1、金华市婺城区二校联考2021-2022学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1. 抛物线y（x8）2+2的顶点坐标是（）A. （2，8）B. （8，2）C. （8，2）D. （8，2）2. “a是实数，”这一事件是A. 必然事件B. 不确定事件C. 不可能事件D. 随机事件3. 将函数的图像先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得函数图像的表达式是（ ）A. B. C. D. 4. 四边形ABCD内接于，则的度数是（ ）A B. C. D. 5. 在和中，如果的周长为24，面积为18，则的周长、面积分别是（ ）A. 8，6B. 8，2C. ，6D.
2、 ，26. 如图，内接于O，BD是的直径，BD交AC于点E，连接CD，则等于（ ）A. B. 90C. 110D. 1207. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tanBOD的值是（）A B. C. D. 8. 如图中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ：CQ3：1，则AP：PR（）A 4：3B. 4：7C. 3：4D. 3：79. 过O外一点P作O的两条切线PA、PB，切点为A和B，若AB=8，AB的弦心距为3，则PA的长为( )A. 5B. C. D. 810. 如图，正方形边长为，分别为线段，
3、上一点，且，与相交于，为线段上一点（不与端点重合），为线段上一点（不与端点重合），则的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：（每题4分，共24分）11. 如果3a4b（a、b都不等于零），那么_12. 在一个不透明的盒子中有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数_13. 如图，点P在ABC边AC上，请你添加一个条件，使得ABPACB，这个条件可以是_14. 已知（1，），（3，）是函数图象上的点，则，的大小关系是 _15. 已知点P为平面内一点，若点P到O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则O的半径为_16. 图1是一
4、种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，已知，当，F在同一水平高度上时，135，则_；为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至，如图3所示，则为_三、解答题（本大题有7小题，共66分）17. 计算：18. 小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少?（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是-红一黑，则小李获胜：若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平19. 如图，一艘轮船位于
5、灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（参考数据：2.449，结果保留整数）20. 如图，在66的正方形网格中，部分网格线被擦去点A，B，C在格点上（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形ABC的重心P；（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形ABC的外心Q；（3）请用无刻度的直尺在图3中找到三角形ABC的内心R（以上画图，要用虚线画出交点）21. 如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DFAC，垂足为点F（1）求证：直线DF是O的切
6、线；（2）求证：；（3）若O的半径为2，CDF20，求阴影部分的面积22. 正方形ABCD边长为6，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直（1）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（2）当M点运动到什么位置时，RtABMRtAMN，求此时x的值23. 定义：若抛物线yax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线（1）判断抛物线yx2+2x3是否是定弦抛物线，请说明理由；（2）当一定弦抛物线的对称轴为直线x1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图
7、形是直角三角形，求该抛物线的表达式；（3）若定弦抛物线yx2+bx+c（b0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2x4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值24. 在矩形ABCD中，AB4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE（1）如图，当AD4，点P是CD的中点时，求tanEBA的值：（2）当AD2时若DPE与BPE相似，求DP的长若PEF是等腰三角形，求DE长金华市婺城区二校联考2021-2022学年九年级上期中数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1. 抛物线y（
8、x8）2+2的顶点坐标是（）A. （2，8）B. （8，2）C. （8，2）D. （8，2）【答案】B【解析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标【详解】因为y（x8）2+2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（8，2）故选B【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法2. “a是实数，”这一事件是A. 必然事件B. 不确定事件C. 不可能事件D. 随机事件【答案】A【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，结合乘方的意义可判断它们分别属于哪一种类别.【详解】a为实数，该事件一定成立，是必然事件故选A【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念用到的知识点为
