的取值范围
30、为31(1)（也可写）(2)证明见解析；【分析】(1)由关系列方程化简可得动点的轨迹的方程；(2)根据圆与抛物线的对称性可得问题的解决等价于证明三点共线，再证明直线的斜率相等即可，求的面积表达式，再利用基本不等式求其最值.(1)据题意，设，则即故为轨迹的方程；（也可写）(2)如图：由圆与抛物线的对称性，四边形是以轴为对称轴的等腰梯形不妨设，在第一象限，则联立消去整理得：（1）据题意，方程（1）有两相异正实根故证明：依据圆与抛物线的对称性，直线与直线的公共点必在轴上，要证直线与直线相交于点，只要证：三点共线；只要证：只要证：只要证：只要证：上式显然成立，且各步可逆，故直线与直线相交于点解法一：当且仅当，即时，此时抛物线方程为解法二：当且仅当，即时，此时抛物线方程为【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题