9、：确定事件包括必然事件和不可能事件必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件3. 将函数图像先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得函数图像的表达式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据二次函数图象的平移规律进行解答即可【详解】解：函数y=4x2的图象向左平移2个单位，得：y=4（x+2）2；再向下平移3个单位，得：y=4（x+2）2-3；故选：C【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式4. 四边形ABC
10、D内接于，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可【详解】四边形ABCD内接于，故选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键5. 在和中，如果的周长为24，面积为18，则的周长、面积分别是（ ）A. 8，6B. 8，2C. ，6D. ，2【答案】B【解析】由，可得，可得，由，可证 ，由性质，由CABC=24，可求，由性质，由SABC=18，可求即可【详解】解: ，又， ，CABC=24，SABC=18，则的周长、面积分别是8；2故选择：B【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质
11、是解题关键6. 如图，内接于O，BD是的直径，BD交AC于点E，连接CD，则等于（ ）A. B. 90C. 110D. 120【答案】D【解析】根据三角形内角和定理和圆周角定理求解即可；【详解】，BD是圆O的直径，；故答案选D【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形内角和，准确计算是解题的关键7. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tanBOD的值是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将线段AB向下平移一格，通过平行线的性质转移BOD，根据平移后的图形即可很容易得到答案【详解】将线段AB向下平移一格（如下图所示），则
12、AB/EFBOD=DCF在RtCDF中，tanDCF=tanBOD=故选：B【点睛】本题考查了通过平移，利用平行线的性质转移角，在网格中直接求解锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键8. 如图中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ：CQ3：1，则AP：PR（）A. 4：3B. 4：7C. 3：4D. 3：7【答案】C【解析】利用“平行线法”证得ADQRCD，则对应边成比例：；同理，证得 ADP RBP，则，即【详解】解：如图， 在中，且ADBC， ADQ RCQ， ，即3， RCAD，同理， ADP RBP，则，即， ，即AP：PR3：4故选：C【点睛】本题考查了
13、相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等；角：平行四边形的对角相等；对角线：平行四边形的对角线互相平分9. 过O外一点P作O的两条切线PA、PB，切点为A和B，若AB=8，AB的弦心距为3，则PA的长为( )A. 5B. C. D. 8【答案】B【解析】如图：连接OA，OB，利用切线长定理和勾股定理可证明RtAOCRtPOA后求解【详解】如图：连接OA，OB，PA、PB为O的切线，OAAP，OBBP，PA=PB，故PCAB，且AC=BC=AB=8=4，OC=3，由勾股定理得OA=5，1+2=90，2+OAB=90，OAB=1，在RtAOC与RtPOA中
14、，OAB=1，2=2，RtAOCRtPOA，故，即PA=，故选B.【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.10. 如图，正方形边长为，分别为线段，上一点，且，与相交于，为线段上一点（不与端点重合），为线段上一点（不与端点重合），则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作点E关于AC的对称点K，EI+IJ=KI+KJ，当EJDF时有最小值，如下图所示，延长KJ交DC于N点，过N作NMAD，得到KMNFCD，再由DJ0NDCF求出J0N，最后KN减去J0N即为所求.
15、【详解】解：如图，作点E关于AC的对称点K，当EJDF时EI+IJ有最小值为KJ0，此时设KN与DF、CD的交点分别为J0和N点，过N点作MNAD交AB于点M.KND+FDC=90，DFC+FDC=90KND=DFC又ABCDMKN=KND=DFC在MKN和CFD中，MKNCFD(AAS),又DJ0NDCF，代入数据：，得.故答案为：C.【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定、线段最值问题等，两条折线段的最值问题一般通过平移、对称等转移到一条线段上去，然后再根据两点之间线段最短或点到直线的距离垂线段最短求解即可.二、填空题：（每题4分，共24分）11. 如果3a4b（a、b都不
16、等于零），那么_【答案】【解析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案【详解】3a4b（a、b都不等于零），设a4x，则b3x，那么故答案为【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键12. 在一个不透明的盒子中有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数_【答案】3【解析】首先设黄球的个数为x个，根据题意得：，解此分式方程即可求得答案【详解】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：，解得：x3，经检验：x3是原分式方程的解 黄球的个数为3故答案为：3【点睛】此题考查了概率公式和分式方程的应用用到的知识点
17、为：概率所求情况数与总情况数之比13. 如图，点P在ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得ABPACB，这个条件可以是_【答案】ABP=C（答案不唯一）【解析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中A为公共角，再有一对对应角相等即可.【详解】在ABP与ACB中，A为两三角形的公共角，只需再有一对对应角相等，即ABPC，便可使ABPACB，所以答案为：ABPC（答案不唯一）.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.14. 已知（1，），（3，）是函数图象上的点，则，的大小关系是 _【答案】#【解析】先求出抛物线对称轴，由图象可知
18、抛物线开口向下，再根据两个点与对称轴距离的大小及抛物线的增减性即可判断纵坐标的大小【详解】解：，抛物线的对称轴是直线，开口向下，故答案为：y1y2【点睛】本题主要考查了抛物线上点坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键15. 已知点P为平面内一点，若点P到O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则O的半径为_【答案】2或3【解析】【详解】试题解析：当点P在圆内时，则直径=5+1=6，因而半径是3；当点P在圆外时，直径=5-1=4，因而半径是2所以O的半径为2或316. 图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，已知，当，F在同一水
19、平高度上时，135，则_；为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至，如图3所示，则为_【答案】 . 30 . 【解析】连接AE，过点A作AHCE于点H，由题意易得AEC=45，然后根据三角函数可进行求解；过点A作AMEF交其延长线于点M，过点D作DNEF交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点P，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解【详解】解：连接AE，过点A作AHCE于点H，如图2，F在同一水平高度上时，135，AEC=45，设，则，解得：，过点A作AMEF交其延长线于点M，过点D作DNEF交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点P，如图3，四边形是矩形，DEM=45，设车轮半径为r，则有，
20、；故答案为30；【点睛】本题主要考查三角函数及矩形的性质与判定，熟练掌握三角函数及矩形的性质与判定是解题的关键三、解答题（本大题有7小题，共66分）17. 计算：【答案】2+3【解析】利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值【详解】解：原式 2+3【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键18. 小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少?（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个
21、球是-红一黑，则小李获胜：若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）根据4个小球中红球的个数，即可确定出从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都摸到-红一黑，以及两个球都是白色的情况数，求出它们的概率，即可做出判断【详解】解：（1）4个小球中有1个红球，则任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是： （2）列表如下：红 白白黑红-（白，红）（白，红）（黑，红）白（红，白）-（白，白）（黑，白）白（红，白）（白，白）-（黑，白）黑（红，黑）（白，黑）（白，黑）-所有等可能情况
22、有12种，其中两次都摸到一红一黑有2种可能，摸出的两个球都是白色的有有2种可能，则P（小李获胜）=，P（小王获胜）=，故游戏公平【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比19. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（参考数据：2.449，结果保留整数）【答案】此时轮船所
23、在的B处与灯塔P的距离是98海里【解析】过点P作PCAB，则在RtAPC中易得PC的长，再在直角BPC中求出PB的长即可【详解】解：作PCAB于C点，APC=30，BPC=45 ，AP=80（海里），在RtAPC中，cosAPC=，PC=PAcosAPC=40（海里），在RtPCB中，cosBPC=，PB=4098（海里），答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.20. 如图，在66的正方形网格中，部分网格线被擦去点A，B，C在格点上（1）请用无刻度直尺在图1中找到三角形ABC的重心P；（2）请用无刻度的
24、直尺在图2中找到三角形ABC的外心Q；（3）请用无刻度的直尺在图3中找到三角形ABC的内心R（以上画图，要用虚线画出交点）【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析【解析】（ 1）作出BC，AC边上的中线交于点P，点P即为所求；（ 2）作出AC的中点Q即可；（3 ）作BAC，ABC的角平分线交于点R，点R即为所求【小问1详解】解：如图1中，点P即为所求；【小问2详解】如图2中，点Q即为所求；【小问3详解】如图3中，点R即为所求【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形的重心，外心，内心等知识，解题的关键是连接重心，外心，内心的定义，属于中考常考题型21. 如图，在ABC中，ABAC，以A
25、B为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DFAC，垂足为点F（1）求证：直线DF是O的切线；（2）求证：；（3）若O的半径为2，CDF20，求阴影部分的面积【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4sin40cos40【解析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质可得ODBABCC，由DFAC，得DFOD，从而证明结论；（2 ）连接AD，根据圆周角定理知ADB90，从而证明CFDCDA，得，而CDBC，代入即可；（3 ）连接OE，AD，OD，过点O作OHAC于H，分别求出扇形AOE和AOE的面积，即可解决问题【小问1详解】证明：如图，连接OD，ABAC，ABCC，OBOD，ODBAB
26、CC，DFAC，DFOD，ODF90，直线DF是O的切线；【小问2详解】证明：如图，连接AD，AB是O的直径，ADBC，ABAC，DBDC，CDF+C90，C+DAC90，CDFDAC，DFCADC90，CFDCDA，即；【小问3详解】解：连接OE，AD，OD，过点O作OHAC于H，CDF20，C70，OAE40OEA，AOE100，AHcos40OA2cos40，OH2sin40，AE2AH4cos40，4sin40cos40【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，扇形面积的计算等知识，证明CFDCDA是解题的关键22. 正方形ABCD边
27、长为6，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直（1）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（2）当M点运动到什么位置时，RtABMRtAMN，求此时x的值【答案】（1）y+3x+18（0x6），点M运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 （2）当M点运动到BC为中点位置时，RtABMRtAMN，x=3【解析】（1）先证明RtABMRtMCN，可求CN，由梯形的面积公式可求（0x6），由二次函数的性质可求解；（2 ）由相似三角形的性质求出AM，MN的长，则
28、可证RtABMRtAMN【小问1详解】解：在正方形ABCD中，ABBCCD4，BC90，AMMN，AMN90，CMN+AMB90，又MAB+AMB90，MABCMN，RtABMRtMCN；，即，CN，（0x6），当x3时，y取最大值，最大值为，即点M运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为；小问2详解】解：当M点运动到BC为中点位置时，RtABMRtAMN理由如下：四边形ABCD为正方形，ABBC6，BMMC3，AM3，RtABMRtMCN，MNAM，而ABMAMN90，RtABMRtAMN，当x3时，RtABMRtAMN，【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质
29、，梯形的面积公式，二次函数的性质等知识，证明RtABMRtMCN是解本题的关键23. 定义：若抛物线yax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线（1）判断抛物线yx2+2x3是否是定弦抛物线，请说明理由；（2）当一定弦抛物线的对称轴为直线x1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；（3）若定弦抛物线yx2+bx+c（b0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2x4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值【答案】（1）是定弦抛物线，理由见解析 （2）或 （3）b4或【解析】（1）令y0，求出与x轴的交点坐标，可判
30、断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可【小问1详解】解：当y0时，x2+2x30，解得：x11，x23，则|x1 -x2|4，即该抛物线是定弦抛物线；【小问2详解】解：当该抛物线开口向下时，如图所示该定弦抛物线的对称轴为直线x1，设则解得： C（1，0），D（3，0），CED为直角三角形由题意可得CED90，EOCD，CEOEDO，OE2OCOD3，E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为
31、，综上所述，该定弦抛物线表达式为或；【小问3详解】解：若 2，则在2 x 4中，当x4时该定弦抛物线取最大值，当x2时该定弦抛物线取最小值l6+4b+c-(4+2b+c)+2，解得：b4， 2，b4，即b4，若 3，则2x4中，当x4时该定弦抛物线取最大值，当x时该定弦抛物线取最小值16+4b+c+2，解得：b14，b214，23，6 b4，b14，b214（舍去），若 4，则在2 x 4中，当x2时该定弦抛物线取最大值，当x时该定弦抛物线取最小值4+2b+c+2，解得：b5，4，8 b6，b5不合题意，舍去，若4，则在2 x 4中，当x2时该定弦抛物线取最大值，当x4时该定弦抛物线取最小值4
32、+2b+c-(16+4b+c)+2，解得：b-，4，b8， b，综上所述b4或【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键24. 在矩形ABCD中，AB4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE（1）如图，当AD4，点P是CD的中点时，求tanEBA的值：（2）当AD2时若DPE与BPE相似，求DP的长若PEF是等腰三角形，求DE的长【答案】（1）；（2）2.5或；4或或【解析】（1）先推出ABE=PBC，再利用正切三角函数的
33、定义，即可求解；（2）分两种情况：当DPEBPE时，则DEP=BEP，从而得PD= PB，设PD=x利用勾股定理，列出方程求解即可；当DPEBEP时，则DEP=BPE，DPE=BEP，证明，进而即可求解；分3种情况：当FE=FP时，如由可知：DF=2.5，结合，即可求解；当PE=PF时，可得点B是EF的中点，进而即可求解；当EF=EP时，则DF=DP，设DE=x， 结合，进而即可求解【详解】解：（1）在矩形ABCD中，ABC=90，ABP+PBC=90，BPEF，ABE+ABP=90，ABE+ABP=ABP+PBC，即：ABE=PBC，AD4，BC=4，CD=AB4， 点P是CD的中点，PC=
34、2，tanEBA=tanPBC=；（2）分两种情况：当DPEBPE时，如图，则DEP=BEP，PDAD，PBEB，PD= PB，ABCD=4，ADBC=2，设PD=x，则PC=4-x，PB=x，PC2+BC2=PB2，解得：x=2.5，DP=2.5；当DPEBEP时，如图，则DEP=BPE，DPE=BEP，EF=PF，DEP-BEP=BPE-DPE，即：DEF=BPF，又DFE=BFP，DF=BF，设DF=BF=x，则FC=4-x，解得：x=2.5，FC=4-2.5=1.5，FBC+CBP=CBP+BPC=90，FBC=BPC，又FCB=BCP=90，即：，解得：CP=，DP=4+=综上所述：DP=2.5或；分3种情况：当FE=FP时，如图，由可知：DF=2.5，ABDF，即： ，解得：DE=，当PE=PF时，如图，PBEF，点B是EF的中点，BCDE，DE=2BC=4；当EF=EP时，如图，则DF=DP，设DE=x， DEBC，即：,DF=，DP=DF=，CBP+CBF=CBF+F=90，CBP=F，BCF=BCP，即：，解得：x=综上所述：DE=4或或【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理以及等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想方法，画出图形，是解题的关键
